la regla de l´hôpital en el cálculo de límites de sucesiones

SIGMA
33
LA REGLA DE L´HÔPITAL EN EL CÁLCULO
DE LÍMITES DE SUCESIONES
Jose Mari Eguzkitza Arrizabalaga e Inmaculada Lekubarri Alonso (*)
El concepto de sucesión, y el ulterior cálculo de límites, suele ser presentado generalmente
como paso previo al estudio de funciones, ya que prepara el camino para entender y formular
con mayor claridad el concepto de límite de una función.
El cálculo de límites de sucesiones es en ocasiones trivial, sobre todo cuando al sustituir
n por ∞, y operar simbólicamente, se llega a una expresión no indeterminada. En otros casos
ciertos artificios bastante sencillos permiten manipular el término general de la sucesión hasta
deshacer la indeterminación, como ocurre por ejemplo en el cociente de polinomios.
Sin embargo, en muchas ocasiones la obtención del límite de una sucesión puede resultar
tediosa, haciéndose necesario recurrir a complejas transformaciones del término general o a
conceptos como la equivalencia de infinitésimos, órdenes de infinitud, etc., para la resolución
de la indeterminación correspondiente. No suele ocurrir lo mismo cuando se trata de obtener límites de funciones reales de variable real para los que se dispone de un instrumento, a
veces poderoso, como es la conocida regla de L´Hôpital, consecuencia del teorema del valor
medio.
El resultado equivalente en sucesiones al teorema de L’Hôpital es el teorema de Stolz-Cesaro
que, en lugar de derivadas, usa diferencias finitas, si bien es más engorroso de aplicar. No obstante, y como veremos a continuación, la regla de L’Hôpital puede ser aplicada a sucesiones
de una forma indirecta ya que el siguiente resultado, cuya prueba es inmediata y de aceptación
intuitiva como se aprecia en la figura 1, muestra que si una sucesión {an} coincide con los
valores de una función f(x) para todo entero positivo n, existiendo el límite de f(x) para x→∞,
entonces la sucesión debe converger a ese mismo límite:
Sea f(x) una función real de variable real tal que
f(n) = an para todo entero positivo n, entonces
. Si {an} es una sucesión tal que
.
(*) Profesores del Departamento de Matemática Aplicada de la UPV/EHU
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Jose Mari Eguzkitza Arrizabalaga e Inmaculada Lekubarri Alonso
Por tanto, cuando el teorema de L’Hôpital puede ser aplicado a ciertas funciones, se convierte
en una herramienta adecuada para la obtención de los correspondientes límites de sucesiones.
Sin embargo, y a pesar de su utilidad, resulta sorprendente constatar que este resultado raramente es presentado en los manuales de primero de universidad y, menos aún, en los textos
de matemáticas de Enseñanza Secundaria. Veremos a continuación varios ejemplos que ponen
de manifiesto el modo en que la regla de L’Hôpital facilita el cálculo de algunos límites de
sucesiones.
Ejemplo 1: Calcular el límite de la sucesión cuyo término general es
.
En primer lugar vamos a resolverlo en la forma propuesta en el texto Problemas, conceptos y
métodos del Análisis Matemático de Miguel de Guzmán y Baldomero Rubio:
, que es positiva para n>1. Entonces,
Considérese la sucesión
De aquí resulta
Entonces, para n>1
Por último,
.
Utilizando la regla de L’Hôpital:
Ejemplo 2: Calcular el límite de la sucesión cuyo término general es
Primero vamos a resolverlo como se propone en el libro del recordado profesor Miguel de
Guzmán:
Como
(ejemplo anterior) y
se verifica que
para
n suficientemente grande y, por tanto,
El valor de dentro del corchete es menor que 1, por lo que la sucesión de la derecha
Stiende a 0 y, en consecuencia,
190
.
SIGMA Nº 33 • SIGMA 33 zk.
La regla de L'Hôpital en el cálculo de límites de sucesiones
Utilizando la regla de L’Hôpital:
Ejemplo 3: Calcular
∞
Se trata de una indeterminación del tipo 1 . Como es sabido, cuando
se verifica que
,
y
.
Por tanto, para calcular el límite pedido aplicaremos una vez la regla de L’Hôpital:
En consecuencia,
Ejemplo 4: Una aplicación interesante del resultado que estamos manejando consiste en
ordenar algunas sucesiones divergentes de acuerdo a sus órdenes de infinitud.
Es fácil ver, al aplicar la regla de L’Hôpital en la forma anteriormente vista al cociente de cada
par de infinitos consecutivos, que éstos pueden ser ordenados según su orden de infinitud
creciente en la forma:
Lnpn < nj < an < nn
Como hemos visto, la obtención de límites de sucesiones puede resultar bastante engorrosa sin
la aplicación de la regla de L’Hôpital. Sin embargo, se debe recordar al alumno que esta regla
no siempre conduce a la solución. Es así mismo importante resaltar que el resultado expuesto
no dice, evidentemente, que la no existencia del
implique que la sucesión {an} no
converge, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 5: La función f(x) = sen(px) no tiene límite para x→ ∞. Sin embargo,
,
pues se trata de la sucesión constante nula, al ser sen(pn) = 0 para todo entero positivo n.
En definitiva, parece razonable sugerir que las consideraciones expuestas sean tenidas en
cuenta en el momento de presentar las aplicaciones del teorema de L’Hôpital y así aprovechar
al máximo la potencia de este resultado. De ese modo puede ser salvado el escollo que supone
el cálculo de algunos límites de sucesiones mediante complejas piruetas matemáticas. Hacer
matemáticas es también buscar el camino más corto para resolver un problema; es manejar
los objetos matemáticos utilizando todas las herramientas a nuestro alcance, incluidas las de
más sencilla implementación.
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