respuesta completa de un circuito rlc en serie excitado con una

RESPUESTA COMPLETA DE UN CIRCUITO
RLC EN SERIE EXCITADO CON UNA FUNCIÓN
FORZANTE SENOIDAL
PROFESOR: LUIS RODOLFO DÁVILA MÁRQUEZ
Departamento de Electricidad y Electrónica
UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER
24/01/2010
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Profesor Luis Rodolfo Dávila Márquez
CÓDIGO: 00076 UFPS
RESPUESTA COMPLETA DE UN CIRCUITO RLC EN SERIE A UNA FUNCIÓN FORZANTE
SENOIDAL
INTRODUCCIÓN:
El propósito de este documento es le de proporcionar a los estudiantes de los cursos de análisis de circuitos
eléctricos en general una guía que les sirva de referencia en el estudio de dichos circuitos.
Una de las formas utilizadas para determinar las respuestas a las variables de un circuito eléctrico, excitado con
cualquier función forzante, es la de utilizar el modelo matemático (ecuación diferencial), el cual, representa el
funcionamiento o comportamiento de todos sus elementos constitutivos. Las respuestas para cualquier variable del
circuito se obtienen mediante el desarrollo y análisis de resultados del modelo matemático. Por lo anterior, este
documento determinará la ecuación diferencial para la carga y corriente del circuito y posteriormente el desarrollo
de la misma, mediante un proceso analítico. Adicionalmente se presentarán varios métodos de simulación del
funcionamiento del circuito eléctrico, mediante los software de Pspice- OrCad y de Matlab
CIRCUITO ELÉCTRICO A ANALIZAR
A continuación se presenta el circuito eléctrico RLC en serie excitado por una fuente senoidal, para el cual se
pretende determinar la carga, la corriente y los voltajes de cada uno de los elementos del circuito.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:
Para el circuito eléctrico de la figura siguiente, estando el inductor y el capacitor descargados, el interruptor se
cierra en t = 0. Se pretende determinar la carga y la corriente del circuito, como los voltajes de todos los
elementos para t ≥ 0.
vL(t)
vR(t)
DATOS DEL PROBLEMA:
i(t)
vC(t)
v(t)
R = 5 Ω, L = 0.5 H, C = 0.00123F
v(t) = Eo Sen( w t) v
v(t) = 100 Sen(60 t) v
Eo = 100 v , w = 60 rad/seg
DESARROLLO ANALÍTICO EN LA DETERMINACIÓN DE LA CARGA Y LA CORRIENTE DEL
CIRCUITO
DESARROLLO ANALÍTICO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO:
La ecuación diferencial que se presenta para un circuito RLC en serie, viene dada por:
di q
+
(A) v ( t ) = i R + L
en donde v ( t ) = E 0 sen(w t ) (corriente alterna)
dt C
Eo = 100 es el valor máximo en voltios y w = 60 = 2 π f es la frecuencia angular en rad/seg, siendo f la
frecuencia en ciclos por segundo, f = 9.549296 Hz.
R ( Ω ) , L ( H ) y C ( F ) son los parámetros de los componentes y para este caso son constantes.
q(t) es la carga del condensador, i (t) es la corriente del circuito, son las variables a determinar.
Para t = 0, q(0) = 0, el capacitor está descargado. i (0) = 0, el inductor está descargado
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La carga y la corriente se relacionan por i ( t ) =
d q (t)
dt
(B). Derivando a ambos lados de la ecuación (A),
di
d 2i 1 d q
dv
reemplazando el valor del voltaje y dejando solamente la variable i, la
R+L 2 +
=
C dt
dt
dt
dt
E w
1
d2i R d i
+
i = o
cos(w t ) (1) que presentada en otra notación
ecuación se puede expresar como: 2 +
L
L dt LC
dt
E w
R
1
i´´ + i´ +
i = o
cos(w t ) , reemplazando los valores de los parámetros, la ecuación
quedará:
L
LC
L
di
d2i
quedará:
+ 10
+ 1626 i = 12000 cos(60 t) (2)
2
dt
dt
Por otro lado, reemplazando la ecuación (B) en la ecuación (A), esta quedará definida por:
E
1
d 2q R d q
+
+
q = o Sen(w t ) (3), reemplazando los valores de los parámetros, la ecuación quedará:
2
L
L dt LC
dt
2
dq
d q
+ 10
+ 1626 q = 200 Sen(60 t) (4)
2
dt
dt
tendremos:
DESARROLLO DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CARGA
Se trata de desarrollar analíticamente una de las dos ecuaciones anteriormente presentadas considerando las
condiciones iniciales siguientes: vc (0) = 0 ; qc (0) = 0 ; i(0) = 0 o
d qc
i (0) =
= 0 = q c′ (0) ; v (0) = 100 Sen(0) = 0 ; vL (0) = 0 ; vR (0) = 0
dt t=0
De la ecuación (4) podremos obtener:
di
d 2q
dq
´
i (0) =
=
= 200Sen(60x0) - 10
2
t =0
t =0
dt
dt
dt
t =0
- 1626 qc(0) = 0
Estas condiciones iniciales, se pueden obtener a partir de un análisis de corriente continua que se efectúa en t = 0
La solución general de la ecuación diferencial (4), la cual presenta la carga como función, estará expresada por:
q(t) = qh(t) + qp(t), en donde, qh(t) es la solución general a la homogénea correspondiente y qp(t), es la solución
particular de la ecuación diferencial a resolver.
Determinando la ecuación característica correspondiente: λ2 + 10 λ + 1626 = 0, las raíces de esta ecuación
quedarán: λ1-2 = - 5 ± 40.01 j , por lo tanto, la solución general de la homogénea quedará expresada por:
qh(t) = e- 5 t (A Cos(40 t) + B Sen(40 t))
La solución particular o específica de la ecuación diferencial se puede obtener utilizando el método de coeficientes
indeterminados: Se asume para la solución particular de la carga un término similar al término independiente de la
ecuación diferencial a resolver
qp(t) = M Cos(60 t) +N Sen(60 t) , derivando la expresión con respecto al tiempo
´
q p(t) = -60 M Sen(60 t) + 60N Cos(60 t) , derivando nuevamente la última expresión
´´
q p(t) = -3600 M Cos(60 t) - 3600 N Sen(60 t)
Reemplazando las expresiones en la ecuación diferencial a resolver (4) y agrupando los términos similares para
compararlos con los términos del lado derecho de la ecuación, se generan las siguientes ecuaciones algebraicas:
(-1974 M + 600 N ) Cos(60 t) = 0 ; (-1974 N - 600 M ) Sen(60 t) = 200 Sen(60 t), de donde se puede determinar
los valores para los coeficientes M y N, desarrollando las ecuaciones simultáneas siguientes:
(-1974 M + 600 N ) = 0 ; (-1974 N - 600 M ) = 200
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El resultado será: qp(t) = - 0.02819 Cos(60 t) - 0.09274 Sen(60 t)
Por lo tanto, la solución general quedará expresada por:
q(t) = e- 5 t (A Cos(40 t) + B Sen(40 t)) - 0.02819 Cos(60 t) - 0.09274 Sen(60 t)
Reemplazando las condiciones iniciales en la ecuación anterior y en la ecuación de la derivada, se pueden obtener
los valores de A y B, de tal forma que la solución general de la ecuación diferencial quedará expresada por:
q(t) = e- 5 t (0.02819 Cos(40 t) + 0.14263 Sen(40 t)) - 0.02819 Cos(60 t) - 0.09274 Sen(60 t)
DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA CORRIENTE A PARTIR DE LA CARGA
Derivando la expresión anterior, y agrupando términos, la expresión para la corriente del circuito resultará:
dq
i(t) =
= e- 5 t (5.5642 Cos(40 t) – 1.84075 Sen(40 t)) – 5.5644 Cos(60 t) + 1.6914 Sen(60 t)
dt
Simplificando la respuesta natural, la corriente quedará:
i(t) = 5.5642 e- 5 t Cos(40 t) – 1.84075 e- 5 t Sen(40 t) – 5.5644 Cos(60 t) + 1.6914 Sen(60 t) (4)
la cual se puede transformar a:
i(t) = 5.5642 e- 5 t Sen(40 t + 90°) – 1.84075 e- 5 t Sen(40 t) – 5.5644 Sen(60 t + 90°) + 1.6914 Sen(60 t)
la corriente de salida del circuito está compuesta por cuatro clases de corrientes, dos senoidales amortiguadas y
dos no amortiguadas. Estas corrientes individuales, se pueden simular con un circuito en PSPICE, en donde cada
una de las corrientes estará representada por una fuente independiente de corriente alterna, por lo tanto, el circuito
contendrá cuatro fuentes independientes de corriente alterna conectadas en paralelo a una carga de resistencia
igual un ohmio, luego, i(t) = i1 + i2 + i3 + i4, en donde:
i1 = - 5.5644 Sen(60 t + 90°) ; i2 = 1.6914 Sen(60 t)
i3= 5.5642 e- 5 t Sen(40 t + 90°) ; i4 = - 1.08475 e- 5 t Sen(40 t)
SIMULACIÓN DE LAS CORRIENTES EN PSPICE DE OrCAD
A continuación se encuentra el dibujo del circuito eléctrico que se ingresa en la ventana del Schematic de OrCAD,
con el fin de simular todas las corrientes presentadas en la solución de la ecuación diferencial desarrollada
analíticamente en el paso inmediatamente anterior.
i(t) = iP + iN = i1 + i2 + i3 + i4
DATOS DE ENTRADA
iN = i3 + i4
iP = i1 + i2
i1
i2
i3
i4
i1 = - 5.5644 Sen(60 t + 90°)
i2 = 1.6914 Sen(60 t)
i3= 5.5642 e- 5 t Sen(40 t + 90°)
i4 = - 1.08475 e- 5 t Sen(40 t)
DATOS DE LA SIMULACIÓN:
Time domain(transient)
Run to time = 1.5 seg.
Start Saving data after = 0
Maximun step size = 0.1mseg.
Habilitar SKIPBP
Library: Source: ISIN
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Los resultados del programa son llevados al archivo .PROBE, mediante el cual podremos dibujar las diferentes
corrientes, esto es: Corriente de respuesta Natural: iN = i3 + i4
Corriente de respuesta Forzada o Permanente: iP = i1 + i2
Corriente Total del Circuito : i(t) = iP + iN = i1 + i2 + i3 + i4
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La expresión obtenida para la corriente total del circuito, ecuación N° 4, puede ser transformada a:
-1 1.6914
i(t) = 5.8607 e- 5 t Cos(40 t –[tg-1( -1.84075
5.5642 )]) + 5.8155 Cos(60 t – [tg ( − 5.5644 ) ± 180°)]) o
i(t) = 5.8607 e- 5 t Cos(40 t + 18.3°) + 5.8155 Cos(60 t – 163°) o
i(t) = 5.8607 e- 5 t Sen(40 t +108.3°) + 5.8155 Sen(60 t – 73°)
En donde, la onda senoidal amortiguada es la respuesta Natural o Homogénea o Transitoria y la No Amortiguada
es la respuesta Forzada o Permanente o Particular o Estable.
DESARROLLO DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CORRIENTE
Se trata de desarrollar analíticamente la ecuación diferencial de corriente presentada
d2i
di
+ 1626 i = 12000 cos(60 t)
+ 10
2
dt
dt
Considerando las condiciones iniciales siguientes:
d qc
i(0) = 0
i(0) =
= 0 = q c′ (0) ;
dt t=0
anteriormente
di
dq
d 2q
i ´(0) = 0
=
=
200Sen(60x0)
10
q
=
0
;
1226
c(0)
2
t =0
dt t =0
dt t =0
dt
La solución general de la ecuación diferencial, la cual presenta la corriente como función, estará expresada por:
i(t) = ih(t) + ip(t), en donde, ih(t) es la solución general a la homogénea correspondiente y ip(t), es la solución
particular de la ecuación diferencial a resolver.
Determinando la ecuación característica correspondiente, la solución general de la homogénea quedará expresada
por: ih(t) = e- 5 t (A Cos(40 t) + B Sen(40 t))
i ´(0) =
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La solución particular o específica de la ecuación diferencial se puede obtener utilizando el método de coeficientes
indeterminados: Se asume para la solución particular de la corriente un término similar al término independiente
de la ecuación diferencial a resolver
ip(t) = M Cos(60 t) +N Sen(60 t) , derivando la expresión con respecto al tiempo
i ´p(t) = -60 M Sen(60 t) + 60N Cos(60 t) , derivando nuevamente la última expresión
i ´´p(t) = -3600 M Cos(60 t) - 3600 N Sen(60 t)
Reemplazando las expresiones en la ecuación diferencial a resolver y agrupando los términos similares para
compararlos con los términos del lado derecho de la ecuación, se generan las siguientes ecuaciones algebraicas:
(-1974 M + 600 N ) Cos(60 t) = 12000 Cos(60 t) ; (-1974 N - 600 M ) Sen(60 t) = 0, de donde se puede
determinar los valores para los coeficientes M y N, desarrollando las ecuaciones simultáneas siguientes:
(-1974 M + 600 N ) = 12000 ; (-600 M - 1974 N ) = 0
El resultado será:
ip(t) = - 5.5644 Cos(60 t) + 1.6914 Sen(60 t) = 5.8157 Cos(60 t –163°) = 5.8157 Sen(60 t – 73°)
Por lo tanto, la solución general quedará expresada por:
i(t) = e- 5 t (A Cos(40 t) + B Sen(40 t)) - 5.5644 Cos(60 t) + 1.6914 Sen(60 t)
Reemplazando las condiciones iniciales en la ecuación anterior y en la ecuación de la derivada, se pueden obtener
los valores de A y B, de tal forma que la solución general de la ecuación diferencial quedará expresada por:
i(t) = 5.5642 e- 5 t Cos(40 t) – 1.84075 e- 5 t Sen(40 t) – 5.5644 Cos(60 t) + 1.6914 Sen(60 t) o
i(t) = 5.8607 e- 5 t Cos(40 t + 18.3°) + 5.8157 Cos(60 t – 163°) o
i(t) = 5.8607 e- 5 t Sen(40 t +108.3°) + 5.8157 Sen(60 t – 73°)
La expresión es idéntica a la ecuación de corriente obtenida a partir de la ecuación de carga, por lo tanto el
procedimiento en adelante ya es conocido.
DESARROLLO ANALÍTICO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
En lo que corresponde a la respuesta Forzada o Particular de la corriente, podremos utilizar la transformación
fasorial para determinar esta clase de respuesta del circuito RLC en serie.
Luego sí v ( t ) = 100 Sen(60 t) v = 100 Cos(60 t – 90°), el correspondiente fasor de voltaje es:
V = 100 ∠ - 90°.La impedancia equivalente total es ZT = 5 + j (30 – 13.55) = 17.193 ∠ 73°, por lo tanto, el fasor
100 ∠ - 90°
de corriente será: I T =
= 5.816 ∠ - 163°
17.193 ∠ 73°
y su correspondiente respuesta en el dominio del tiempo estará dada por:
i(t) = 5.816 Cos(60 t – 163°) = 5.816 Sen(60 t – 73 °)
la cual se corresponde con la respuesta obtenida en el paso inmediatamente anterior.
SIMULACIÓN MEDIANTE PSPICE (OrCad)
ANÁLISIS TRANSITORIO
A través del Software PSPICE –OrCad, podremos simular el comportamiento del circuito RLC en serie
presentado anteriormente, utilizando el análisis transitorio y con la ayuda de la herramienta Shematic.dat se
puede dibujar la corriente total del circuito en función del tiempo, o sea, el lugar geométrico de la ecuación
obtenida en el desarrollo analítico del proceso anterior. Para lo anterior se ingresa en la ventana de OrCad
Capture el circuito eléctrico siguiente:
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Se utiliza un Análisis transitorio (Time Domain (transient), con las siguientes características:
Run to time: 1.5s
seconds (TSTOP)
; start saving data after: 0
seconds
Maximun step size: 0.001s
seconds
Al correr el programa (simular el circuito) aparece una ventana en donde se encuentra dibujada la corriente del
circuito eléctrico entre 0 y 1.5 segundos, o sea que, aparecen dibujados aproximadamente 13 a 14 ciclos, cuyos
últimos periodos son más estables.
ANÁLISIS EN CORRIENTE ALTERNA- BARRIDO EN CA PARA UN SOLO VALOR DE LA
FRECUENCIA
Los resultados del desarrollo analítico obtenidos en el dominio de la frecuencia se pueden determinar mediante
un análisis en CA para un solo valor de frecuencia. En el software Pspice-OrCad podremos ingresar el circuito
eléctrico como en el caso anterior (Análisis transitorio) cambiando la fuente de voltaje VSIN por VAC .
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El valor ingresado para el fasor de voltaje de la fuente es el valor máximo, luego los resultados al correr el
programa serán fasores con el valor máximo
Se utiliza un barrido de CA para un solo valor de frecuencia ( AC Sweep / Noise)
AC Sweep Type:
• Linear
Start Frecuency : 9.549296
End Frecuency :
9.549296
Total Points : 1
Al correr el programa (simular el circuito) aparece una ventana en donde se pueden determinar todos los valores
de voltajes y corrientes (magnitud y ángulo de fase)
Para la corriente del circuito se obtiene el valor siguiente: I = 5.816 ∠ - 73° A, la cual corresponde a una respuesta
en el dominio del tiempo de : i(t) = 5.816 Cos( 377 t – 73°) A
DESARROLLO DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CORRIENTE UTILIZANDO EL SOFTWARE
DE MATLAB
Se trata de desarrollar la ecuación diferencial de corriente presentada anteriormente, utilizando el software de
d2i
di
+ 10
+ 1626 i = 12000 cos(60 t)
matlab:
2
dt
dt
Considerando las condiciones iniciales siguientes:
d qc
i(0) = 0
i(0) =
= 0 = q c′ (0) ;
dt t=0
di
d 2q
dq
=
= 200Sen(60x0) - 10
2
t =0
t =0
dt
dt
dt
El programa utilizado es el siguiente:
i ´(0) =
t =0
- 1226 qc(0) = 0 ; i
´
(0) =
0
% el programa resuelve la ecuación diferencial d2ydt2+1626y+10dydt=12000cos(60t)
% y(0)= 0 dydt(0)=0
y = dsolve('D2y+1626.*y + 10.*Dy = 12000.*cos(60.*t),y(0)= 0 , Dy(0)= 0','t');pretty(y);
subplot(211);
ezplot(y,[0,1]),grid, pause;
RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN:
8710000
½
½
658000
½
200000
- --------- exp(-5 t) sin(1601 t) 1601 + ------ exp(-5 t) cos(1601 t) + ------ sin(60 t)
189303841
118241
118241
658000
- ------ cos(60 t)
118241
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i(t) = -
8710000
189303841
e- 5 t Sen( 1601 t) 1601 +
658000
118241
e- 5 t Sen( 1601 t) +
200000
118241
Sen(60 t) -
658000
118241
Cos(60 t)
i(t) = - 0.0460 e- 5 t Sen(40 t) 40.01+ 5.5649 e- 5 t Sen(40 t) + 1.6914 Sen(60 t) – 5.5649 Cos(60 t)
i(t) = - 1.84046 e- 5 t Sen(40 t) + 5.5649 e- 5 t Sen(40 t) + 1.6914 Sen(60 t) – 5.5649 Cos(60 t)
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