taller n 7 de estad´istica - RodrigoGutierrez-pmc

UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL MAULE
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS
PEDAGOGÍA EN MATEMÁTICA Y COMPUTACIÓN
TALLER N◦ 7 DE ESTADÍSTICA
Alumno
:
:
Carrera
:
Profesor de Cátedra :
Fecha
:
Victor Córdova Cornejo ([email protected])
Rodrigo Gutiérrez Aguilar ([email protected])
Pedagogı́a en Matemática y Computación
Marcelo Rodrı́guez
18/01/2012
Universidad Católica Del Maule
Facultad de Ciencias Básicas
Pedagogı́a en Matemática Y Computación
Estadı́stica I
Taller 7 - Regresión curvilinea-multiple
23 de Enero del 2012.
Problema 1. Un banco en Atlanta que se especializa en créditos para vivienda intenta analizar el
mercado de finca raı́z, midiendo el poder explicativo que las tasas de inters tienen sobre el número
de casas vendidas en el área. Se compilaron los datos para un perı́odo de 10 meses, ası́:
Mes
Interés
Casas
1
12,3
196
2
10,5
285
3
15,6
125
4
5
9,5 10,5
225 248
6
9,3
303
7
8,7
265
8
14,2
102
9
10
15,2 12
105 114
1. Ajuste una ecuación de regresión lineal simple y = β0 + β1 · x, además calcule r2 .
Desarrollo:
Sean:
x= Interés (Variable Independiente).
y= N◦ de casas vendidas (Variable Dependiente).
Prom
xi
yi
(xi − x)
12,3
196
0,52
10,5
285
-1.28
15,6
125
3,82
9,5
225
-2,28
10,5
248
-1,28
9,3
303
-2,48
8,7
265
-3,08
14,2
102
2,42
15,2
105
3,42
12
114
0,22
11,78 196,8 Suma
0
(yi − y) (xi − x)(yi − y) (xi − x)2
-0,8
-0,416
0,2704
88,2
-112,896
1,6384
-71,8
-274,276
14,5924
28,2
-64,296
5,1984
51,2
-65,536
1,6384
106,2
-263,376
6,1504
68,2
-210,056
9,4864
-94,8
-229,416
5,8564
-91,8
-313.956
11,6964
-82,8
-18,216
0,0484
0
-1552,44
56,576
Parámetros:
β1
=
Sxy
Sxx
10
X
=
(xi − x)(yi − y)
i=1
10
X
(xi − x)2
i=1
=
∴ β1
−1552, 44
56, 576
= −27, 44
(yi − y)2
0,64
7779,24
5155,24
795,24
2621,44
11278,44
4651,24
8987,04
8427,24
6855,84
56551,6
β0
∴ β0
= y − β1 · x
=
196, 8 − (−27, 44 · 11, 78)
=
196, 8 + 323, 2432
=
520, 0432
Ecuación de regresión lineal simple:
y = 502, 0432 − 27, 44 · x
r2 :
2

10
X



r2
=
(xi − x)(yi − y)

i=1
10
X
(xi − x)2 ·
i=1
∴ r2

10
X
(yi − y)2
i=1
=
(−1552, 44)2
56, 576 · 56551, 6
=
2410069, 954
3199463, 3322
=
0, 753
Diagrama de dispersión y curva de regresión (lineal simple).
2. Ajuste una ecuación logarı́tmica y = β0 + β1 · ln[x] además calcule r2 .
Desarrollo:
Sean:
x= Interés (Variable Independiente).
y= N◦ de casas vendidas (Variable Dependiente).
Prom
ti = ln(xi )
2,51
2,35
2,75
2,25
2,35
2,23
2,16
2,65
2,72
2,50
2,45
yi
(ti − t) (yi − y) (ti − t)(yi − y)
196
0,06
-0,8
-0,048
285
-0,1
88,2
-8,82
125
0,3
-71,8
-21,54
225
-0,2
28,2
-5,64
248
-0,1
51,2
-5,12
303
-0,22
106,2
-23,364
265
-0,29
68,2
-19,778
102
0,2
-94,8
-18,96
105
0,27
-91,8
-24,786
114
0,05
-82,8
-4,14
196,8 Suma -0,03
0
-132,196
Parámetros:
β1
=
Sty
Stt
10
X
=
(ti − t)(yi − y)
i=1
10
X
(ti − t)2
i=1
=
∴ β1
β0
∴ β0
−132, 196
0, 4015
= −329, 26
= y − β1 · t
=
196, 8 − (−329, 26 · 2, 45)
=
196, 8 + 806, 687
=
1003, 487
Ecuación de ecuación logarı́tmica:
y = 1003, 487 − 329, 26 · t
como t = ln(x), entonces
∴ y = 1003, 487 − 329, 26 · ln(x)
(ti − t)2
0,0036
0,01
0,09
0,04
0,01
0,0484
0,0841
0,04
0,0729
0,0025
0,4015
(yi − y)2
0,64
7779,24
5155,24
795,24
2621,44
11278,44
4651,24
8987,04
8427,24
6855,84
56551,6
r2 :
2

10
X



r2
=
(ti − t)(yi − y)


i=1
10
X
2
(ti − t) ·
i=1
∴ r2
10
X
(yi − y)2
i=1
=
(−132, 196)2
0, 4015 · 56551, 6
=
17475, 78242
22705, 4674
=
0, 77
Diagrama de dispersión y curva de regresión (logarı́tmica).
3. Ajuste una ecuación potencia y = β0 · xβ1 además calcule r2 .
Desarrollo:
Sean:
x= Interés (Variable Independiente).
y= N◦ de casas vendidas (Variable Dependiente).
Mes
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Pro
ti = ln(xi )
2,51
2,35
2,75
2,25
2,35
2,23
2,16
2,65
2,72
2,50
2,45
wi = ln(yi )
(ti − t)
5,28
0,06
5,65
-0,1
4,83
0,3
5,42
-0,2
5,51
-0,1
5,71
-0,22
5,58
-0,29
4,63
0,2
4,65
0,27
4,74
0,05
5,2
Sum -0,03
(wi − w)
0,08
0,45
-0,37
0,22
0,31
0,51
0,38
-0,57
-0,55
-0,46
0
(ti − t)(wi − w) (ti − t)2
0,0048
0,0036
-0,045
0,01
-0,111
0,09
-0,044
0,04
-0,031
0,01
-0,1122
0,0484
-0,1102
0,0841
-0,114
0,04
-0,1485
0,0729
-0,023
0,0025
-0,7341
0,4015
Parámetros:
β1
=
Stw
Stt
10
X
=
(ti − t)(wi − w)
i=1
10
X
(ti − t)2
i=1
∴ β1
b
∴b
=
−0, 7341
0, 4015
=
−1, 828393524
≈
−1, 83
=
w − β1 · t
=
5, 2 − (−1, 828393524 · 2, 45)
=
5, 2 + 4, 479564134
=
9, 679564134
≈ 9, 68
Ası́ β0 = e9,679564134 ≈ 15988, 8
Ecuación de la curva de regresión potencial:
∴ y = 15988, 8 · x−1,83
(wi − w)2
0,0064
0,2025
0,1369
0,0484
0,0961
0,2601
1,444
0,3249
0,3025
0,2116
2,7085
r2 :
2

10
X



r2
=
(ti − t)(yi − y)


i=1
10
X
2
(ti − t) ·
i=1
∴ r2
10
X
(yi − y)2
i=1
=
(−0, 7341)2
0, 4015 · 2, 7085
=
0, 53890281
1, 08746275
=
0, 495559788
Diagrama de dispersión y curva de regresión (Potencia).
4. Ajuste una ecuación compuesto y = β0 · β1 x además calcule r2 .
Desarrollo:
Sean:
x= Interés (Variable Independiente).
y= N◦ de casas vendidas (Variable Dependiente).
Prom
xi
wi = ln(yi )
(xi − x) (wi − w)
12,3
5,28
0,52
0,08
10,5
5,65
-1.28
0,45
15,6
4,83
3,82
-0,37
9,5
5,42
-2,28
0,22
10,5
5,51
-1,28
0,31
9,3
5,71
-2,48
0,51
8,7
5,58
-3,08
0,38
14,2
4,63
2,42
-0,57
15,2
4,65
3,42
-0,55
12
4,74
0,22
-0,46
11,78
5,2
Sum
0
0
(xi − x)(wi − w)
0,0416
-0,576
-1,4134
-0,5016
-0,3968
-1,2648
-1,1704
-1,3794
-1,881
-0,1012
-8,643
Parámetros:
m
=
Sxw
Sxx
10
X
=
(xi − x)(wi − w)
i=1
10
X
(xi − x)2
i=1
=
−8, 643
56, 576
=
−0, 152767958
∴m ≈
b
−0, 15
= w−m·x
=
5, 2 − (−0, 152767958 · 11, 78)
=
5, 2 + 0, 152767958
∴b =
6, 999606547
Ecuación de la curva de regresión compuesto:
w = 7, 3 − 0, 152767958 · x
como w = ln(y), entonces ln(y) = 6, 999606547 − 0, 152767958 · x.
(xi − x)2
0,2704
1,6384
14,5924
5,1984
1,6384
6,1504
9,4864
5,8564
11,6964
0,0484
56,576
(wi − w)2
0,0064
0,2025
0,1369
0,0484
0,0961
0,2601
0,1444
0,3249
0,3025
0,2116
2,2693
Luego
y = e6,999606547 · e−0,152767958·x
∴ y = 1096, 2 · 0, 86x
r2 :




r2
=
10
X
2
(xi − x)(wi − w)


i=1
10
X
2
(xi − x) ·
i=1
∴ r2
10
X
(wi − w)2
i=1
=
(−8, 643)2
56, 576 · 2, 2693
=
74, 701449
128, 3879168
=
0, 58184174
Diagrama de dispersión y curva de regresión (Compuesto).
5. Ajuste una ecuación inverso y = β0 + β1 ·
1
además calcule r2 .
x
Desarrollo:
Sean:
x= Interés (Variable Independiente).
y= N◦ de casas vendidas (Variable Dependiente).
1
xi
0,081
0,095
0,064
0,105
0,095
0,107
0,115
0,071
0,066
0,083
0,0882
ti =
Prom
(ti − t)
yi
196
285
125
225
248
303
265
102
105
114
196,8 Suma
(yi − y) (ti − t)(yi − y)
-0,0072
0,0068
-0,0242
0,0168
0,0068
0,0188
0,0268
-0,0172
-0,0222
-0,0052
0
-0,8
88,2
-71,8
28,2
51,2
106,2
68,2
-94,8
-91,8
-82,8
0
0,005768
0,59976
1,73756
0,47376
0,34816
1,99656
1,82776
1,63056
2,03796
0,43056
11,088408
Parámetros:
β1
=
Sty
Stt
10
X
=
(ti − t)(yi − y)
i=1
10
X
(ti − t)2
i=1
∴ β1
β0
∴ β0
=
11, 088408
0, 0028996
=
3824, 12
= y − β1 · t
=
196, 8 − (3824, 12 · 0, 0882)
=
196, 8 − 337, 3
= −140, 5
Ecuación de la curva de regresión inversa:
y = −140, 5 + 3824, 12 · t
como t =
1
, entonces
x
∴ y = −140, 5 + 3824, 12 ·
1
x
(ti − t)2
(yi − y)2
0,00005184
0,64
0,00004624 7779,24
0,00058564 5155,24
0,00028224 795,24
0,00004624 2621,44
0,035344 11278,44
0,00071824 4651,24
0,00029584 8987,04
0,00049284 8427,24
0,00002704 6855,84
0,0028996 56551,6
r2 :
2

10
X



r2
=
(ti − t)(yi − y)


i=1
10
X
2
(ti − t) ·
i=1
∴ r2
10
X
(yi − y)2
i=1
=
(11, 088408)2
0, 0028996 · 56551, 6
=
122, 952792
163, 9770194
=
0, 75
Diagrama de dispersión y curva de regresión (inversa).
6. Si la tasa de inters es del 9,5 %, ¿cuántas casas se venderı́an de acuerdo a cada uno de los
modelos?
-Modelo Lineal:
Si x = 9, 5 entonces y = 502, 0432 − 27, 44 · 9, 5
y ≈ 241
-Modelo Logarı́tmico:
Si x = 9, 5 entonces y = 1003, 487 − 329, 26 · ln(9, 5)
y ≈ 262
-Modelo Potencial:
Si x = 9, 5 entonces y = 15988, 8 · 9, 5−1,83
y ≈ 260
-Modelo Compuesto:
Si x = 9, 5 entonces y = 1096, 2 · 0, 869,5
y ≈ 262
-Modelo Inverso:
Si x = 9, 5 entonces y = −140, 5 + 3824, 12 ·
1
9, 5
y ≈ 262
7. De los modelos ¿cuál utilizarı́a?
Para escojer que modelo entrega una mejor reprensetativad utilizaremos los valores de r2 entregados por el SPSS, ya que entrega valores más reales, pues nuestros datos son aproximaciones.
-Modelo
-Modelo
-Modelo
-Modelo
-Modelo
Lineal: r2 = 0, 753
Logarı́tmico: r2 = 0, 760
Potencial: r2 = 0, 763
Compuesto: r2 = 0, 759
Inverso: r2 = 0, 755
De acuerdo a lo anterior, podemos decir que el modelo que entrega una mejor representatividad es el modelo Potencial.
Problema 2. Considere los siguienes datos
y
43
44
45
46
49
49
x1
-2
-2
-2
2
2
2
x2
-1
1
-1
1
-1
1
1. Considere el siguiente modelo yb = βb0 + βb1 · x1 + βb2 · x2 ,
Escriba el modelo en forma matricial.
Desarrollo
Primeramente debemos identificar las matrices tanto de los coeficioentes, contantes como
las icógnitas
 


43
1 −2 −1
44
1 −2 1 
 
 


β0
45


; X = 1 −2 −1 y βb = β1 
Y =
46
1 2
1
 


β2
49
1 2 −1
49
1 2
1
Luego mi modelo en forma matricial serı́a de la
  
43
1 −2
44 1 −2
  
45 1 −2
 
∴
46 = 1 2
  
49 1 2
49
1 2
siguiente manera

−1
 
1

β

−1  0 
· β1
1

β2
−1
1
Encuentre las matrices: X T · X, (X T · X)−1 y X T · Y
Desarrollo
Antes de encontrar la matriz, debemos identificar la traspuesta de mi matriz X, lo que es:


1
1
1 1 1 1
X T = −2 −2 −2 2 2 2
−1 1 −1 1 −1 1
Enseguida calculamos el valor de
1) X T · X Como ya tenemos X y X T , ahora solo debemos calcular el producto de esas
matrices que está dado por:


1 −2 −1

 1 −2 1 


1
1
1 1 1 1


−2 −2 −2 2 2 2 · 1 −2 −1
1 2
1


−1 1 −1 1 −1 1
1 2 −1
1 2
1
el orden de la matriz es de 3x6 y el orden de la segunda matriz es 6x3, por ende mi
matriz resultante va a ser de orden 3x3, entonces realizando el producto llegamos a
que:


6 0 0
X T · X = 0 24 4
0 4 6
2) (X T · X)−1 aplicando operaciones elementales fila, llegamos que mi matriz ampliada
(X T · X/I3x3 ) llegamos a nuestra matriz inversa que es:

1
0 0
6




T
−1
−1
3

0
(X · X) = 
64
32 



3
−1
0 32 16
3) X T · Y Para encontrar ese producto matricial solo debe reemplazar nuestras matrices
y operar. entonces


1
1
1 1 1 1
X T = −2 −2 −2 2 2 2
−1 1 −1 1 −1 1
e
 
43
44
 
45

Y =
46
 
49
49
 
276
T

Entonces X · Y = 24 
2
Encuentre los parámetros del modelo y plantee la ecuación de regresión.

1
0
0
6
 


276


T
−1
T
3
−1  
b

β = (X · X) · X · Y =  0 64 32  · 24 


2
−1
3
0 32 16
 
46
 17 
 
∴ βb =  16 
 3
−
8
Entonces la ecuación de regresión es:
yb = 46 +
17
3
· x1 − · x2
16
8
2. Considere el siguiente modelo yb = βb0 + βb1 · x21 .
Escriba el modelo en forma matricial.
Desarrollo
Primeramente debemos
 identificar

las
43
1
44
1
 

45

; X = 1
mo las icógnitas Y = 
46
1
 

49
1
49
1
matrices
tanto de los coeficientes, constantes co
4
4

4
 y βb = β0
4
β1


4
4
Luego mi modelo en forma matricial serı́a de la siguiente manera
  

43
1 4
44 1 4
  
 45 1 4 β0



·
∴ =
 β1
46
1
4
  

49 1 4
49
1 4
Encuentre las matrices: X T · X, (X T · X)−1 y X T · Y
Desarrollo
Antes de encontrar la matriz, debemos identificar la traspuesta de mi matriz X, lo que es:
1 1 1 1 1 1
T
X =
4 4 4 4 4 4
Enseguida calculamos el valor de
1) X T · X Como ya tenemos X y X T , ahora solo debemos calcular el producto de esas
matrices que está dado por:


1 4


1 4 

1 1 1 1 1 1 1 4 

·

4 4 4 4 4 4 
1
4


1 4 
1 4
el orden de la matriz es de 2x6 y el orden de la segunda matriz es 6x2, por ende mi
matriz resultante va a ser de orden 2x2, entonces realizando el producto llegamos a
que:
6 24
T
X ·X =
24 96
2) (X T · X)−1
T
Como el determinante de X ·X =
6 24
6 24
es 0, = (6 · 96) − (24 · 24) = 0
24 96
24 96
La matriz X T · X no tiene inversa, ası́ (X T · X)−1 no existe.
3) X T · Y Para encontrar ese producto matricial solo debe reemplazar nuestras matrices
y operar. entonces
1 1 1 1 1 1
T
X =
4 4 4 4 4 4
e
 
43
44
 
45

Y =
46
 
49
49
276
Entonces X T · Y =
1104
Encuentre los parámetros del modelo y plantee la ecuación de regresión.
Es imposible obtener los parámetros, ya que de acuerdo al producto matricial
βb = (X T · X)−1 · (X T · Y ), necesitamos obtener la matriz inversa de M = (X T · X), matriz
que no existe pues |M | = 0, y de este modo no es posible plantear la ecuación de regresión.