1 Tema IV 1. INTRODUCCI ´ON. La derivada está ´ıntimamente

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Tema IV
1.
INTRODUCCIÓN.
La derivada está ı́ntimamente relacionada con conceptos tanto de fı́sica como
de geometrı́a:
— Respecto de la fı́sica: Si f : R → R es la función que representa el espacio
recorrido por un objeto (respecto del tiempo). Para cada h, f (c + h) − f (c) es el
(c)
espacio recorrido entre los tiempos c y c+h, por lo que el cociente f (c+h)−f
es la
h
velocidad media en este periodo. Ası́, el lı́mite cuando h → 0 de estas velocidades
(que no va a ser más que la derivada) no es más que la velocidad instantánea del
objeto en el momento c.
— Respecto de la geometrı́a: Dada una recta Y = αX + β, nos encontramos con que α nos proporciona información sobre la pendiente de la recta.
Realmente α es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje OX. Ası́, si α
es positiva, la pendiente es ascendente y cuanto mayor sea α mayor será la pendiente, si α es negativa la pendiente es descendente y cuanto menor sea α mayor
será la pendiente.
(c)
Dada una función f : (a, b) → R los cocientes f (c+h)−f
representan por
h
tanto las pendientes de las rectas secantes (recta que corta a la curva en el punto
(c, f (c)) que pasan por los puntos (c, f (c)) y (c + h, f (c + h)), por lo que el lı́mite
representa la pendiente de la recta tangente que pasa por (c, f (c)).
1.1 Def: Dada una función f : (a, b) → R se dice que f es derivable en un
2
punto c ∈ (a, b) si existe
f (c + h) − f (c)
h→0
h
lim
en este caso se designa a este lı́mite por f 0 (c), que recibe el nombre de derivada
de f en c. Definimos la función derivada, que denotaremos por f 0 , como la
aplicación que a cada c ∈ (a, b) le hace corresponder la derivada de f en c, es
decir, f 0 (c). Una notación que nos será útil para la derivada será f 0 = ∂f
∂x .
Nota: Si queremos calcular la recta tangente a una curva y = f (x) que pasa
por el punto (c, f (c)) no tenemos más que calcular f 0 (c) y nuestra recta será:
Y = f 0 (c)(X − c) + f (c)
Nota: Esta recta es la recta que más se aproxima a la función f en un entorno
de (c, f (c)).
2.
CÁLCULO DE LA DERIVADA.
Vamos a dar la derivada de las funciones más usuales de R en R:
? Si f (x) = cte,
=⇒
f 0 (x) = 0.
? Si f (x) = xn , n ∈ Q,
=⇒
f 0 (x) = nxn−1 .
? Si f (x) = Sen(x),
=⇒
f 0 (x) = Cos(x).
? Si f (x) = Cos(x),
=⇒
f 0 (x) = −Sen(x).
? Si f (x) = T ag(x),
=⇒
f 0 (x) =
1
Cos2 (x)
= 1 + T ag 2 (x).
3
? Si f (x) = ArcSen(x),
=⇒
f 0 (x) =
1
√
.
2
1+x2
? Si f (x) = ArcCos(x),
=⇒
f 0 (x) =
−1
√
.
2
1+x2
? Si f (x) = ArcCos(x),
=⇒
f 0 (x) =
−1
√
.
2
1+x2
? Si f (x) = ArcT g(x),
=⇒
f 0 (x) =
? Si f (x) = Ln(x),
=⇒
f 0 (x) =
? Si f (x) = Loga (x),
=⇒
f 0 (x) =
? Si f (x) = ex ,
=⇒
1
1+x2 .
1
x.
1
Ln(a)x .
x
f 0 (x) = e .
? Si f (x) = ax ,
=⇒
f 0 (x) = Ln(a)ax .
El siguiente teorema nos va a dar las reglas para calcular derivadas de funciones más complicadas:
2.1 Teorema Sean f, g funciones de variable real y α ∈ R. Entonces:
(i) (f (x) + g(x))0 = f 0 (x) + g 0 (x)
(ii) (f (x) · g(x))0 = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x).
(iii) (αf (x))0 = αf 0 (x).
0
1
(iv) ( g(x)
)0 = − gg2(x)
(x) .
(x) 0
(v) ( fg(x)
) =
f 0 (x)g(x)−f (x)g 0 (x)
.
g 2 (x)
0
0
0
(vi) (f (g(x))) = g (x) · f (g(x))
(regla de la cadena).
2.2 Ejemplo: Si f (x) = xSen(x2 + π2 ax ), entonces:
f 0 (x) = Sen(x2 +
π x
π
π
a ) + xCos(x2 + ax )(2x + Ln(a)ax ).
2
2
2
Además, como f (0) = 0 y f 0 (0) = 1, la recta tangente a f que pasa por el punto
(0, 0) es Y = X.
3.
LA DIFERENCIAL.
3.1 Def: Sea f : Rn → R una aplicación en la variable x = (x1 , x2 , . . . , xn ),
y sea x0 ∈ Rn . Definimos la parcial de f respecto de xk en x0 , para k ∈
∂f
{1, 2, . . . , n}, y la representamos por ∂x
(x0 ) (si existe) como:
k
4
f (x1 , . . . , xk−1 , xk + h, xk+1 , . . . , xn ) − f (x1 , . . . , xn )
h→0
h
lim
La aplicación que a cada x ∈ Rn le hace corresponder
la parcial de f respecto de xk .
∂f
∂xk (x)
se la denomina
Nota: Aunque este lı́mite pueda parecer complicado, en la práctica, para
calcular la parcial de f respecto de la variable xk se “ derivará ” f en la variable
xk actuando las demás variables como constantes.
3.2 Ejemplo Sea F (x, y, z) = x4 y 5 . Entonces
∂f
∂x
= 4x3 y 5 y
∂f
∂y
= 5x4 y 4 .
3.3 Definición: Dada una aplicación f : Rn → Rm , en x = (x1 , x2 , . . . , xn ),
y dado x0 ∈ Rn definimos la matriz Jacobiana de f en x0 y la representamos por
J(f )(x0 ), como:



J(f )(x0 ) = 

∂f1
∂x1 (x0 )
∂f2
∂x1 (x0 )
..
.
∂fm
∂x1 (x0 )
∂f1
∂x2 (x0 )
∂f2
∂x2 (x0 )
..
.
∂fm
∂x2 (x0 )
...
...
..
.
...
∂f1
∂xn (x0 )
∂f2
∂xn (x0 )
..
.
∂fm
∂xn (x0 )





Recordamos que f (x) = (f1 (x), . . . , fm (x)).
3.4 Definición: Se dice que una aplicación f : Rn → Rm , es diferenciable
en x0 ∈ Rn si existe el siguiente lı́mite:
lim
x→x0
||f (x) − f (x0 ) − D(f )(x0 )(x − x0 )||
=0
||x − x0 ||
Si la aplicación f es diferenciable en x0 la matriz jacobiana de f en x0 se la
denota por D(f )(x0 ).
Si f es diferenciable para todo x ∈ Rn se dice que f es diferenciable. A la
diferencial se la denota por D(f )(x).
Nota: La aplicación diferencial tiene por dominio Rn y por imagen Rnm .
3.5 Definición: Si además, la aplicación diferencial es continua (que no
∂fi
significa más que ∂x
sea continua para todo i, j) diremos que f es de clase 1.
j
3.6 Teorema Una aplicación diferenciable f : Rn → Rm es continua.
5
3.7 Teorema Sea f : Rn → Rm una aplicación diferenciable en x0 . Entonces L(x) = D(f )(x0 )(x−x0 )−f (x0 ) es la aplicación “afı́n” que más se aproxima
a f en un entorno de x0 .
El ver que una aplicación es diferenciable en un punto x0 no es fácil, no
obstante tenemos un teorema que nos da una condición suficiente:
3.8 Teorema Sea f : Rn → Rm una aplicación. Supongamos que existen
∂fi
(x) para i, j.
y son continuas las parciales de f respecto de cada xi , esto es, ∂x
j
Entonces f es diferenciable.
3.9 Def: Dada una función diferenciable f : Rn → Rm se definen las
∂fi
segundas parciales de f como cada una de las parciales de ∂x
(x). Es decir, las
j
segundas parciales son:
∂
∂xk
µ
∂fi
(x)
∂xj
¶
Cuando estas segundas parciales son continuas se dice que f es de clase 2.
En general si las parciales de orden n existen y son continuas, se dice que f es de
clase n.
3.10 Teorema Si las segundas
parciales
de³una aplicación
f : Rn → Rm
³
´
´
∂fi
∂fi
∂
(x) = ∂x
son continuas, se tiene que ∂x∂ k ∂x
∂xk (x) . Por comodidad se
j
j
denotarán por
∂ 2 fi
∂xk ∂xj (x).
3.11 Ejemplo Sea f (x, y) = 2x3 y 2 + Sen(xy), que es una función de clase
dos. Entonces:
∂f
(x, y) = 6x2 y 2 + yCos(xy)
∂x
µ
¶
∂f ∂f
(x, y) = 12xy 2 − y 2 Sen(xy)
∂x ∂x
µ
¶
∂f ∂f
(x, y) = 12x2 y − xySen(xy)
∂y ∂x
Por lo que
∂f
∂x
³
∂f
∂y (x, y)
´
=
∂f
∂y
³
∂f
(x, y) = 4x3 y + xCos(xy)
∂y
µ
¶
∂f ∂f
(x, y) = 12x2 y − xySen(xy)
∂x ∂y
µ
¶
∂f ∂f
(x, y) = 4x3 − x2 Sen(xy)
∂y ∂y
´
∂f
∂x (x, y)
.
6
Bibliografia:
P. Alberca, D. Martı́n: ”Métodos Matemáticos”, Ediciones Aljibe, 2001.
T.M. Apóstol: ”Análisis matemático”, Reverté, 1996.
J.B. Fraleigh: ”Calculus with Analytic Geometry”, Addison-Wesley, 1985.
W. Rudin: ”Principios de Análisis Matemático”, Ed. del Castillo, 1996.