021 Una función f(x) se dice que es estrictamente creciente cuando

Curso ON LINE
Tema 10
Dada la función y =
021
x
, halla:
x +1
2
(a) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y sus máximos* y mínimos* relativos.
(b) Asíntotas*
(c*) Hacer una gráfica aproximada de la función.
Resolución apartado (a)
Una función f(x) se dice que es estrictamente creciente cuando verifica que
estrictamente decreciente cuando verifica f'(x) < 0
y' =
2B
f'(x) > 0 y
1·( x 2 + 1) − x·2 x
x2 + 1 − 2x2
− x2 + 1
=
=
=0
( x 2 + 1) 2
( x 2 + 1) 2
( x 2 + 1) 2
- x2 + 1 = 0 Æ - x2 = - 1 Æ x2 = 1 Æ x = ± 1
x=1 ; x=-1
El denominador nunca se hace cero
Estos 2 valores determinan 3 intervalos en la recta real:
¿?
¿?
¿?
-1
ℜ
1
− x2 + 1
( x 2 + 1) 2
y'
y
x<-1
-/+ → -
y' < 0
Estrictamente decreciente
-1<x<1
+/+ → +
y' > 0
Estrictamente creciente
x>1
-/- → -
y' < 0
Estrictamente decreciente
La función es estrictamente decreciente para x < - 1 ∨ x > 1
para - 1 < x < 1
y estrictamente creciente
Máximos y mínimos
La función "y" alcanzará un máximo o un mínimo cuando y'= 0
Acabamos de ver que
y' =
x1 = - 1
− x2 + 1
=0
( x 2 + 1) 2
¿máximo o mínimo?
x2 = 1
¿máximo o mínimo?
Para averiguarlo estudiamos la derivada segunda:
y'' =
− 2 x( x 2 + 1) 2 − (− x 2 + 1)·2( x 2 + 1)·2 x
− 2 x( x 2 + 1) 2 − 4 x(− x 2 + 1)·( x 2 + 1)
=
=
[( x 2 + 1) 2 ]2
[( x 2 + 1) 2 ]2
y'' =
y''(1) =
− 2 x( x 2 + 1) 2 − 4 x(1 − x 4 )
=
[( x 2 + 1) 2 ]2
−8 − 0
− 2(12 + 1) 2 − 4(1 − 14 )
=
< 0 MÍNIMO
16
[(12 + 1) 2 ]2
y''(- 1) =
2(1 + 1) 2 + 4(1 − 1) 8 + 0
>
> 0 MÁXIMO
16
[(1 + 1) 2 ]2
Veamos cuáles son esos puntos:
x
y= 2
x +1
1
1
1
1
y(1) = 2
=
y(-1) =
=
2
2
2
1 +1
(−1) + 1
MÁXIMO (1, 1/2)
www.classpad.tk
www.abelmartin.tk
MÍNIMO (-1, 1/17)
www.aulamatematica.tk
1
 Abel Martín
"Estudio local de una función"
Resolución apartado (b)
Asíntotas verticales
x2 + 1 = 0 Æ x2 = 1 Æ x = ± − 1 ∉ ℜ
No hay asíntotas verticales
Asíntotas horizontales
Lím
x→ + ∞
x
= 0
2
x +1
Lím
x→ −∞
Asíntota horizontal en y = 0
Asíntotas oblicuas
m = Lím
x→ + ∞
Resolución apartado (c)
2
y = mx + b
f ( x)
x
= Lím
=0
x→ + ∞ x ⋅ ( x 2 + 1)
x
No hay asíntota oblicua
Matemáticas y TIC
x2
=0
x2 + 1