Estadística 4

EST. EMPRESARIAL
FORMULARIO DE ESTADÍSTICA.
DISTRIBUCIONES UNIDIMENSIONALES.
Esperanza matemática.
Siendo ξ una variable aleatoria y g ( ξ) una función de la misma, definimos:
∞
∑
g (x i ) ⋅ p i Caso discreto
i =1
E (g ( ξ) ) =  ∞
 ∫ g ( x ) ⋅ f ( x ) dx Caso continuo
 −∞
Como caso particular:
∞
∑
x ⋅p
i =1 i i
E ( ξ) = α =  ∞
 ∫ x ⋅ f ( x ) dx
 −∞
Propiedades:
E (k ) = k
E ( k1 ⋅ ξ1 + k 2 ⋅ ξ 2 ) = k 1 ⋅ E (ξ1 ) + k 2 ⋅ E (ξ 2 )
E (ξ1 ⋅ ξ2 ) = E (ξ1 ) ⋅ E (ξ 2 ) Si ξ1 y ξ 2 son independie ntes
Momentos.
Con respecto al origen:
Con respecto a la media:
∞
∑
xr ⋅p
1 i i
αr =  ∞
 ∫ x r ⋅ f ( x ) dx
 −∞
∞
r
∑
(
x i − α1 ) ⋅ p i
1
µr =  ∞
 ∫ (x − α 1 ) r ⋅ f ( x ) dx
− ∞
Media = α1 = α
Varianza = µ 2 = σ 2 = α 2 − α 21
Desviación típica = µ 2 = σ
Var (k 1 ⋅ ξ1 + k 2 ⋅ ξ 2 ) = k12 ⋅ Var (ξ1 ) + k 22 ⋅ Var (ξ 2 ) + 2 ⋅ k 1 ⋅ k 2 ⋅ Cov (ξ1 , ξ 2 )
Si ξ1 y ξ 2 son independientes: Cov (ξ1 , ξ 2 ) = 0
D48/F634/W97/EE
-1-
EST. EMPRESARIAL
µ3
σ3
Coeficiente de asimetría: g 1 =
Coeficiente de apuntamiento o kurtosis: g 2 =
Coeficiente de variación: C.V . =
µ4
−3
σ4
σ
α
Función característica.
∞
∑
ei t xi ⋅ p i Caso discreto

i =1
itξ
ϕξ ( t ) = E (e ) =  ∞
 ∫ ei t x ⋅ f ( x ) dx Caso continuo
− ∞
En el caso continuo se verifica la siguiente propiedad:
α1 =
ϕ ′ (0)
;
i
α2 =
ϕ′′ ( 0)
;
i2
α3 =
ϕ′′′ ( 0)
; y así sucesivamente.
i3
DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF.
σ2
Pr ( α − k < ξ < α + k ) ≥ 1 − 2
k
En el caso particular k = n ⋅ σ
Pr ( α − n ⋅ σ < ξ < α + n ⋅ σ) ≥ 1 −
1
n2
DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES.
 x y p Caso discreto
∑ ij
i∑
=1 j =1
F ( x , y) = Pr (ξ1 ≤ x, ξ2 ≤ y ) =  x y
 ∫ ∫ f ( x , y) dx dy Caso continuo
 −∞ −∞
En el caso continuo f ( x , y) =
∂ 2 F ( x, y )
∂x ∂y
Distribuciones marginales.
∞
p = ∑
p Caso discreto
 i. j=1 ij

∞
f1 ( x ) = ∫ f ( x , y) dy = F1′ ( x ) Caso continuo

−∞
D48/F634/W97/EE
∞
p = ∑
p ij
.j

i =1

∞
f 2 ( y) = ∫ f ( x , y) dx = F2′ ( y)

−∞
-2-
EST. EMPRESARIAL
x ∞
x
∑
∑ p ij = ∑ p i.
i=1 j=1
i =1
F1 ( x ) = Pr (ξ1 ≤ x ) = F ( x, ∞ ) =  x ∞
x
 ∫ ∫ f ( x, y ) dy dx = ∫ f1 ( x ) dx
− ∞ − ∞
−∞
y ∞ p = y p
∑ ij ∑ . j
 ∑
j =1 i =1
j=1
F2 ( y ) = Pr (ξ 2 ≤ y ) = F ( ∞, y ) =  y ∞
y
 ∫ ∫ f ( x, y ) dx dy = ∫ f 2 ( y ) dy
 −∞ − ∞
−∞
Distribuciones condicionadas.
p ij

Pr (x i y j ) = p

.j

f (x y ) = f ( x , y)

f 2 (y )
p ij

Pr (y j x i ) = p

i.

f
(
x
,
y)
f (y x ) =

f1 ( x )
 x p ij
∑
i=1 p . j
F (x y ) = 
 x f (x y ) dx
−∫∞
 y p ij
∑
 j=1 p i.
(
)
F y x =
y
 f (y x ) dy
−∫∞
Independencia.
Decimos que ξ1 y ξ 2 son independientes si se verifica que:
p ij = p i. ⋅ p. j

f ( x, y ) = f 1 ( x) ⋅ f 2 ( y) que equivale a F ( x, y) = F1 ( x ) ⋅ F2 ( y)
o bien:
f (x y ) = f 1 ( x )

o f (y x ) = f 2 ( y)
Momentos con respecto al origen.
α hk
∞ ∞
h
k
∑
∑ x i ⋅ y j ⋅ p ij

i=1 j=1
h
k
= E (x ⋅ y ) =  ∞ ∞
 ∫ ∫ x h ⋅ y k ⋅ f ( x, y) dx dy
− ∞ − ∞
α 10
∞
∑
x ⋅p
i=1 i i.
= x = E (ξ1 ) =  ∞
 ∫ x ⋅ f 1 ( x ) dx
 −∞
D48/F634/W97/EE
α 01
∞
∑
y ⋅p
 j=1 j . j
= y = E (ξ 2 ) =  ∞
 ∫ y ⋅ f 2 ( y ) dy
− ∞
-3-
EST. EMPRESARIAL
Momentos con respecto a la media.
µ hk
∞ ∞
k
h
∑
∑ (x i − x ) ⋅(y j − y ) ⋅ p ij

i
=
1
j
=
1

h
k
= E (x − x ) ⋅ (y − y ) =  ∞ ∞
 ∫ ∫ ( x − x ) h ⋅ ( y − y) k ⋅ f ( x , y) dx dy
− ∞ − ∞
[
]
2
µ 20 = Var (ξ1 ) = σ2ξ1 = α 20 − α10
; σ ξ1 desviación típica de ξ1
µ 02 = Var (ξ2 ) = σ 2ξ2 = α 02 − α 201 ; σ ξ2 desviación típica de ξ 2
µ11 = Cov (ξ1 , ξ2 ) = α11 − α10 ⋅ α 01
El coeficiente de correlación es ρ =
µ 11
, verificándose que − 1 ≤ ρ ≤ 1 .
σξ1 ⋅ σ ξ2
Si las variables son independientes ρ = 0 , en cambio si ρ = 0 eso no implica que las variables sean
independientes.
El coeficiente de determinación es ρ 2 (0 ≤ ρ 2 ≤ 1) e indica el porcentaje de causas comunes (concausalidad)
que influyen en las dos variables, también decimos que si ρ 2 = 0'55 una variable explica el 55% de la otra.
REGRESIÓN.
∞
Curva de regresión de x sobre y: x = E (x y ) = ∫ x ⋅ f (x y ) dx
−∞
∞
Curva de regresión de y sobre x: y = E (y x ) = ∫ y ⋅ f (y x ) dy
−∞
Regresión lineal.
y = Ax + B
A=
µ11
σ 2x
B = α 01 − A ⋅ α10
x = Cy + D
C=
µ 11
σ 2y
D = α10 − C ⋅ α 01
A y C tienen el mismo signo.
A ⋅ C = ρ 2 coeficiente de terminación.
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EST. EMPRESARIAL
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.
 n
- Binomial (n, p): Pr ( ξ = k) =   ⋅ p k ⋅ q n − k ,
 k
E ( ξ) = n ⋅ p
k = 0, 1, ..., n
ϕ ξ ( t ) = (q + e i t ⋅ p )
n
Var ( ξ) = n ⋅ p ⋅ q
- Poisson (λ ) : Pr ( ξ = k ) = e −λ
E ( ξ) = λ
λk
,
k!
k = 0, 1, 2, ...
ϕ ξ ( t ) = e λ (e
Var ( ξ) = λ
it
- Uniforme (en el intervalo [a, b]): x ∈ [a, b] , f ( x) =
E ( ξ) =
a+b
2
Var ( ξ) =
(b − a )2
12
−1
)
1
b−a
ϕ ξ (t ) =
ei t b − ei t a
i t (b − a )
1
- Normal (0, 1): f ( x) =
E (ξ) = 0
1
− t2
− x2
1
2
e
; ϕ ξ (t ) = e 2
2π
E (ξ2 ) = 1
Var ( ξ) = 1
1  x −µ 

σ 
− 
1
- Normal ( µ, σ ) : f ( x) =
e 2
σ 2π
Tipificación: ξ′ =
E (ξ 4 ) = 3
2
; x∈ℜ
Var ( ξ) = σ2
E ( ξ) = µ
E (ξ 3 ) = 0
ϕ ξ (t ) = e
1
i t µ − t 2 ⋅ σ2
2
ξ−µ
→ N (0, 1) .
σ
( )
- Chi-cuadrado χn2 : Dadas las variables aleatorias ξ1 , ξ2 , ..., ξ n todas ellas N (0, 1) e independientes,
la variable η = ξ12 + ξ22 + ... + ξ2n es una χ 2n .
f (x ) =
1
n
2
n
2 ⋅ Γ  
2
n
−1
x 2 ⋅e
E ( η) = n
x
2
,
x≥0
Var ( η) = 2n
(
Se aproxima a una N n,
D48/F634/W97/EE
−
ϕ η ( t ) = ( −2i t )
−
n
2
)
2n cuando n > 30 .
-5-
EST. EMPRESARIAL
- t de Student ( t n ) : Dadas las variables aleatorias η1 , η2 , η3 ..., ηn todas ellas N (0, 1) e independientes,
n
la variable t n =
es una t de Student con n grados de libertad.
1 2
2
2
(η1 + η2 + ... + ηn )
n
E (t n ) = 0
tn ∈ ℜ
Var (t n ) =
n
para n > 2
n− 2
Se aproxima a una N (0, 1) cuando n > 30 .
Tiene el interés de que su función de densidad no depende de σ .
- F de Snedecor
(F ):
m, n
Consideremos m + n variables aleatorias independientes η1 , η2 , ..., ηm ;
ξ1 , ξ2 , ..., ξ n todas ellas N ( 0, σ ) .
La variable Fm, n
Fm, n
1 2
(η1 + η22 + ... + η2m )
= m
es una F de Snedecor con (m, n) grados de libertad.
1 2
2
2
(ξ + ξ 2 + ... + ξn )
n 1
1  η12 η22
η2 
 2 + 2 + ... + m2 
mσ
σ
σ 
1 2
χm
m
=
=
1 2
1  ξ11 ξ22
ξ2n 
χn
 2 + 2 + ... + 2 
n
n σ
σ
σ 
La gráfica de su función de densidad es similar a la de χ 2 y se verifica que Fm, n =
1
Fn , m
TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE (DE LINDEBERG-LEVY).
Sean ξ1 , ξ2 , ..., ξ n variables aleatorias independientes con la misma distribución, tales que E (ξ i ) = α ,
Var (ξi ) = σ2 (finita). Entonces formamos una nueva variable Sn = ξ1 + ξ2 + ... + ξ n , que sabemos que
verifica E (S n ) = n α , Var (Sn ) = n σ2 .
Pues bien este teorema dice que
lim
n→ ∞
Sn − n α
nσ
2
Sn − n α
n σ2
tiende a una N ( 0, 1) cuando n → ∞ .
= ξ1 ( N (0, 1) )
(
)
Por tanto ξ1 + ξ2 + ... + ξn 
→ N n α, σ n .
n→ ∞
Se admiten aproximaciones por valores de n > 30 .
D48/F634/W97/EE
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