Teoría de gravitación universal

TEORÍA DE LA
GRAVITACIÓN UNIVERSAL
1. Introducción a la gravitación. Desde el modelo geocéntrico hasta Keppler
2. Desarrollo de la teoría de gravitación universal
3. Fuerzas conservativas y Energía potencial
4. Energía potencial gravitatoria
5. Energía potencial elástica
6. Conservación de la energía mecánica
Física 2º Bachillerato
1
1. INTRODUCCIÓN A LA GRAVITACIÓN. DESDE EL
MODELO GEOCÉNTRICO HASTA KEPLER
LA ESCUELA PITAGÓRICA explicó la estructura del
universo en términos matemáticos (572-497 a.C.)
El gran fuego central, origen de todo, se relacionaba con el Uno,
origen de los números
A su alrededor girarían la Tierra, la Luna, el Sol y los planetas
El periodo de revolución de la Tierra en torno al fuego central era de
24 horas, a quien le ofrecía siempre su cara oculta
Los periodos de la Luna y el Sol eran un mes y un año
respectivamente
El universo concluiría en una esfera celeste de estrellas fijas, y más
allá se encontraba el Olimpo
El número de cuerpos que formaban el universo era de 10 (obsesión
por los números)
Pitágoras nació en Samos
hacia el año 569 a.C.
Como solo observaban nueve, suponían que el décimo estaba situado entre la Tierra y
el gran fuego, al que llamaron Antitierra
2
EL MODELO DE ARISTÓTELES (384-322 a.C.)
El universo estaba constituido por dos regiones esféricas, separadas y concéntricas
La Tierra que ocupaba el centro del universo, era
la región de los elementos, fuego, aire, agua y
tierra mutable
Los movimientos son rectilíneos y finitos. Los
movimientos no rectilíneos son violentos y
violan el orden natural.
Más allá de la esfera lunar se encontraba la
región etérea de los cielos, cuyo único
elemento era la incorruptible quinta esencia
donde reina el orden.
Los movimientos de todos los astros situados
en esferas concéntricas con la Tierra eran
circulares y perfectos
El universo concluía con la esfera de las
estrellas fijas
3
EL GEOCENTRISMO DE C. PTOLOMEO (100-170 d.C )
Vivió en Alejandría en el siglo II y fue el más célebre astrónomo de la antigüedad
Estrella
lejana
Las causas más importantes de los modelos
geocéntricos frente a los heliocéntricos
fueron:
La falta de cálculos y predicciones
cuantitativas sobre las trayectorias de los
planetas
La imposibilidad de medir paralajes de las
estrellas
Ptolomeo justificó su modelo calculando los
movimientos planetarios y prediciendo
eclipses de Sol y de Luna.
Todo ello lo recopiló en una gran obra “El
Almagesto” que dominó el pensamiento
occidental e islámico durante toda la edad
media
’
Sol
Tierra
Paralaje anual de las estrellas fijas
4
Las estrellas se describen como puntos en la esfera celeste que giran en torno a la
Tierra y mantienen las distancias fijas entre ellos, lo que justifica que pertenezca a una
única esfera hueca
El Sol y la Luna presentan un movimiento diferente
Ptolomeo introdujo la excentricidad de
las
trayectorias,
es
decir,
un
desplazamiento del centro de la órbita
(Ex) respecto al centro de la Tierra
La
velocidad
angular
de
las
trayectorias debía se constante
respecto de un punto fuera del centro
de la trayectoria, punto que denominó
ecuante (Ec)
Luna
t
E c Ex
Tierra
Estos ajustes explican las diferencias
de brillo y tamaño que se observan en
el Sol y la Luna, y los cambios de
velocidad del Sol a lo largo de su
trayectoria
5
Ptolomeo observó que los planetas realizaban movimientos retrógrados, volviendo
sobre su trayectoria formando lazos en la esfera celeste. Para justificarlo utilizó un
movimiento compuesto por dos rotaciones
El planeta giraba alrededor de un punto
que era el que en realidad rotaba con
respecto a la Tierra
La órbita alrededor de la Tierra se
denomina deferente y la del planeta
epiciclo
6
N. COPÉRNICO (1473-1543)
Desde la Tierra se apreciaba que planetas como Mercurio y Venus, que están más
cercanos al Sol, tenían un brillo variable a lo largo del año, lo que parecía indicar que
las distancias con respecto a la Tierra variaban y por tanto no podían girar alrededor de
esta; se llegó a la conclusión que todos los planetas tenían que girar alrededor del Sol
I
I
H
H
G
I
G
F
F
E
E
D
C
H
E
B
D
D
G
C
C
A
F
B
B
A
A
Este planteamiento le permitió justificar el movimiento retrógrado de los planetas
para el que Ptolomeo había introducido los epiciclos
7
Estudió en Cracovia y luego en Bolonia derecho canónico donde
recibió la influencia del humanismo italiano. Posteriormente
estudió medicina en Padua y se doctoró en derecho canónigo en
Ferrara.
Volvió a su país como consejero episcopal. Fijó su residencia en
Frauenburg y se dedicó a la administración de los bienes del
cabildo durante el resto de sus días; mantuvo siempre el empleo
eclesiástico de canónigo, pero sin recibir las órdenes sagradas.
Hacia 1507, Copérnico elaboró su primera exposición de un sistema astronómico
heliocéntrico en el cual la Tierra orbitaba en torno al Sol, y a raíz de ello Copérnico empezó a
ser considerado como un astrónomo notable; con todo, sus investigaciones se basaron
principalmente en el estudio de los textos y de los datos establecidos por sus predecesores,
ya que apenas superan el medio centenar las observaciones de que se tiene constancia que
realizó a lo largo de su vida.
En 1533 sus enseñanzas fueron expuestas al papa Clemente VII por su secretario y se
llamó a Copérnico desde Roma urgiéndole a que hiciera públicos sus descubrimientos. Por
entonces, él ya había completado la redacción de su gran obra, “Sobre las revoluciones de
los orbes celestes”, un tratado astronómico que defendía la hipótesis heliocéntrica.
Consideró un universo finito y las órbitas circulares las únicas adecuadas para explicar el
movimiento de los planetas.
8
Tycho BRAHE (1546-1601)
Es el primer astrónomo moderno que registró detalles precisos a
cerca del movimiento de los planetas. Realizó mediciones
astronómicas durante 20 años y aportó los datos precisos para el
modelo actual.
No quiso aceptar el modelo heliocéntrico, a pesar de su sencillez.
Intentó mejorar el sistema geocéntrico.
Sus contribuciones más importantes se refieren a una estrella
nueva (nova) descubierta en 1572, a la interpretación de los
cometas, y a las posiciones del Sol, la Luna y los planetas,
particularmente el planeta Marte.
Tycho debió abandonar Dinamarca debido a la muerte de su protector y mecenas Federico II,
dirigiéndose a Praga donde se acogió bajo la protección del emperador Rodolfo II, que
compartía con Tycho la creencia en los sueños astrológicos y quién lo nombró matemático de
la corte. No tenía grandes dotes matemáticas y fue auxiliado por Keppler que heredó su
colección única de datos.
Era un personaje interesante. Tenía un enano como bufón al que sentaba bajo la mesa durante la cena. Incluso tenía un alce
entrenado como mascota. Tycho también perdió la punta de su nariz en un duelo con otro noble danés y tuvo que usar una nariz
falsa hecha de plata y oro, pero ésa es otra historia. Se dice que Tycho tuvo que aguantarse las ganas de ir al baño durante un
banquete particularmente extenso en 1601 (levantarse en medio de una cena era considerado como algo realmente ofensivo), a
tal punto que su vejiga, llevada al límite, desarrolló una infección por la que murió. Análisis posteriores sugirieron que Tycho
9 murió
en realidad por envenenamiento con mercurio, pero esa conclusión no es tan interesante como la historia original.
J. KEPLER (1571-1670)
El trabajo más importante de Kepler fue la revisión de los esquemas
cosmológicos conocidos a partir de la gran cantidad de
observaciones acumuladas por Brahe (en especial, las relativas a
Marte), labor que desembocó en la publicación, en 1609, de la
Astronomia nova (Nueva astronomía), la obra que contenía las dos
primeras leyes llamadas de Kepler, relativas a la elipticidad de las
órbitas y a la igualdad de las áreas barridas, en tiempos iguales, por
los radios vectores que unen los planetas con el Sol.
Culminó su obra durante su estancia en Linz, en donde enunció la
tercera de sus leyes, que relaciona numéricamente los períodos de revolución de los planetas
con sus distancias medias al Sol; la publicó en 1619 en Harmonices mundi (Sobre la armonía
del mundo), como una más de las armonías de la naturaleza, cuyo secreto creyó haber
conseguido desvelar merced a una peculiar síntesis entre la astronomía, la música y la
geometría.
Fue un hombre inteligente, raro y terriblemente desgraciado.
10
GALILEO (1564-1642)
Galileo consiguió observar las fases de
Venus con la ayuda de un telescopio,
convirtiéndose así en el primer defensor a
ultranza del sistema copernicano
Encontró infinidad de estrellas nunca
vistas hasta entonces y llegó a descubrir la
deformidad de la Luna y su superficie
rugosa
En 1610 Galileo descubrió los satélites de
Júpiter, confirmando así que la Tierra no
era el centro del universo
En 1632 publicó en Florencia su obra
Diálogo sobre los dos grandes sistemas del
mundo
Galileo nació en Pisa en 1564
Un año después fue procesado por la
Inquisición
11
Isaac NEWTON (1642-1727)
Fue un físico, filósofo, inventor, alquimista y matemático inglés,
autor de los “Philosophiae naturalis principia mathematica”, más
conocidos como los Principia, donde describió la ley de gravitación
universal y estableció las bases de la Mecánica Clásica mediante
las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros descubrimientos
científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la
óptica (que se presentan principalmente en el Óptica) y el
desarrollo del cálculo matemático.
Newton demuestra que las leyes naturales que gobiernan el
movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los
cuerpos celestes son las mismas. Es, a menudo, calificado como el científico más grande de
todos los tiempos, y su obra como la culminación de la Revolución científica.
Newton consigue integrar todo el conocimiento sobre la mecánica y la astronomía
desarrollado previamente por sus antecesores: Galileo, Kepler… en unas sencillas leyes,
algo que se ha dado en llamar la síntesis newtoniana.
12
Cronología
ESCUELA PITAGÓRICA
572-497 AC
ARISTÓTELES
384-322 AC
PTOLOMEO DE ALEJANDRÍA
100-170 DC
12 SIGLOS
1473-1543 DC
T. BRAHE
1546-1601 DC
J. KEPLER
1571-1670 DC
GALILEO GALILEI
1564-1642 DC
I. NEWTON
1642-1727 DC
4 SIGLOS
N. COPERNICO
13
2. DESARROLLO DE LA TEORÍA DE
GRAVITACIÓN UNIVERSAL
LAS LEYES DE KEPLER.
DEDUCCIÓN DE LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
A PARTIR DE LAS LEYES DE KEPLER
JUSTIFICACIÓN DE LA LEY DE GRAVITACIÓN
UNIVERSAL A LA LUZ DE LOS DATOS QUE SE
CONOCÍAN EN TIEMPO DE NEWTON
VALOR Y SENTIDO FÍSICO DE G
14
LAS LEYES DE KEPLER.
Tras cuatro años de observaciones sobre
Marte, llegó a la conclusión de que los
datos colocaban las órbitas ocho minutos
de arco fuera del esquema circular de
Copérnico
Perihelio
Afelio
Comprobó que este hecho se repetía para
todos los planetas
Foco
Eje menor
Sol
Descubrió que la elipse era la curva que
podía definir el movimiento planetario
b
a
La posición del extremo del semieje
mayor más alejada del Sol se llama afelio
Eje mayor
La posición más cercana, es el perihelio
Primera ley: Los planetas describen órbitas elípticas alrededor
del Sol, estando situado este, en uno de sus focos
15
Kepler observó que la velocidad de los planetas dependía de su posición en la órbita
Segunda ley: El radiovector
dirigido desde el Sol a los
planetas, barre áreas iguales en
tiempos iguales
1 de enero
30 de
julio
r 1 enero
A
A
Sol
30 de
enero
r 1 julio
1 de
julio
Cada planeta, parecía tener su órbita propia y su velocidad independiente del resto.
Buscó la regla y encontró la solución en las medidas de Tycho Brahe
Esta ley muestra la relación entre los tamaños de las órbitas y el tiempo empleado por
los planetas en recorrerlas
Tercera ley: El cuadrado de los periodos de revolución de los planetas
alrededor del Sol (T) es proporcional a los cubos de los semiejes mayores, o
radios medios, de sus órbitas (r), T 2 = Kr 3 siendo K una constante igual para
todos los planetas
16
DEDUCCIÓN DE LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL A
PARTIR DE LAS LEYES DE KEPLER
Supuestos:
- El Sol y los planetas son masas puntuales.
- El sistema de referencia tiene como origen de coordenadas el Sol.
- Solo se considera la interacción gravitatoria con el Sol (no las de los demás planetas).
- Los planetas describen órbitas circulares cuya ac = v2/R
Si la orbita es circular y se cumple la ley de las áreas:
A1
A2
s1
s2
v1t
v2t
v1
v2
mov. uniforme
Entonces el periodo y la aceleración centrípeta son:
2
4 2
2
y ac
R
ac
R
2
T
T
Considerando la tercera ley de Kepler T 2
kR 3 :
4 2
4 2
m
ac
de donde F mac
F m 2
F k1 2
2
kR
kR
R
La fuerza de reacción debe ser igual, proporcional a la masa e inversa al cuadrado de la distancia
F12
F21
k1
m
R2
k2
M
donde se denomina G
R2
k1
M
k2
m
F
G
Mm
R2
17
JUSTIFICACIÓN DE LA LEY DE GRAVITACIÓN
UNIVERSAL A LA LUZ DE LOS DATOS QUE SE
CONOCÍAN EN TIEMPO DE NEWTON
Se conocía:
- El Radio de la Tierra= 6,37·107 m, calculado por Eratóstenes.
- Distancia de la Tierra a la Luna, aproximadamente 60RT.
- Aceleración de la gravedad g=9,81 m·s-2, que se calcula con un simple péndulo.
Se trata de demostrar que la aceleración centrípeta del movimiento de rotación de
la Luna es debida a la aceleración de la gravedad terrestre.
La aceleración de la gravedad disminuye con el cuadrado de la distancia
g
Hay que demostrar que
g
an
g
2, 72 10
3
m s
2
La aceleración debida a un movimiento circular cualquiera es an
an
En realidad r
g0
602
4 2r 2
T2 r
an
4
v2
r
2
60 R
T2
an
2,57 10
60R y el periodo Lunar son menos de 28 días.
3
m
18
VALOR Y SENTIDO FÍSICO DE G
El valor de G
- Fue calculado experimentalmente 100 años después por Cavendish, mediante una
balanza de torsión
- G es la fuerza con la que se atraen dos masas de un kg a un metro de distancia.
- G es una constante universal pero tiene unidades.
G
FR 2
Mm
F l
G
6, 67 10
k
11
k r2
Mml
Nm2
kg 2
11
Nm2
kg 2
G
G 6, 67 10
Mm
G 2 l k
r
l : longitud de la barra k : constante elástica del hilo
: angulo girado
F : fuerza de atracción
19
Ej-1.: La luz tarda 8,31 minutos en llegar a la Tierra y 6,01 minutos en llegar a Venus.
Suponiendo que las órbitas descritas por ambos planetas son circulares, determinar:
- El periodo orbital de Venus en torno al Sol sabiendo que el de la Tierra es 365,25 días.
- La velocidad con que se desplaza Venus en su órbita.
Datos G, c y Mvenus = 4,38·1024 kg.
Sol.: 224,65 días; 3,5·104 m/s
Ej-2.: Un satélite artificial se desplaza en una órbita circular a una altura de 300 km sobre
la superficie de la Tierra. Calcula
- Su velocidad.
- Su periodo de revolución.
- Su aceleración centrípeta.
Datos RT = 6,37·103 km, g0 = 9,8 m/s2.
Sol.: 7,7·103 m/s; 91 min; 8,9 m/s2
20
3. FUERZAS CONSERVATIVAS Y ENERGÍA POTENCIAL
La descripción de la interacción gravitatoria se puede hacer
- A partir de la ley de gravitación de Newton.
- O en términos energéticos, a partir de los conceptos de energía potencial y fuerza
conservativa.
La energía de un sistema se puede trasmitir a un cuerpo de dos formas:
- irradiándola mediante ondas.
- o mediante el trabajo de una fuerza de interacción.
El trabajo es la medida de la energía suministrada a un cuerpo mediante una fuerza
que le produce un desplazamiento.
W
 
F r
2
W
 
F dr
1
El origen de energía potencial cero se asigna al infinito, cuando no hay interacción.
21
FUERZAS CONSERVATIVAS
- Una fuerza es conservativa si solo es función de la posición, F=f(x).
- Cuando el trabajo total realizado sobre un objeto, que describe una trayectoria cerrada, es
cero.
- Cuando el trabajo realizado por la fuerza es independiente del camino seguido, es decir, el
trabajo realizado por una fuerza conservativa solo depende de la posición inicial y final de la
partícula.
Fc
Fc ( x)
ó
W
 
 Fc d r
0 ó W
U1 U 2
Toda fuerza conservativa lleva asociada una Energía Potencial,
Energía Potencial es la magnitud característica de las fuerzas conservativas cuya
disminución mide el trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria
2
W
 
Fc d r U1 U 2
U
1
Un cuerpo colocado en un punto del campo gravitatorio terrestre lleva asociado una Ep que
coincide con el trabajo realizado para colocarlo en ese punto: Energía de Posición.
W
B
A

Fc dr U A U B
(U B U A )
U
Ep
22
En un campo de fuerzas conservativo, el resultado de la integral del trabajo realizado
para ir desde A hasta B puede expresarse como una nueva función, Ep que depende solo
de los puntos inicial y final
WA
B
B
A
Ep ( A )
F dr
B
Ep (B)
C1
Si el campo de fuerzas es conservativo,
WA
C1
B
WA
C2
B
A
Si se invierte el segundo camino,
WA
C2
B
WB
C2
WA
WA
A
C1
B
C2
WB
C1
C2
WB
B
A
C2
A
0
Cuando un cuerpo se desplaza por una trayectoria cerrada en un campo de
fuerzas conservativo, el trabajo total realizado por las fuerzas del campo es
 
nulo
 F dr
0
C
23
TEOREMA DE LA ENERGÍA POTENCIAL
El trabajo realizado por una fuerza conservativa se emplea en disminuir la energía
potencial.
2
W
 
Fc d r
Ep
1
TEOREMA DE LA ENERGÍA CINÉTICA
El trabajo realizado por una fuerza se emplea en aumentar su energía cinética.
2
W
 
F dr
Ec
1
El teorema de la Ep solamente es válido para fuerzas conservativas, El de la Ec es
válido para todo tipo de fuerzas.
24
4. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA
La fuerza gravitatoria es conservativa. Lleva asociada una energía potencial y como la
fuerza depende de la posición es de esperar que la energía potencial también dependa
de la posición. Si F=F(x) → Ep(x)
ENERGÍA POTENCIAL DE DOS PARTÍCULAS
El trabajo debido a la interacción gravitatoria para traer
una masa m2 desde el infinito hasta un punto B, será:
W
EpB
EpB
B

F dr
B
Ep
Gm1m2
dr
2
r
Gm1m2
1
r
2
Ep
EpB
Gm1m2
B
EpB
m1
m2

F
EpB
B
dr
r2
rB
Gm1m2
rB
que corresponde con el valor de la energía potencial en el punto 25B
- A cada posición relativa de dos masas corresponde
una Ep que solo es función de la posición  Ep(r).
EP
r
- La Ep( ) = 0.
- La Ep gravitatoria es siempre negativa. El trabajo
realizado por una fuerza conservativa se invierte en una
disminución de la Ep.
Ep
G
m m'
r
CONCLUSIONES
- Cuando dos cuerpos se aproximan la Ep . El W de aproximación lo realiza la Fc a costa
de la Ep.
- Cuando separamos dos masas hay que aplicar una Fext al sistema. Esta F se emplea en
Ep.
- La Ep de un sistema de partículas es la suma de las Ep de todas las partículas dos a dos.
26
VARIACIÓN DE LA ENERGÍA
POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS A y B
A cada posición relativa de dos masa corresponde una Ep, si la posición relativa varía la Ep
también.
A
m1
Ep
EpB
Ep A
EpB
Ep A
G
m1m2
rA
mm
G 1 2
rB
G
m1m2
rB
mm
G 1 2
rA
EpB
EpA
B

F
m2
rA
Gm1m2
rB
1
rA
1
rB
si rA=rB la Ep se mantiene constante. Y la partícula se desplaza por una superficie
equipotencial
27
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA TERRESTRE
La energía asociada al sistema de partículas formado por la Tierra y un cuerpo:.
Ep
G
Mm
r
G
Mm
( R h)
La variación de la Ep cuando elevamos un cuerpo desde la superficie de la Tierra
hasta una altura h
Ep
EpB
Ep A
h
GMm
R ( R h)
donde
g0
GM
R2
1
GMm
rA
1
rB
R2h
g0m
R ( R h)
y
h
R
1
GMm
R
g0m
h
h
1
R
1
m
h
R h
r
mg 0 h
R
0
- Ep representa variaciones de Ep y solo tiene sentido eligiendo un nivel 0 de Ep arbitrario
- Dicha fórmula solo es válida mientras g0 es constante, para valores de h
considerar solo la primera parte.
hay que
28
Ej-3.: Un satélite artificial de 1200 kg se eleva a una distancia de 6500 km del centro de la
Tierra y recibe un impulso, mediante cohetes propulsores, para que describa una órbita
circular alrededor de ella.
- ¿Qué velocidad deben comunicar los cohetes para que tenga lugar este movimiento?
- ¿Cuánto vale el trabajo realizado por las fuerzas del campo gravitatorio al llevar el
satélite desde la superficie de la Tierra hasta esa altura?
- ¿Cuál es la energía total de lsatélite?
Datos RT = 6,37·103 km, g0 = 9,8 m/s2..
Sol.: 7809 m/s; -1,61·109 J; -36.6·109 J
Ej-4.: Desde la superficie de la Tierra se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba
Calcula la altura máxima que alcanza si:
- Su velocidad inicial es 10 m/s.
- Su velocidad es 10 km/s.
Datos G, MT = 5,98·1024 kg; RT = 6,37·103 km, g0 = 9,8 m/s2. No se considera el
rozamiento con el aire.
Sol.: 5,1 m, 25600 Km
29
5. ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA
Todo cuerpo elástico almacena energía cuando experimenta una deformación. Esta Ep está
relacionada con el W que es necesario realizar para deformar los cuerpos venciendo la
fuerza recuperadora que es conservativa.
xf
W
x0
 
Fd x
xf
kx dx
x0
x2
k
2
xf
x0
1 2
kx f
2
1 2
kx0
2
1 2
kx0
2
1 2
kx f
2
Epx0
Epx f
El trabajo solo depende del punto de partida y llegada luego la F es conservativa.
La Ep elástica es siempre positiva, el resorte siempre almacena energía, tanto si se alarga
como si se encoge.
CONCLUSIONES
- El W en contra de la gravedad y de deformación queda almacenado como Ep asociada a la
posición.
- Las F de la gravedad y elástica son conservativas, restituyen el trabajo que se hizo para
vencerlas.
- Todo cuerpo situado a cierta altura y todo cuerpo deformado pueden realizar trabajo porque
poseen Ep.
30
6. CONSERVACION DE LA ENERGÍA MECÁNICA
SI SOLO ACTUAN FUERZAS CONSERVATIVAS
A partir del teorema de la Ec y de la Ep:
W
W

F

F

dr

dr
Ec
Ep
Ec
Ep
SI TAMBIÉN ACTUAN FUERZAS NO CONSERVATIVAS
A partir del teorema de la Ec y de la Ep:
  
W
Fc Fr dr
 
Fc dr
Ep
 
Fc dr
WR
 
Fr dr
Ec Ep
Ec
EM
31