Teoría del Consumidor: Dualidad

Universidad Carlos III
Micro II
Teoría del Consumidor: Dualidad
La resolución del problema del consumidor
max u(x, y)
x,y
px x + py y ≤ I,
x ≥ 0, y ≥ 0,
proporciona las funciones de demanda ordinarias (marshallianas),
x(px , py , I)
y(px , py , I)
y la función indirecta de utilidad
v(px , py , I) = u(x(px , py , I), y(px , py , I)).
Bajo las hipótesis habituales sobre las preferencias del consumidor, estas funciones
son continuas, homogéneas de grado cero en (px , py , I), etc..
El dual al problema del consumidor consiste en minimizar el gasto necesario para
alcanzar un cierto nivel de bienestar:
min px x + py y
x,y
u(x, y) ≥ u,
x ≥ 0, y ≥ 0.
La solución a este problema proporciona las funciones de demanda compensadas
(hicksianas),
hx(px , py , u)
hy (px , py , u)
y la función de gasto
e(px , py , u) = px hx (px , py , u) + py hy (px, py , u)).
De nuevo, bajo las hipótesis habituales sobre las preferencias del consumidor, estos
funciones son continuas, homogéneas de grado cero en (px , py ), etc..
Las relaciones entre las soluciones a estos problemas está claramente descrita por
las identidades
x(px , py , I) ≡ hx (px , py , v(px , py , I)); hx (px , py , u) ≡ x(px , py , e(px , py , u))
y(px , py , I) ≡ hy (px , py , v(px , py , I)); hy (px , py , u) ≡ y(px , py , e(px , py , u))
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y
v(px , py , e(px , py , u)) ≡ u; e(px , py , v(px , py , I) ≡ I.
Derivando la identidad hx (px, py , u) ≡ x(px , py , e(px , py , u)) con respecto a px , se
obtiene la Ecuación de Slutsky,
∂x
∂hx
∂x
=
−x .
∂px
∂px
∂I
(Para obtener esta ecuación es preciso utilizar el resultado
∂e
= hx (px , py , u),
∂px
conocido como Lema de Shephard.)
La Ecuación de Slutsky proporciona una fórmula para el cálculo de los efectos
x
) y renta (−x ∂x
) de una variación infinitesimal del precio de un bien
sustitución ( ∂h
∂px
∂I
sobre su demanda.
Cuando la renta monetaria del consumidor no es exógena, como ocurre en el
modelo consumo-ocio y en general cuando la renta monetaria del consumidor es el
valor de una dotación inicial de bienes, la descomposición en efecto sustitución y renta
del efecto total de la variación en el precio de un bien sobre su demanda adopta una
forma distinta. La razón es que el signo del efecto renta en este caso no sólo depende
de si el bien en cuestión es normal o inferior, sino de si el individuo es un comprador
o un vendedor neto de este bien — véanse las figuras 1 y 2. Para aclarar esta cuestión,
derivamos la Ecuación de Slutsky en este contexto.
El problema del consumidor con dotación inicial (x̄, ȳ) es el siguiente:
max u(x, y)
x,y
pxx + py y ≤ px x̄ + py ȳ,
x ≥ 0, y ≥ 0.
Las funciones de demanda ordinarias que resultan de resolver este problema tienen
como argumentos únicamente a los precios de los bienes
x̃(px , py )
ỹ(px , py ).
La relación de estas funciones con las funciones de demanda ordinarias obtenidas para
el caso en que la renta monetaria es exógena es clara
x̃(px , py ) ≡ x(px , py , I(px , py ))
ỹ(px , py ) ≡ y(px , py , I(px, py )),
donde I(px , py ) ≡ pxx̄ + py ȳ.
Derivando la primera de estas identidades con respecto a px obtenemos
∂ x̃
∂x
∂x ∂I
=
+
∂px
∂px ∂I ∂px
∂x
∂x
=
+
x̄.
∂px ∂I
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Utilizando la Ecuación de Slutsky obtenida para x(px , py , I), tenemos
∂ x̃
∂x
∂x
=
+
x̄
∂px
∂px ∂I
∂x
∂hx
∂x
= (
x̄.
−x )+
∂px
∂I
∂I
La expresión de la Ecuación de Slutsky en este contexto es, por tanto,
∂ x̃
∂hx
∂x
=
− (x − x̄) .
∂px
∂px
∂I
.
En esta fórmula, el signo del efecto renta depende del signo del producto (x − x̄) ∂x
∂I
Cuando éste es positivo, el efecto renta tiene el signo habitual. Sin embargo, cuando
es negativo (algo que ocurre si el bien es normal pero el consumidor es un vendedor
neto del mismo), es signo del efecto renta es el contrario al habitual; en este caso, es
posible que el efecto total de la variación del precio del bien sobre su demanda sea
positivo, a pesar de que se trate de un bien normal.
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