Análisis de la evolución de los niveles de pensamiento geométrico

Resumen: D-019
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDEST E
Comunicaciones Científicas y Tecnológicas 2004
Análisis de la evolución de los niveles de pensamiento geométrico en la construcción del
concepto de Transformaciones Rígidas del Plano según la Teoría de Van Hiele y el empleo
del Soft Cabri Géomètre de estudiantes del Profesorado en Matemática que cursaron la
asignatura Geometría Métrica y Trigonometría en el año 2003.
Beltrametti, María C. - Esquivel, Mónica L. - Ferrari, Elvira E.
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura
Avenida Libertad 5470. 3400. Corrientes. Argentina.
E-mail/ Teléfono y Fax: [email protected] Te / fax.03783 473930.
Antecedentes:
Esta presentación forma parte del proyecto denominado “Teoría de Van Hiele y Cabri-Géomètre en la construcción del
concepto de Transformaciones Rígidas del Plano” y es continuación del trabajo “Determinación de los niveles de
pensamiento geométrico según la Teoría de Van Hiele de estudiantes de Profesorado de Matemática al inicio de un
curso de Geometría Métrica.”(Beltrametti, Esquivel, Ferrari, 2003)
El objetivo principal del proyecto consiste en analizar las posibilidades y progresos de los estudiantes en la
construcción del concepto de Transformaciones Rígidas del Plano, a efectos de verificar o rechazar la hipótesis de que
los alumnos que emplean o utilizan el soft Cabrí en una situación de enseñanza aprendizaje avanzan del nivel de
deducción informal a niveles superiores según la Teoría de Van Hiele.
Marco Teórico:
El análisis de los niveles de pensamiento geométrico de los alumnos del Profesorado en Matemática que cursan la
asignatura Geometría Métrica y Trigonometría(2003)en la Facultad de Ciencia Exactas y Naturales y Agrimensura de la
UNNE, se basa en la Teoría de Niveles del pensamiento geométrico de Van Hiele (Modelo de Van Hiele), modelo que
explica al mismo tiempo cómo se produce la evolución del razonamiento geométrico de los estudiantes y cómo es
posible ayudarlos a pasar de un nivel a otro. Este modelo estratifica el conocimiento en cinco niveles de razonamiento
y dentro de cada nivel propone una serie de fases de aprendizaje para pasar de un nivel a otro. El aprendizaje es
comparado a un proceso inductivo. En un nivel n -1 pueden ser estudiadas ciertas cuestiones limitadas de los objetos
geométricos. En el nivel n se suponen conocidas los conocimientos del nivel n -1 y se explicitan las relaciones que
estaban implícitas en el nivel anterior, aumentando así el grado de comprensión del conocimiento. Así los objetos de
nivel n son extensiones del nivel n-1.A los niveles se los denomina de la siguiente manera: Nivel 0: Básico,
reconocimiento o visualización. Nivel 1: Análisis, Nivel 2: Deducción informal u orden. Nivel 3: Deducción. Nivel 4:
Rigor y en geometría se caracterizan de la siguiente manera: Nivel 0: Los individuos perciben las figuras como un todo
global. No reconocen las partes, y componentes de las figuras. No explicitan las propiedades determinantes de las
figuras. Pueden sin embargo producir una copia de cada figura particular o reconocerla. Nivel I: Los individuos pueden
analizar las partes y propiedades particulares de las figuras, pero no explicitan relaciones entre distintas familias de
figuras. Las propiedades de las figuras se establecen experimentalmente. Nivel 2: Los individuos determinan las figuras
por sus propiedades pero son incapaces de organizar una secuencia de razonamientos que justifiquen sus observaciones.
Se pueden comprender las primeras definiciones que describen las interrelaciones con sus partes constituyentes. Nivel
3: Los individuos pueden desarrollar secuencias de proposiciones para deducir una propiedad de otra. Sin embargo, no
se reconoce la necesidad del rigor en los razonamientos. Nivel 4: Los individuos están capacitados para analizar el
grado de rigor de varios sistemas deductivos. Pueden apreciar la consistencia, la independencia y la completitud de los
axiomas de los fundamentos de la geometría. Este último nivel por su alto grado de abstracción debe ser considerado en
una categoría aparte, tal como sugieren los últimos estudios sobre el tema. (Alsina, Fortuny y Pérez Gómez, 1997).Van
Hiele propuso cinco fases de enseñanza que guían al docente en el diseño de experiencias de aprendizaje adecuadas
para el progreso del estudiante en su aprendizaje de la Geometría. La descripción de las fases dadas por Alsina (1997),
es la siguiente: Fase1: Discernimiento. En esta fase se presentan a los estudiantes situaciones de trabajo dando el
vocabulario y las observaciones necesarias para el trabajo. Fase 2: Orientación dirigida. En esta fase se propone a los
estudiantes una secuencia de actividades graduadas a realizar y explorar. La ejecución y la reflexión propuesta servirá
de motor para propiciar el avance en los niveles de conocimiento. Fase 3: Explicitación. Los estudiantes, una vez
realizadas las experiencias, expresan sus resultados y comentarios. Durante esta fase el estudiante estructura el sistema
de relaciones exploradas. Fase 4: Orientación libre. Con los conocimientos adquiridos, los estudiantes aplican sus
conocimientos de forma significativa a otras situaciones distintas de las presentadas, pero con una estructura
comparable. Fase 5:Integración. Los objetos y las relaciones son unificadas e interiorizadas en su sistema mental de
conocimientos. Superada la fase 5, se alcanza un nuevo nivel.
Método:
Para el análisis de la evolución de los niveles de pensamiento geométrico en el tema Transformaciones Rígidas del
Plano en los estudiantes del Profesorado el Matemática del curso de Geometría Métrica y Trigonometría 2003 según
la Teoría de Van Hiele, se implementaron dos tests a veintiséis estudiantes, (tests inicial y final), construidos
empleando las ideas que presentan Jaime y Gutiérrez (1990) de manera que las respuestas de los alumnos pudieran ser
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evaluadas desde la teoría de niveles de Van Hiele y siguiendo la caracterización propuesta por (Alsina, Fortuny y Pérez
Gómez, 1997).
El test inicial se aplicó luego de proporcionar conceptos teóricos sobre el tema y consistió en la realización de
actividades características de los Niveles: 0, I y II considerando las diferentes fases (Discernimiento, Orientación
dirigida, Explicitación, Orientación Libre, Integración) siguiendo las propuestas para el tema Transformaciones
Rígidas brindadas por Alsina, Fortuny y Pérez Gómez, (1997, Cuadro 2.1 Pág. 39) y partiendo de los resultados
obtenidos en el test de diagnóstico inicial presentado en el trabajo “Determinación de los niveles de pensamiento
geométrico según la Teoría de Van Hiele en estudiantes de Profesorado de Matemática al inicio de un curso de
Geometría Métrica.”(Beltrametti, Esquivel, Ferrari, 2003) El segundo test (Test final) se aplicó luego de haber
trabajado el tema en las clases prácticas en las cuales se presentaron situaciones de aprendizaje que incluyeron todas
las fases para cada uno de los niveles 0, I, II, y III, y a efectos de verificar o rechazar la hipótesis de trabajo: que los
alumnos que emplean o utilizan el soft Cabrí en una situación de enseñanza aprendizaje avanzan del nivel de deducción
informal a niveles superiores según la Teoría de Van Hiele, se realizó un estudio comparativo, dividiendo el grupo de
estudiantes en dos de igual número de integrantes, donde uno de ellos realizó las tareas empleando el soft Cabri y el
otro prácticas tradicionales.
Para la asignación de niveles de razonamiento de los alumnos se tuvieron en cuenta tanto el tipo de respuesta a una
situación planteada como el grado de adquisición de un nivel de razonamiento.
El proceso de evaluación del nivel del razonamiento se inició asignando el nivel según el tipo de respuesta que dio cada
estudiante a las cuestiones que conformaron el test escrito. Se tuvo especialmente en cuenta que “Las diferentes
capacidades de razonamiento asociadas a los niveles de Van Hiele no sólo se reflejan en la forma de resolver los
problemas propuestos, sino en la forma de expresarse y en el significado que se le da a un determinado vocabulario”
(Jaime y Gutiérrez. Pág. 313) y que “para determinar el nivel de razonamiento lo más importante no es evaluar si los
estudiantes contestan bien o mal, sino cómo contestan y por qué lo hacen así” (Jaime y Gutiérrez, 1990,Pág. 321).
Para establecer las diferencias entre ambos grupos de estudiantes se utilizó el test χ2 de homogeneidad en tabla de
contingencia al nivel de significación del 5%.
Discusión de los resultados:
Test Inicial: De los veintiséis alumnos encuestados, tres (12%), se encuentran en Nivel 0, ocho (31%) en Nivel I y
quince (57%) en el Nivel II, es decir que el 12% de los estudiantes fueron capaces de identificar una transformación
rígida, aplicar una transformación rígida a una figura, e identificar y definir los elementos básicos de una
transformación. El 31% de los alumnos pudo encontrar las propiedades de las imágenes de puntos del plano por
medio de una transformación rígida, descubrir y enunciar las propiedades que permanecen invariantes en una
transformación rígida. El 57% fue capaz de efectuar diferentes composiciones de transformaciones, explicitar todas las
posibilidades de componer dos reflexiones, descomponer un movimiento y caracterizar en forma general la
composición de dos reflexiones. (Cuadro I)
Nivel 3 Nivel 0
0% 12%
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 0
3
31%
57%
Nivel 1
8
Nivel 2
15
Nivel 3
0
Cuadro I (Niveles alcanzados Test Inicial)
Test Final: De los veintiséis alumnos encuestados, uno (4%), se encuentra en Nivel I, veinte (77%) en Nivel II y cinco
(19%) en el Nivel III, es decir que el 4% de los estudiantes sólo pudo encontrar las propiedades de las imágenes de
puntos del plano por medio de una transformación rígida, descubrir y enunciar las propiedades que permanecen
invariantes en una transformación rígida. El 77% es capaz de efectuar diferentes composiciones de transformaciones,
explicitar todas las posibilidades de componer dos reflexiones, descomponer un movimiento y caracterizar en forma
general la composición de dos reflexiones y únicamente el 19% es capaz de realizar el estudio de cualquier isometría
como producto de reflexiones.(Cuadro II)
Nivel 0
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
0
1
20
5
Nivel 0 Nivel 1
Nivel 3 0%
4%
19%
Cuadro II (Niveles alcanzados Test final)
Nivel 2
77%
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Comparando los niveles alcanzados por cada uno de los estudiantes en los tests Inicial y Final, se ha observado que
once estudiantes (42%) se mantuvieron en el mismo nivel de razonamiento, mientras que quince (58%), adquirieron un
nuevo nivel de los cuales doce (46%) pasaron al nivel inmediato superior, mientras que tres estudiantes (12%)
superaron dos niveles. (Cuadro III y Cuadro IV)
Por otra parte, ocho (62%) de los trece estudiantes que realizaron las prácticas empleando el soft Cabri pasaron a un
nivel superior de razonamiento, mientras que cinco (38%), permanecieron en el mismo nivel. De los trece estudiantes
que realizaron prácticas tradicionales, cinco (38%) alcanzaron niveles superiores y ocho (62%) no variaron su
situación anterior. (Cuadro V)
25
20
20
15
15
Variación de Niveles
10
8
5
5
Igual
42%
3
1
0
0
Subio
58%
0
Nivel 0
Nivel 1
Test Inicial
Nivel 2
Nivel 3
Test Final
Cuadrado III (Cuadro comparativo test inicial test final)
Cabri
no
si
Total
resultado
no
mejoraron
Count
8
% within 61,5%
Cabri
Count
5
% within 38,5%
Cabri
Count
13
% within 50,0%
Cabri
Cuadro IV
Total
mejoraron
10
5
38,5%
13
100,0%
8
61,5%
13
100,0%
13
50,0%
26
100,0%
8
8
8
6
5
5
4
2
0
Con Cabri
Subio de Nivel
Sin Cabri
Mantuvo el Nivel
Cuadro V
Conclusiones:
Los resultados obtenidos indican que la mayoría de los estudiantes han adquirido niveles superiores de razonamiento al
que poseían al inicio del estudio del tema Transformaciones Rígidas del Plano considerando los tests inicial y final
respectivamente, sin embargo muy pocos han logrado desarrollar secuencias de proposiciones para deducir una
propiedad de otra y reconocer la necesidad del rigor en los razonamientos, lo que es deseable para los estudiantes de un
curso universitario de Geometría. Al inicio de la experiencia el 57 % de los estudiantes se encontraba en el Nivel II y
los resultados del test final señalan que únicamente cinco estudiantes (33%) han logrado el Nivel III de razonamiento.
Cabe destacar que si bien el 77% de los estudiantes al finalizar la experiencia se encuentran en el Nivel II, muchos han
podido alcanzar fases del Nivel III, pero no pueden superarlo pues persiste la imposibilidad de formalizar
razonamientos deductivos característica fundamental de este Nivel.
Del grupo de estudiantes que empleó el soft Cabri Géomètre en sus prácticas, el 62% pasó a un nivel superior de
razonamiento, mientras que el 38%, permaneció en el mismo nivel. Estos valores resultaron ser recíprocos a los
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obtenidos por el grupo de estudiantes que realizaron prácticas tradicionales. De acuerdo a esto, los estudiantes que
emplearon el soft, obtuvieron mejores rendimientos lo que validaría nuestra hipótesis de trabajo, sin embargo no se
encontraron diferencias significativas en el rendimiento de los dos grupos de alumnos, mediante el estadístico (χ2 =
0.615, gl =1, p = 0.433) debido al tamaño reducido de la muestra.
El trabajar con el Soft Cabri despertó en los estudiantes, tanto la curiosidad e interés por la geometría como por la
herramienta misma, sus posibilidades y limitaciones, y permitió alcanzar uno de los objetivos propuestos que era el
conocimiento por parte de los futuros docentes de tecnología educativa y de la posibilidad de acceder a prácticas
pedagógicas innovadoras.
De las posibilidades de experimentación que ofrece el Cabri en temas geométricos y en particular el de las
Transformaciones Rígidas, podemos afirmar que los alumnos han logrado diseñar, explorar, modelizar, conjeturar,
definir y en algunos casos argumentar sin llegar a realizar demostraciones formales, lo que es consecuente con los
niveles de razonamiento de Van Hiele alcanzados.
Este trabajo está limitado por varias razones, entre las que podemos mencionar: a) las características del grupo: el
grupo de los estudiantes es heterogéneo, no sólo en cuanto a la edad, la cual presenta diferencias significativas, sino que
también a su historia académica; b) la selección de las actividades: encontrar actividades significativas de cada una de
las fases correspondientes a cada nivel como así también la determinación de los criterios de éxito ha sido muy difícil, y
si bien se ha seguido bibliografía específica no podemos dejar de lado factores subjetivos, coincidiendo con Mayberry
(1983); c) el tiempo asignado a la práctica con ordenadores no ha sido el deseado debido a la organización curricular
como así también el tiempo que los estudiantes destinan al cumplimiento de las tareas obligatorias (clases prácticas) y
no obligatorias (clases teóricas); d) el tamaño de la muestra: es pequeño debido al escaso número de alumnos que
cursaron la asignatura en el ciclo lectivo 2003.
Los resultados del estudio tienen implicaciones prácticas tanto para los docentes como para los estudiantes, aún
teniendo en cuenta las limitaciones señaladas en el párrafo anterior, pues el conocimiento por parte de los docentes
acerca del tipo de razonamiento empleado por sus estudiantes, les permitirá crear situaciones de aprendizaje que
faciliten a sus alumnos avanzar en su nivel de razonamiento y evitar grandes fracasos al no proponerle actividades que
no están en condiciones de contestar satisfactoriamente pues no son pertinentes al nivel alcanzado. También este
proyecto ha permitido a los estudiantes, conocer y disponer de los elementos esenciales de la computación y ser
usuarios de un programa que permite la apertura de nuevas perpespectivas a las experiencias geométricas, facilitando el
estudio de las propiedades geométricas de las figuras y sus múltiples componentes para luego entender mejor la
rigurosidad matemática de las demostraciones.
Bibliografía:
Alsina, C.; Fortuny, J.M.; Pérez, R. (1997): ¿Por qué geometría? (Colección "Educación matemática en Secundaria" Nº
5). Síntesis: Madrid, España. Jaime, A.; Gutiérrez, A. (1996): El grupo de las isometrías del plano (colección
"Educación matemática en Secundaria" Nº 13). (Síntesis: Madrid, España).Jaime, A.; Gutiérrez, A. (1990): Una
propuesta de fundamentación para la enseñanza de la geometría: El modelo de Van Hiele, en Teoría y Práctica en
Educación Matemática. Ediciones Alfar. Sevilla. (1990), Gutiérrez, A.; Jaime, A. (1991 (Síntesis: Madrid). Mayberry
Joanne “Los niveles de pensamiento geométrico en estudiantes para profesor”Jornal for Research in Mathematics
Education (1983)Vol.14.n.1Pp. 58-69.Traducción de Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla. Determinación
de los niveles de pensamiento geométrico según la Teoría de Van Hiele en estudiantes de Profesorado de Matemática
al
inicio
de
un
curso
de
Geometría
Métrica.(Beltrametti,
Esquivel,
Ferrari(2003)http//www.unne./cyt/comunicaciones/educación_D013.