Prácticas. Conjuntos > Aplicaciones > Función caracter´ıstica 0

Prácticas. Conjuntos > Aplicaciones > Función caracterı́stica
Notas
1. Antes de comenzar la realización de esta práctica debe haberse completado la práctica sobre “álgebra de funciones”.
2. En esta práctica se supone que X es un conjunto no vacı́o.
Definición Sea A un subconjunto de X. La aplicación
cA : X → {0, 1}
tal que
cA (x)


 = 1 si x ∈ A,

 = 0 si x 6∈ A,
se denomina función caracterı́stica de A.
Ejemplos
(a) Tomando A = X, se tiene cX (x) = 1 para todo x ∈ X.
(b) Tomando A = ∅, se tiene c∅ (x) = 0 para todo x ∈ X.
(c) Pongamos X = Z, el conjunto de los enteros. Sea P = {2z | z ∈ Z};
esto es, P es el conjunto de los enteros pares. Se tienen:
cP (4) = 1, cP (7) = 0, cP (−19) = 0, cP (0) = 1.
(d) Pongamos X = R y consideremos la función caracterı́stica del subconjunto Q de los números racionales. Se tiene
cQ (x)


 = 1 si x es racional

 = 0 si x es irracional
Volvamos al caso general. Denotemos por M(X, {0, 1}) el conjunto de
todas las funciones de X en el subconjunto {0, 1} de R.
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1 Demostrar que para todo A, B ⊆ X:
1.1 cA∩B = cA cB y
cA∩B (x) = mı́n cA (x), cB (x) , ∀x ∈ X
1.2 cA0 = 1 − cA , aquı́ A0 = CX (A), el complementario de A respecto
de X.
1.3 cA∪B = cA + cB − cA cB
cA∪B (x) = máx cA (x), cB (x) , ∀x ∈ X
1.4 cA−B = cA − cA cB
1.5 cA cA = cA
1.6 cA∆B = cA +cB −2cA cB , donde A∆B es la diferencia simétrica
de A y B; esto es,
A∆B = (A − B) ∪ (B − A)
2 Considerar la función
c : P(X) → M(X, {0, 1})
A
7→
cA
que a cada subconjunto A de X asocia su función caracterı́stica cA .
2.1 Prueba que la función c es biyectiva.
2.2 Describe la función inversa c−1 .
2.3 Suponer que S y T son subconjuntos de X que tienen la misma
función caracterı́stica: cS = cT ¿Se sigue de ahı́ que S = T ?
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