Trabajo opcional

Trabajo Opcional
Trabajos Curso 2012-2013
1
Cumulantes
1.
Cumulantes unidimensionales
Definición 1.1. Sea X una variable aleatoria unidimensional con función caracterı́stica φX y supongamos que todos sus momentos existen.
Puesto que φX (0) = 1, en un entorno de cero podemos considerar su logaritmo y desarrollarlo en
serie de potencias. A la función resultante se le denomina función generatriz de cumulantes de X.
KX (t) = log (φX (t)) =
∞
X
κv
v=0
(it)v
; κ0 = 0 , j = 1, . . . , p.
v!
A κv se le llama el cumulante de orden v de X.
Comentario 1.1. Otras definiciones asociadas a los cumulantes son
Sesgo de X: γ1j =
κj3
·
3
(κj2 ) 2
Curtosis de X: γ2j =
κj4
(κj2 )2
·
Los cumulantes están relacionados con los momentos. En efecto, si µm = E [X m ] (momentos que
suponemos existen para m = 0, 1 . . . ,), se puede verificar la siguiente ley de recurrencia
µm =
m−1
X
h=0
m−1
µh κm−h ,
h
m = 1, 2, . . .
Ejercicio:
Verificar la relación anterior. Para ello se deben seguir los siguientes pasos:
• Demostrar por inducción que la derivada n−ésima de KX es:
n)
KX (t) =
∞
X
κv+n iv+n
v=0
tv
v!
0 (t). Derivar a conti• Puesto que log(φX (t)) = KX (t), derivando se tiene φ0X (t) = φX (t)KX
nuación en ambos miembros m − 1 veces para comprobar que
m)
φX (t) =
m−1
∞
X m − 1 h) X
m − 1 h)
tv
m−h)
φX (t)KX
(t) =
φX (t)
κv+m−h iv+m−h
h
h
v!
m−1
X
h=0
h=0
v=0
Indicación: Al hacer la derivada m − 1 del segundo miembro hay que tener en cuenta la
Fórmula de Leibnitz para la derivada del producto de dos funciones:
n X
n h)
n)
(f (x)g(x)) =
f (x)g n−h) (x)
h
h=0
Análisis Multivariante. 3o Grado en Estadı́stica
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m)
• Aplicar que im µm = φX (0) para concluir.
Como consecuencia comprobar
• κ1 = E[X] = µ1
• κ2 = Var[X]
• κ3 = µ3 − 3µ1 µ2 + 2(µ1 )3
• κ4 = µ4 − 4µ3 µ1 − 3(µ2 )2 + 12(µ1 )2 µ2 − 6(µ1 )4
Si X ; N1 [µ; σ 2 ], comprobar que:
• Los cumulantes de orden superior a dos valen cero.
• Los coeficientes de sesgo y curtosis valen cero.
2.
Cumulantes bidimensionales
El concepto de cumulante se puede extender al caso de distribuciones bidimensionales. En efecto,
sea el vector aleatorio bidimensional X = (X1 , X2 )0 con función caracterı́stica φX (t1 , t2 ).
Seguimos suponiendo que existen todos los momentos para X. Al igual que antes podemos considerar el logaritmo de la función caracterı́stica y desarrollarlo en serie de potencias, dando lugar a la
función generatriz de cumulantes bidimensionales
∞ X
∞
X
KX (t1 , t2 ) = log (φX (t1 , t2 )) =
κr1 ,r2 ir1 +r2
r1 =0 r2 =0
tr11 tr22
r1 !r2 !
A los elementos κr1 ,r2 se les llama cumulantes de órdenes r1 y r2 correspondientes al vector X.
Razonando de forma análoga al caso unidimensional
se puede encontrar una relación entre cumu l m
=
X
X
,
se
verifica
lantes y momentos. En efecto, si µ1,2
E 1 2
l,m
µ1,2
l,m
l−1 X
m X
l − 1 m 1,2 1,2
=
µ
κ
v1
v2 v1 ,v2 l−v1 ,m−v2
v1 =0 v2 =0
Ejercicio:
Verificar la relación anterior. Para ello se deben seguir los siguientes pasos:
• Tener en cuenta que
∞ X
∞
r1 r2
X
∂ l KX
l,m
r1 +r2 +l t1 t2
κ
i
(t
,
t
)
=
1
2
r1 +l,r2
r1 !r2 !
∂tl1
r =0 r =0
1
2
(según se ha visto en el primer apartado del ejercicio anterior). Aplicando lo mismo se
tendrá
∞ X
∞
r1 r2
X
∂ l+m KX
l,m
r1 +r2 +l+m t1 t2
(t
,
t
)
=
κ
i
1
2
r1 +l,r2 +m
l
r1 !r2 !
∂tm
1 ∂t2
r =0 r =0
1
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• Considerar KX (t1 , t2 ) = log (φX (t1 , t2 )), de donde
∂φX
∂KX
= φX
∂t1
∂t1
(conviene aligerar la notación y no ponemos los argumentos de las funciones).
• Supuesto que l + m > 0 y que l > 0 (caso contrario serı́a m > 0 y se intercambiarı́an los
papeles en lo que sigue), derivar l − 1 veces respecto a t1 , y m veces respecto a t2 , para
obtener
m l−1 X
l − 1 X m ∂ v1 +v2 φX ∂ l+m−v1 −v2 KX
∂ l+m φX
=
=
l
1
2
v1
v2 ∂tv22 ∂tv11 ∂tm−v
∂tm
∂tl−v
2 ∂t1
1
2
v =0
v =0
1
2
l−1 X
m ∞
∞
r1 r2
X
l − 1 m ∂ v1 +v2 φX X X 1,2
r1 +r2 +l+m−v1 −v2 t1 t2
=
κ
i
r1 +l−v1 ,r2 +m−v2
v1
v2 ∂tv22 ∂tv11
r1 !r2 !
v1 =0 v2 =0
r1 =0 r2 =0
• Aplicar que il+m µ1,2
l,m =
∂ l+m φX
(0, 0) para concluir.
l
∂tm
2 ∂t1
Como consecuencia comprobar
1,2 1,2
1,2
• µ1,2
1,1 = κ1,1 + µ0,1 κ1,0
1,2
Nota: Hay que tener en cuenta (¡Comprobarlo!) que κ1,2
h,0 y κ0,k son, respectivamente, los
cumulantes de orden h y k de X1 y X2 .
• κ1,2
1,1 = Cov[X1 , X2 ]
3.
Cumulantes multididimensionales
Finalmente, todo lo anterior puede extenderse al caso multidimensional.Para ello sea X un vector
aleatorio p-dimensional con función caracterı́stica φX y supongamos que existen todos los momentos.
Al igual que antes se define la función generatriz de cumulantes como el logaritmo de la función
caracterı́stica. Puesto que φX (0) = 1 podemos desarrollar dicha función en serie de potencias en un
entorno del cero:
KX (t) = log (φX (t)) =
∞ X
∞
X
r1 =0 r2 =0
···
∞
X
rp =0
κr1,2,...,p
i
1 ,r2 ,...,rp
Pp
q=1 rq
p
r
Y
tqq
rq !
q=1
A los elementos κ1,2,...,p
r1 ,r2 ,...,rp se les llama cumulantes de órdenes r1 , r2 , . . . , rp correspondientes a X,
y siguiendo un razonamiento análogo al caso bidimensional se hpuede encontrari una relación entre
j
cumulantes y momentos. En concreto, si notamos µj1,2,...,p
= E X1j1 X2j2 · · · Xpp , se verifica
1 ,j2 ,...,jp
µ1,2,...,p
j1 ,j2 ,...,jp
=
j1
X
v1 =0
···
jX
h −1
vh =0
p jp X
jh − 1 Y jm 1,2,...,p
µv1 ,v2 ,...,vp κj1,2,...,p
···
1 −v1 ,j2 −v2 ,...,jp −vp
vh
v
m
m=1
vp =0
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m6=h
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La verificación de esta igualdad se realiza de forma totalmente análoga a la anterior, con la
salvedad de que ahora hay más parciales involucradas en el cálculo. En concreto, derivando jl veces
respecto de cada argumento tl , se tiene
Pp
∂
Qp
l=1 jl
jl
l=1 ∂tl
KX (t) =
∞ X
∞
X
r1 =0 r2 =0
···
∞
X
Pp
i
κr1,2,...,p
1 +j1 ,r2 +j2 ,...,rp +jp
l=1 (rl +jl )
rp =0
p
r
Y
tqq
rq !
q=1
P
Supongamos ahora que pl=1 jl > 0 y que jh > 0 (siempre habrá un ı́ndice h tal que jh > 0).
Partimos de KX (t) = log (φX (t)) y derivamos en ambos miembros primero respecto de th .
∂φX
∂KX
= φX
∂th
∂th
Ahora derivamos dicha expresión jh − 1 veces respecto de th y de forma sucesiva jl veces respecto
de tl , l = 1, . . . , p (l 6= h). Con todo ello obtenemos
Pp
∂
Qp
l=1 jl
jl
l=1 ∂tl
φX (t) =
=
j1
X
···
jX
h −1
v1 =0
vh =0
j1
X
jX
h −1
v1 =0
···
vh =0
Pp
p Pp
jp X
∂ l=1 (jl −vl )
jh − 1 Y jm ∂ l=1 vl
Qp
···
K (t)
vl φX (t) Qp
(j −v ) X
vh
vm
∂t l l
l=1 ∂tl
m=1
vp =0
l=1
m6=h
l
p Pp
jp X
jh − 1 Y jm ∂ l=1 vl
Qp
···
vl φX (t)
vh
vm
l=1 ∂tl
m=1
vp =0
m6=h
p
r
Pp
Y
tqq
1,2,...,p
(rl +jl −vl )
l=1
×
···
κr1 +j1 −v1 ,r2 +j2 −v2 ,...,rp +jp −vp i
r !
r1 =0
rp =0
q=1 q
∞
X
∞
X
A partir de esta expresión, y evaluando en t = 0 tenemos el resultado sin más que tener en cuenta
que
Pp
∂
Qp
l=1
vl
vl φX (0)
l=1 ∂tl
=i
Pp
l=1
vl 1,2,...,p
µj1 ,j2 ,...,jp
Nota: Este desarrollo no es obligatorio hacerlo, pero sı́ es recomendable al menos
intentarlo.
Nota: A partir de ahora ilustraremos los resultados para la clase elı́ptica de distribuciones. Por lo tanto conviene leer las definiciones y resultados sobre dichas distribuciones
del Trabajo B, si bien no hay que hacer ningún ejercicio.
Análisis Multivariante. 3o Grado en Estadı́stica
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Ejercicio:
Si X ∈ Ep (η; V) entonces, si existen los momentos de orden cuatro, se verifica:
1. Las marginales tienen sesgo cero, osea, γ1j = 0, j = 1, . . . , p y curtosis
γ2j = 3
ψ 00 (0) − (ψ 0 (0))2
= 3κ
(ψ 0 (0))2
A κ se le llama curtosis del vector aleatorio X y ψ es la función que aparece en la expresión de
la función caracterı́stica de X.
2. Los cumulantes κj4 vienen determinados por los elementos de la matriz de covarianzas y por κ.
Indicación:
t
La función caracterı́stica de X es de la forma φ(u) = eiu η ψ(ut Vu), con ψ una cierta función.
Por lo tanto la función caracterı́stica de la marginal Xj será φXj (uj ) = eiuj ηj ψ(u2j vjj ). que
escribimos en la forma φXj (uj ) = f1 (uj )f2 (uj ).
Calcular las primeras cuatro derivadas de φXj y deducir que
φ0Xj (0) = iηj
φ00Xj (0) = 2vjj ψ 0 (0) − ηj2
0
3
φ000
Xj (0) = 6iηj vjj ψ (0) − iηj
iv)
2 ψ 00 (0) − 12η 2 v ψ 0 (0) + η 4
φXj (0) = 12vjj
j jj
j
donde ηj es la componente j-ésima de η. De ahı́, y llamando µkj = E[Xjk ], obtner las expresiones
de µkj , k = 1, 2, 3, 4, j = 1, . . . , p.
Concluir sin más que sustituir las expresiones anteriores en las proporcionadas para los cumulantes en el caso unidimensional.
4.
Cálculo de algunos cumulantes. Aplicación al cálculo de momentos de tercer y cuarto orden
A partir de la expresión anterior vamos a proceder a calcular dos importantes cumulantes que
serán muy útiles a la hora de obtener los momentos de tercer y cuarto orden para cualquier vector
aleatorio. Ilustraremos este desarrollo con el caso elı́ptico.
Ejercicio:
Obtener las siguientes relaciones:
h,l,m
h,l,m
m hl
l hm
lm h
m hl
l hm
h lm
h l m
κh,l,m
1,1,1 = µ1,1,1 − µ1 κ11 − µ1 κ11 − µ11 µ1 = µ1,1,1 − µ1 κ11 − µ1 κ11 − µ1 κ11 − µ1 µ1 µ1
h,l,m,k
k hlm
m hlk
l hmk
mk hl
lk hm
lm hk
lmk h
κh,l,m,k
1,1,1,1 = µ1,1,1,1 − µ1 κ111 − µ1 κ111 − µ1 κ111 − µ11 κ11 − µ11 κ11 − µ11 κ11 − µ111 µ1
k hlm
m hlk
l hmk
h lmk
m k hl
l k hm
l m hk
k h lm
= µh,l,m,k
1,1,1,1 − µ1 κ111 − µ1 κ111 − µ1 κ111 − µ1 κ111 − µ1 µ1 κ11 − µ1 µ1 κ11 − µ1 µ1 κ11 − µ1 µ1 κ11
lk
h l mk
hl mk
hm lk
hk lm
h l m k
− µh1 µm
1 κ11 − µ1 µ1 κ11 − κ11 κ11 − κ11 κ11 − κ11 κ11 − µ1 µ1 µ1 µ1
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Indicación: Basta con usar la relación entre cumulantes y momentos dada en el caso multidimensional y tener en cuenta que se tratan de cumulantes marginales, esto es:
1,...,h,...,l,...,m,...,p
µh,l,m
1,1,1 = µ0,...,1,...,1,...,1,...,0
1,...,h,...,l,...,m,...,k,...,p
µh,l,m,k
1,1,1,1 = µ0,...,1,...,1,...,1,...,1,...,0
A continuación aplicaremos estos cálculos para obtener los momentos de tercer y cuarto orden en
cualquier población p-dimensional con media η. Para ello se parte del hecho de que
h
i
h
l
m
hlm
E (Xh − µ1 )(Xl − µ1 )(Xm − µ1 ) = κ111
y
h
i
h
l
m
k
hlmk
hl mk
hm lk
hk lm
E (Xh − µ1 )(Xl − µ1 )(Xm − µ1 )(Xk − µ1 ) = κ1111 + κ11 κ11 + κ11 κ11 + +κ11 κ11
Nota: Estos dos resultados no es obligatorio obtnerlos, si bien es recomendable al
menos intentarlo. Por ejemplo, la primera expresión se obtiene sólo operando en la esperanza y
usando las relaciones entre cumulantes y monentos ya deducidas y lss indicadas al inicio de esta
sección. Ası́
h
i
h
i
h
i
h
l
m
l
m
h
l
m
E (Xh − µ1 )(Xl − µ1 )(Xm − µ1 ) = E Xh (Xl − µ1 )(Xm − µ1 ) − µ1 E (Xl − µ1 )(Xm − µ1 )
l
m
h lm
= E [Xh Xl (Xm − µm
1 )] − µ1 E [Xh (Xm − µ1 )] − µ1 κ11
l hm
h lm
= E [Xh Xl Xm ] − µm
1 E [Xh Xl ] − µ1 κ11 − µ1 κ11
m hl
l hm
h lm
= µhlm
111 − µ1 µ11 − µ1 κ11 − µ1 κ11
m hl
l hm
h lm
h l m
= µhlm
111 − µ1 κ11 − µ1 κ11 − µ1 κ11 − µ1 µ1 µ1
de donde se deduce el resultado sin más que usar la primera relación que se pidió en el ejercicio
anterior.
Siguiendo un razonamiento análogo (aunque más extenso obviamente) y usando las relaciones ya
comentadas, junto con la obtenida anteiormente, se puede comprobar la segunda de las expresiones.
Una vez obtenidas estas expresiones, válidas para cualquier población, con independencia de la
distribución, Vamos a ilustrarlas mediante el empleo de la clase elı́ptica de distribuciones Ep (η; V).
En concreto se verifica
E (Xh − µh1 )(Xl − µl1 )(Xm − µm
1 ) =0
k
E (Xh − µh1 )(Xl − µl1 )(Xm − µm
1 )(Xk − µ1 ) = (1 + κ) [σhl σmk + σhm σlk + σlm σhk ]
y en particular, para la ley normal Np [µ; Σ] se tendrá:
E (Xh − µh1 )(Xl − µl1 )(Xm − µm
1 ) =0
k
E (Xh − µh1 )(Xl − µl1 )(Xm − µm
1 )(Xk − µ1 ) = σhl σmk + σhm σlk + σlm σhk
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Indicaciones: A continuación esquematizamos los pasos que hay que dar para la obtención del
resultado.
t
Puesto que φX (u) = eiu η ψ(u0 Vu) se tiene KX (u) = iut η + log(ψ(ut Vu)), y desarrollando la
p X
p
X
t
forma cuadrática t Vt =
ti tj vij , entonces
i=1 j=1
p
X
∂(tt Vt)
= 2tl vll + 2
ti vli = fl (t) = fl ,
∂tl
i=1
l = 1, . . . , p
i6=l
∂ 2 (tt Vt)
= 2vlk ,
∂tk ∂tl
l, k = 1, . . . , p
a partir de donde podemos escribir (prescindimos en las funciones de las dependencias del argumento)
∂KX
ψ 0 fh
= iµh1 +
∂th
ψ
∂ 2 KX
1 = 2 fh fl (ψψ 00 − (ψ 0 )2 ) + 2ψψ 0 vhl
∂tl ∂th
ψ
∂ 3 KX
1 = 3 fm fh fl ψ 000 ψ 2 − 3ψ 00 ψ 0 ψ + 2(ψ 0 )3 +
∂tm ∂tl ∂th
ψ
+2ψ ψ 00 ψ − (ψ 0 )2 [vhl fm + vhm fl + vlm fh ]
h
i
∂ 4 KX
1 h
= 4 fm fh fl fk ψ iv) ψ 3 − 4ψ 000 ψ 0 ψ 2 − 3(ψ 00 )2 ψ 2 + 12ψ 00 (ψ 0 )2 ψ − 6(ψ 0 )4 +
∂tk ∂tm ∂tl ∂th
ψ
+2ψ ψ 000 ψ 2 − 3ψ 00 ψ 0 ψ + 2(ψ 0 )3 [vmk fh fl + vhk fm fl + vlk fm fh + vhl fk fm + vhm fk fl + vlm fk fh ] +
+4ψ 2 ψ 00 ψ − (ψ 0 )2 [vhl vmk + vhm vlk + vlm vhk ]
A partir de estos cálculos (y teniendo en cuenta que ψ(0) = 1, ¡comprobarlo!) se deduce:
κh1
= µh1
κhl
11
= −2vhl ψ 0 (0) = σhl
κhlm
111
=0
κhlmk
= 4 ψ 00 (0) − (ψ 0 (0))2 [vhl vmk + vhm vlk + vlm vhk ] =
1111
= 4κ(ψ 0 (0))2 [vhl vmk + vhm vlk + vlm vhk ] =
= κ [σhl σmk + σhm σlk + σlm σhk ]
de donde se tiene el resultado según las relaciones anteriores.
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