Función característica (repaso)

Función caracterı́stica (repaso)
Objetivos. Repasar la definición de la función caracterı́stica (función indicadora) y sus
propiedades principales.
Requisitos. Operaciones con conjuntos.
1. Definición (función caracterı́stica). Sea X un conjunto y sea A ⊂ X. Entonces la
función caracterı́stica (o función indicadora) de A con respecto a X se define mediante
la regla:
(
1, t ∈ A;
χA,X : X → R,
χA,X (t) =
0, t ∈ X \ A.
Por lo común, está claro que es X y en vez de χA,X se escribe simplemente χA .
2. Función caracterı́stica y operaciones con conjuntos. Sean A, B ⊂ X. Exprese
las funciones caracterı́sticas de los conjuntos A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A a través de χA
y χB .
3. Partición de un conjunto y funciones caracterı́sticas. Sea (Ak )∞
k=1 una sucesión
de subconjuntos de X y sea B ⊂ X. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) χB =
∞
X
χAk ;
k=1
(b)
(Ak )∞
k=1
es una partición de B, esto es, Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j y B =
∞
[
k=1
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Ak .