PROBLEMAS DE COMBINATORIA – NIVEL INTERMEDIO

PROBLEMAS DE COMBINATORIA – NIVEL INTERMEDIO
Problema 5, fase nacional 1994
Con 21 fichas de damas, unas blancas y otras negras, se forma un rectángulo de 3×7.
Demostrar que siempre hay cuatro fichas del mismo color situadas en los vértices de un
rectángulo.
Problema 6, fase nacional 1994
Un polígono convexo de n lados se descompone en m triángulos, con los interiores
disjuntos, de modo que cada lado de esos m triángulos lo es también de otro triángulo
contiguo o del polígono dado. Probar que m+n es par. Conocidos n y m, hallar el
número de lados distintos que quedan en el interior del polígono y el número de vértices
distintos que quedan en ese interior.
Problema 3, fase local 2003 (viernes)
¿Cuál es el número máximo de vértices que podemos elegir de un polígono regular de
21 lados para que, al trazar los segmentos que los unen entre sí, no haya dos con la
misma longitud?
Problema 6, fase nacional 2003
Ensartamos 2n bolas blancas y 2n bolas negras formando una cadena abierta.
Demuestra que, se haga en el orden que se haga, siempre es posible cortar un segmento
de cadena exactamente con n bolas blancas y n bolas negras.
Problema 6, fase nacional 2004
Colocamos, formando una circunferencia, 2004 fichas bicolores: blancas por una cara y
negras por la otra. Un movimiento consiste en elegir una ficha con la cara negra hacia
arriba, y dar la vuelta a tres fichas: la elegida, la de su derecha y la de su izquierda.
Supongamos que inicialmente hay una sola ficha con la cara negra hacia arriba. ¿Será
posible, repitiendo el movimiento descrito, conseguir que todas las fichas tengan la cara
blanca hacia arriba? ¿Y si tuviéramos 2003 fichas, entre las cuales exactamente una
tiene al comienzo la cara negra hacia arriba?
Problemas de Combinatoria – nivel intermedio
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Problema 5, fase local 2005 (viernes)
Cuatro bolas negras y cinco bolas blancas se colocan, en orden arbitrario, alrededor de
una circunferencia. Si dos bolas consecutivas son del mismo color, se inserta una nueva
bola negra entre ellas. En caso contrario, se inserta una nueva bola blanca. Se retiran las
bolas negras y blancas previas a la inserción. Repitiendo el proceso, ¿es posible obtener
nueve bolas blancas?
Problema 6, fase local 2005 (sábado)
En un tablero de ajedrez 10×10 se colocan 41 torres. Probar que se pueden elegir al
menos 5 de ellas que no se coman entre sí.
Problema 1 (ligeramente alterado), fase local 2006 (grupo 2º)
En el sótano del castillo, 7 gnomos guardan su tesoro. El tesoro está detrás de 12
puertas, cada una de ellas con 12 cerraduras. Todas las cerraduras son distintas. Cada
gnomo tiene llaves para algunas de las cerraduras. Tres gnomos cualesquiera tienen
conjuntamente llaves para todas las cerraduras. Probar que entre todos los gnomos
tienen por lo menos 720 llaves.
Problema 3, fase nacional 2008
Sea p≥3 un número primo. Se divide cada lado de un triángulo en p partes iguales y se
une cada uno de los puntos de división con el vértice opuesto. Calcula el número
máximo de regiones, disjuntas dos a dos, en que queda dividido el triángulo.
Problema 6, fase nacional 2008
A cada punto del plano se le asigna un solo color de entre siete colores distintos.
¿Existirá un trapecio inscriptible en una circunferencia cuyos vértices tengan todos el
mismo color?
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