2221 - IES Virgen del Carmen

EJERCICIOS DEL BLOQUE DE PROBABILIDAD.
1.- ¿Cuál es la probabilidad de sacar los dos ases al lanzar dos dados?
2.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras, lanzando al aire una moneda tres veces?.
3.- ¿Cuál es la probabilidad de sacar la suma 6 al lanzar dos dados? ¿Y la de sacar un 7?
4.- ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados salga por suma, o bien 3, o bien 5, o bien 11?
5.- ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras de una urna que contiene 15 bolas blancas y 15 negras,
sin reintegrar las bolas extraídas?
6.- Calcular la probabilidad de sacar dos bolas blancas en las dos primeras extracciones de una bolsa que
contiene siete bolas blancas y cinco negras, sin reintegrar las bolas.
7.- Obtener la probabilidad de extraer de una vez cuatro bolas blancas de una urna que contiene 10 blancas, 3
negras y 2 rojas.
8.- En una urna hay tres bolas blancas y dos negras, ¿cuál es la probabilidad de que, al sacar al mismo
tiempo dos bolas, sean de distinto color?
9.- En una urna hay 2 bolas blancas, 2 negras y 2 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar de una vez 2
bolas, salga una de cada color?
10.- En una urna hay 2 bolas blancas y 3 negras y en otra 5 blancas y 6 negras. Si se saca al mismo tiempo una
bola de cada urna:
a) ¿cuál es la probabilidad de que sean las dos negras?
b) ¿cuál es la probabilidad de que al menos una sea negra?
c) ¿cuál es la probabilidad de que al menos una sea blanca?
11.- Si la probabilidad de que se verifique un acontecimiento es 1/3, ¿cuál es la probabilidad de que no se
verifique?
12.- En una baraja de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de sacar un caballo seguido de un rey, reintegrando
las cartas a la baraja?
13.- En una baraja de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de sacar tres reyes seguidos, reintegrando las cartas a
la baraja?
14.- Calcular la probabilidad de sacar un rey seguido de un caballo y este de un as, en una baraja española:
a) sin reintegrar las cartas a la baraja.
b) reintegrándolas después de cada extracción.
15.- En una baraja de 48 naipes se sacan dos cartas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo palo?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto palo?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sean dos figuras?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que sean dos naipes determinados, por ejemplo, el 4 de bastos y el 5 de
copas, en este orden?
16.- Un sobre contiene 9 billetes de cien pesetas y uno de mil. Otro sobre contiene 10 billetes de cien pesetas.
Se toman 9 billetes del primer sobre y se ponen en el segundo y después se toman 9 billetes y se ponen en
el primero. Si nos dicen que nos regalan uno de los sobres, ¿por cuál debemos decidirnos?
17.- Justificar si son dependientes o independientes, compatibles o incompatibles, los sucesos X e Y en cada
uno de los siguientes casos:
a) p(X) = 1/5. p(Y) = 3/5, p(X U Y) = 2/5
b) p(X) = 1/3, p(Y) = 5/6, p(X U Y) = 8/9
18.- Si A y B son dos sucesos de probabilidad no nula, razonar la verdad o falsedad de las siguientes
afirmaciones:
a) si A y B son incompatibles, entonces son independientes.
b) si A y B son independientes, entonces son incompatibles.
c) si A y B son independientes, entonces: p(A ∩ B) = p(A\B)p(B\A)
19.- En un espacio de probabilidad:
a) define independencia de dos sucesos.
b) demuestra que si dos sucesos A y B son independientes, entonces sus complementarios también lo
son.
20.- Sean A, B, C tres sucesos tales queP( A ∩ B) = 0. Escribe las fórmulas de las probabilidades siguientes:
a) p(A∪ B)
b) p(A ∪ B ∪ C)
c) p(A ∩ (B ∪ C))
21.- La probabilidad de que un proyectil de en el blanco es 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de dar en el blanco si
se realizan tres disparos?
22.- La probabilidad de que un tirador al blanco acierte es de 1/3. Si dispara 4 veces, ¿cuál es la probabilidad
de que haya?:
a) al menos un blanco.
b) los 4 blancos.
23.- Hallar la probabilidad de que al lanzar una moneda 6 veces, se obtenga al menos una cara.
24.- A los 65 años, la probabilidad de que una persona sea miope es 0.2, la probabilidad de que tenga cataratas
es 0.25 y la probabilidad de que sea miope y tenga cataratas es 0.15. ¿Cuál es la probabilidad de que a los
65 años una persona sea miope o tenga cataratas?
25.- Para seleccionar un muchacho entre tres, se les ofrece sucesivamente una bolsa con dos bolas negras y
una blanca. Cada uno extrae una bola y, sin devolverla, pasa la bolsa al compañero. Se selecciona a quien
extraiga la blanca. ¿Qué es mejor para ser seleccionado, extraer en primer lugar, en segundo o en tercero?
26.- Una encuesta revela que el 35% de los habitantes de una ciudad leen el periódico A, el 28% leen el B y el
10% leen ambos periódicos. Si se elige al azar un ciudadano, hallar la probabilidad de que:
a) lea A pero no lea B.
b) lea sólo uno de los dos periódicos.
c) no lea ninguno de los dos periódicos.
d) lea ambos periódicos, sabiendo que lee el A.
e) no lea A, sabiendo que lee B.
27.- Una caja A tiene 7 bolas numeradas del 1 al 7 y una caja B tiene 5 bolas numeradas del 2 al 6. Se elige
una caja al azar y se saca una bola. Si el número extraído es impar, hallar la probabilidad de que proceda
de la caja A.
28.- Un matrimonio dispone de dos coches para ir juntos al trabajo. Lunes, miércoles y viernes toman el coche
A y martes y jueves el coche B. El coche A no arranca el 5 de los días, mientras que el coche B no
arranca el 8% de los días. Si un día llegan tarde al trabajo, ¿qué probabilidad hay de que sea a causa del
coche A?
29.- Tres máquinas A, B y C producen respectivamente el 50%, 30% y 20% del número de artículos de una
fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son 3, 4 y 5 respectivamente.
a) Si se selecciona al azar un artículo, hallar la probabilidad de que el artículo sea defectuoso.
b) Si se selecciona al azar un artículo y resulta defectuoso, hallar la probabilidad de que el artículo fuese
producido por la máquina A.
SOLUCIONES EJERCICIOS DEL BLOQUE DE PROBABILIDAD.
1.- ¿Cuál es la probabilidad de sacar los dos ases al lanzar dos dados? (1/36)
1 1 1
P ( A1 ∩ A2 ) = P( A1 ) P( A2 ) = ⋅ =
6 6 36
2.- ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras, lanzando al aire una moneda tres veces?.(1/8)
1 1 1
P(C1 ∩ C2 ∩ C3 ) = P (C1 ) P(C2 ) P(C3 ) = ⋅ =
6 6 36
3.- ¿Cuál es la probabilidad de sacar la suma 6 al lanzar dos dados? ¿Y la de sacar un 7? (5/36, 1/6)
Basta considerar los casos favorables a sumar 6. (1,5), (5,1), (2,4),(4,2), (3,3), o de sumar 7 (1,6), (6,1), (2,5), (5,2),
(3,4), (4,3).
4.- ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados salga por suma, o bien 3, o bien 5, o bien 11?
(8/36). De forma análoga al anterior.
5.- ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras de una urna que contiene 15 bolas blancas y 15 negras,
sin reintegrar las bolas extraídas? (7/29)
P( N1 ∩ N 2 ) = P( N1 ) P(
N2
N1
)=
15 14 7
⋅ =
30 29 29
6.- Calcular la probabilidad de sacar dos bolas blancas en las dos primeras extracciones de una bolsa que
contiene siete bolas blancas y cinco negras, sin reintegrar las bolas. (7/22)
P ( B1 ∩ B2 ) = P( B1 ) P(
B2
B1
)=
7 6
7
⋅ =
12 11 22
7.- Obtener la probabilidad de extraer de una vez cuatro bolas blancas de una urna que contiene 10 blancas, 3
negras y 2 rojas. (2/13)
P ( B1 ∩ B2 ∩ B3 ∩ B4 ) = P ( B1 ) P (
B2
B1
) P(
B3
B1 ∩ B2
) P(
B4
B1 ∩ B2 ∩ B3
)=
10 9 8 7
2
⋅ ⋅ ⋅ =
15 14 13 12 13
8.- En una urna hay tres bolas blancas y dos negras, ¿cuál es la probabilidad de que, al sacar al mismo
tiempo dos bolas, sean de distinto color? (12/20)
P [ ( B1 ∩ N 2 ) ∪ ( N1 ∩ B2 ) ] = P( B1 ) P (
N2
B1
) + P( N1 ) P(
B2
N1
3 2 2 3 12
)= ⋅ + ⋅ =
5 4 5 4 20
9.- En una urna hay 2 bolas blancas, 2 negras y 2 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar de una vez 2
bolas, salga una de cada color? (4/5)
2 4 2 4 2 4 4
P ⎡⎣( B1 ∩ B2 ) ∪ ( N1 ∩ N 2 ) ∪ ( R1 ∩ R2 ) ⎤⎦ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
6 5 6 5 6 5 5
10.- En una urna hay 2 bolas blancas y 3 negras y en otra 5 blancas y 6 negras. Si se saca al mismo tiempo una
bola de cada urna:
a) ¿cuál es la probabilidad de que sean las dos negras? (18/55)
b) ¿cuál es la probabilidad de que al menos una sea negra? (9/11)
c) ¿cuál es la probabilidad de que al menos una sea blanca? (37/55)
Podríamos hacer el árbol de posibilidades o simplemente P ( N1 ∩ N 2 ) = P ( N1 ) P ( N 2 ) =
3 6 18
⋅ =
5 11 55
2 5 9
P ( al menos una negra ) = 1 − P ( 2 blancas ) = 1 − ⋅ =
5 11 11
18 37
P ( al menos una blanca ) = 1 − P ( 2 negras ) = 1 − =
55 55
11.- Si la probabilidad de que se verifique un acontecimiento es 1/3, ¿cuál es la probabilidad de que no se
verifique? (2/3) (Este es fácil es la probabilidad del suceso contrario)
12.- En una baraja de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de sacar un caballo seguido de un rey, reintegrando
las cartas a la baraja? (1/100)
En la baraja hay 4 cartas de cada número por lo que será
P (caballo ∩ Re y ) = P(caballo) P(Re y ) =
4 4
1
⋅ =
40 40 100
13.- En una baraja de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de sacar tres reyes seguidos, reintegrando las cartas a
la baraja? (1/1000) (Se resuelve de forma análoga al anterior)
14.- Calcular la probabilidad de sacar un rey seguido de un caballo y este de un as, en una baraja española:
a) sin reintegrar las cartas a la baraja. (4/3705)
b) reintegrándolas después de cada extracción. (1/1000)
En el primer caso P (Re y ∩ Caballo ∩ As ) =
P (Re y ∩ Caballo ∩ As ) =
4 4 4
4
y en el segundo caso
⋅ ⋅ =
40 39 38 3705
4 4 4
1
⋅ ⋅ =
40 40 40 1000
15.- En una baraja de 48 naipes se sacan dos cartas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo palo? (11/47)
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto palo? (36/47)
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sean dos figuras? (11/188)
d) ¿Cuál es la probabilidad de que sean dos naipes determinados, por ejemplo, el 4 de bastos y el 5 de
copas, en este orden? (1/2256)
En el apartado a) la primera carta nos da igual, la segunda debe ser de las 11 que quedan del mismo palo entre
las 47 que quedan. El apartado b) es el complementario del apartado a). En el apartado c) consideramos que
existen 12 figuras con lo que será
12 11 11
1 1
1
. El apartado d)
⋅
=
=
48 47 188
48 47 2256
16.- Un sobre contiene 9 billetes de cien pesetas y uno de mil. Otro sobre contiene 10 billetes de cien pesetas.
Se toman 9 billetes del primer sobre y se ponen en el segundo y después se toman 9 billetes y se ponen en
el primero. Si nos dicen que nos regalan uno de los sobres, ¿por cuál debemos decidirnos? (sobre A)
La probabilidad de que el billete esté en el sobre B será la probabilidad de mover el billete de 1000 y no restaurarlo
después
9 ⎛ 18 17 16 15 14 13 12 11 10 ⎞ 9 10 9
⋅ ⎜ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎟ = ⋅ = , por lo que el de que esté en A será 10/19.
10 ⎝ 19 18 17 16 15 14 13 12 11 ⎠ 10 19 19
17.- Justificar si son dependientes o independientes, compatibles o incompatibles, los sucesos X e Y en cada
uno de los siguientes casos:
a) p(X) = 1/5. p(Y) = 3/5, p(X ∪ Y) = 2/5 (no es posible estos datos, la prob. de la unión debe ser mayor)
b) p(X) = 1/3, p(Y) = 5/6, p(X ∪ Y) = 8/9 (independientes y compatibles)
18.- Si A y B son dos sucesos de probabilidad no nula, razonar la verdad o falsedad de las siguientes
afirmaciones:
a) si A y B son incompatibles, entonces son independientes. (Falso)
b) si A y B son independientes, entonces son incompatibles. (Falso)
c) si A y B son independientes, entonces: p(A ∩ B) = p(A\B)p(B\A) (Verdadero)
19.- En un espacio de probabilidad:
a) define independencia de dos sucesos. (P( A ∩ B)=P(A) P(B))
b) demuestra que si dos sucesos A y B son independientes, entonces sus complementarios también lo
son.
P ( A ∩ B) = P( A ∪ B) = 1 − P( A ∪ B ) = 1 − P( A) − P( B) + P( A ∩ B) =
1 − P( A) − P( B ) + P ( A) P ( B ) = (1 − P( A) )(1 − P( B) ) = P( A) P( B)
20.- Sean A, B, C tres sucesos tales que P( A ∩ B) = 0. Escribe las fórmulas de las probabilidades siguientes:
a) p(A∪ B)
b) p(A ∪ B ∪ C)
c) p(A ∩ (B ∪ C))
p ( A ∪ B) = P( A) + P( B)
p( A ∪ B ∪ C ) = P( A) + P( B) + P(C ) − P( A ∩ C ) − P( B ∩ C )
p ( A ∩ ( B ∪ C )) = P ( A ∩ C )
21.- La probabilidad de que un proyectil de en el blanco es 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de dar en el blanco si
se realizan tres disparos? (124/125)
P (acertar ) = 1 − P( fallar ) = 1 − 0.2 ⋅ 0.2 ⋅ 0.2 = 1 −
1 1 1 124
=
5 5 5 125
22.- La probabilidad de que un tirador al blanco acierte es de 1/3. Si dispara 4 veces, ¿cuál es la probabilidad
de que haya?:
a) al menos un blanco. (68/81)
b) los 4 blancos. (1/81)
P(al menos 1 blanco)=1-P(ningún blanco)= 1 −
2 2 2 2 65
1111 1
=
=
; P(4 blancos)=
3 3 3 3 81
3 3 3 3 81
23.- Hallar la probabilidad de que al lanzar una moneda 6 veces, se obtenga al menos una cara. (63/64)
Este suceso es el contrario de que no se obtenga ninguna cara, lo que nos da fácilmente el resultado.
24.- A los 65 años, la probabilidad de que una persona sea miope es 0.2, la probabilidad de que tenga cataratas
es 0.25 y la probabilidad de que sea miope y tenga cataratas es 0.15. ¿Cuál es la probabilidad de que a los
65 años una persona sea miope o tenga cataratas? (0.3)
P ( M ∪ C ) = P( M ) + P(C ) − P( M ∩ C ) = 0.2 + 0.25 − 0.15 = 0.3
25.- Para seleccionar un muchacho entre tres, se les ofrece sucesivamente una bolsa con dos bolas negras y
una blanca. Cada uno extrae una bola y, sin devolverla, pasa la bolsa al compañero. Se selecciona a quien
extraiga la blanca. ¿Qué es mejor para ser seleccionado, extraer en primer lugar, en segundo o en tercero?
(Da igual, todos tienen la misma probabilidad de ganar 1/3)
Hacemos el árbol del que se puede deducir las probabilidades:
1
2 1 1
2 1
1
P( ganar 1º ) = , p ( ganar 2º ) = ⋅ = , P ( ganar 3º ) = ⋅ ⋅ 1 =
3
3 2 3
3 2
3
26.- Una encuesta revela que el 35% de los habitantes de una ciudad leen el periódico A, el 28% leen el B y el
10% leen ambos periódicos. Si se elige al azar un ciudadano, hallar la probabilidad de que:
a) lea A pero no lea B. (0,25)
b) lea sólo uno de los dos periódicos. (0,43)
c) no lea ninguno de los dos periódicos. (0,47)
d) lea ambos periódicos, sabiendo que lee el A. (0,2857)
e) no lea A, sabiendo que lee B. (0,6429)
P ( A ∩ B) = P( A − B) = P( A) − P( A ∩ B) = 0.35 − 0.1 = 0.25
P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ) = ( P ( A) − P ( A ∩ B) ) + ( P( B ) − P( A ∩ B)) = ( 0.35 − 0.1) + ( 0.28 − 0.1) = 0.43
P ( A ∩ B) = P( A ∩ B) = 1 − P( A ∩ B) = 1 − (0.35 + 0.28 − 0.1) = 0.47
p( A ∩ B ∩ A) p( A ∩ B) 0.1
P A∩ B =
=
=
= 0.2857
A
p ( A)
p( A)
0.35
(
)
0.18
= 0.6429
( B ) = p(pA(∩B)B) = 0.28
P A
27.- Una caja A tiene 7 bolas numeradas del 1 al 7 y una caja B tiene 5 bolas numeradas del 2 al 6. Se elige
una caja al azar y se saca una bola. Si el número extraído es impar, hallar la probabilidad de que proceda
de la caja A. (10/17)
4 1
⋅
P( A ∩ Im par )
10
7 2
=
=
=
P A
Im par
4
1
2
1
P(Im par )
17
⋅ + ⋅
7 2 5 2
(
)
28.- Un matrimonio dispone de dos coches para ir juntos al trabajo. Lunes, miércoles y viernes toman el coche
A y martes y jueves el coche B. El coche A no arranca el 5 de los días, mientras que el coche B no
arranca el 8% de los días. Si un día llegan tarde al trabajo, ¿qué probabilidad hay de que sea a causa del
coche A? (0,4839)
(
)
P( A ∩ tarde)
=
=
P A
tarde
P(tarde)
0.05 ⋅
3
5
3
2
0.05 ⋅ + 0.08 ⋅
5
5
= 0.4839
29.- Tres máquinas A, B y C producen respectivamente el 50%, 30% y 20% del número de artículos de una
fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son 3, 4 y 5 respectivamente.
a) Si se selecciona al azar un artículo, hallar la probabilidad de que el artículo sea defectuoso. (0,037)
b) Si se selecciona al azar un artículo y resulta defectuoso, hallar la probabilidad de que el artículo fuese
producido por la máquina A. (0,4054)
(
P ( Def ) = P Def
(
P A
A
)P( A)+ P( Def B )P( B)+ P( Def C )P(C )=0.5⋅0.03+0.3⋅0.04+0.2⋅0.05=0.037
p( A ∩ Def ) 0.5 ⋅ 0.03
=
=
= 0.4054
)
Def
P( Def )
0.037