UNIDAD II. CAPITALIZACIÓN DE INTERÉS 2.2

Ingeniería Económica
UNIDAD II. CAPITALIZACIÓN DE INTERÉS
2.2. Cálculos para periodos de pago
2.2.1. Iguales a los periodos de capitalización
Pagos únicos. Tal como hemos considerado si los pagos son únicos, y
los periodos que transcurren son los mismos que la capitalización de la
tasa de interés, la ecuación es: F=P(1+i)n
Pagos periódicos al vencimiento.
Los pagos periódicos (o anualidades) son pagos iguales en el tiempo,
cuyo valor los hemos considerado con la letra A tienen el siguiente
diagrama de flujo de caja:
2.2. Cálculos para periodos de pago
Otros autores manejan la fórmula de la siguiente manera:
 (1 + i )n − 1
P = A
n 
 i(1 + i ) 
 (1 + i )n
1 
−
P = A
n
n 
i(1 + i ) 
 i(1 + i )
1
1 
P = A −
n 
 i i(1 + i ) 
1 (1 + i )− n 
P = A −

i
i

−n
1 − (1 + i ) 
P = A

i


Manejando la siguiente ecuación para pagos periódicos al vencimiento
(anualidades vencidas).
1 − (1 + i )− n 
P = A

i


Para pagos fututos con el siguiente diagrama de flujo de caja:
La ecuación para calcular el valor presente conociendo un conjunto de
pagos iguales en el futuro “A” bajo una tasa de interés “i” durante “n”
periodos como:
 (1 + i )n − 1
P = A
n 
 i(1 + i ) 
Es importante notar que en dicha fórmula consideramos que coincide
la capitalización de la tasa de interés con las unidades del número de
periodos (capitalización mensual de la tasa “i”, debe sustituirse con un
valor de “n” que represente número de meses que abarca la operación).
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
Es la siguiente:
 (1 + i )n − 1
F = A

i


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Pagos periódicos anticipados
Los pagos periódicos anticipados, son aquellos donde el primer pago
inicia desde el periodo cero. Es decir, considerando el siguiente
diagrama de flujo, suponiendo que estamos buscando el valor futuro al
cual equivalen una serie de pagos periódicos:
2.2. Cálculos para periodos de pago
La ecuación correspondiente puede deducirse de la siguiente manera,
suponga que al factor (1+i)-n le quita un periodo, entonces queda
(1+i)-n+1 y al mismo tiempo ponemos el periodo sumándoselo al valor
presente::
1 − (1 + i )− n +1 
P = A + A

i


Si factorizamos A queda finalmente:
 1 − (1 + i )− n +1 
P = A 1 +

i


Entonces como resumen de fórmulas para pagos
Nótese que se tienen “n” pagos, solo que el valor futuro “F” está un
periodo adelante que el resto de los pagos, es como si hubiera pasado
un periodo más, por lo tanto el valor futuro queda:
 (1 + i )n − 1
F = A
 (1 + i )
i


Pagos vencidos
Pagos anticipados
 (1 + i )n − 1
F = A

i


 (1 + i )n − 1
F = A
 (1 + i )
i


1 − (1 + i )− n 
P = A

i


 1 − (1 + i )− n +1 
P = A 1 +

i


En caso de querer calcular el valor presente equivalente podemos
considerar el siguiente diagrama de flujo.
De las ecuaciones anteriores podemos calcular el valor no solo del
valor presente “P” y del valor futuro “F”, también podemos despejar el
número de periodos “n” y de las rentas periódicas (anualidades) “A”.
Recuerde que en estas ecuaciones estamos suponiendo que los periodos
de capitalización de la tasa de interés “i” coinciden con los pagos (es
decir capitalización de la tasa “i” es mensual y los pagos “A” son
mensuales).
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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2.2.1. Mayores o menores a los periodos de capitalización
Las ecuaciones vistas anteriormente cada pago ocurre con una
diferencia de un periodo de capitalización, pero ¿Qué ocurre cuando
los pagos son bimestrales y la capitalización es mensual, por ejemplo?
En este caso para seguir usando las ecuaciones anteriores, se requiere
cambiar la capitalización de la tasa para que coincida con los periodos
de los pagos, es decir si los pagos son:
• Mensuales… cambiar la capitalización de la tasa a mensual.
• Bimestrales… cambiar la capitalización de la tasa a bimestral.
• Y así sucesivamente.
La ecuación es:
m


N
j



i EQ = N 1+  − 1
 m 



Tasa equivalente “iEQ” con “N” capitalizaciones al año obtenida a
partir de una tasa “j” con “m” capitalizaciones al año.
2.2. Cálculos para periodos de pago
Ejemplo 1. Sensotech, Inc., fabricante de sistemas de microelectrónica,
supone que puede reducir en un 10% que sus productos sean retirados
del mercado si compra software nuevo para detectar las partes
defectuosas. El costo de dicho software es de $225 000. Usar una
TREMA de 15% anual capitalizable anualmente.
a) ¿Cuánto tendría que ahorrar la compañía anualmente durante cuatro
años para recuperar su inversión?
b) ¿Cuál fue el costo por año de los retiros del mercado antes de que se
hubiera comprado el software si la compañía recuperó su inversión
exactamente en cuatro años debido a la reducción del 10%?
c) ¿Cuánto tendría que ahorrar la compañía semestralmente durante 4
años para recuperar su inversión?
d) ¿Cuál fue el costo por cuatrimestre de los retiros del mercado antes
de que se hubiera comprado el software si la compañía recuperó su
inversión exactamente en 3 años debido a su reducción del 10%?
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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Ejemplo 2. Southwestern Moving and Storage quiere tener dinero
suficiente para comprar un tractocamión nuevo dentro de tres años. Si
la unidad costará $250,000
a) ¿cuánto debe reservar al inicio de cada año si la compañía si la
cuenta rinde 9% al año capitalizable anualmente?
b) ¿Cuál es el valor presente de la maquinaria? Considere una tasa de
9% al año capitalizable anualmente
Ejemplo 3. Se firma un contrato por el cual la compañía pagará
$90,000 al inicio de cada año durante tres años, (iniciando de
inmediato), si la empresa considera como el costo de capital una tasa
del 10% anual capitalizable semestralmente, determine:
a) El valor futuro del contrato.
b) El valor presente del contrato
Ejemplo 4. Se firma un contrato por el cual la compañía pagará
$90,000 al final de cada año, (el primer pago se hace dentro de un
año), si la empresa considera como el costo de capital una tasa del 10%
anual capitalizable semestralmente, determine:
a) En cuantos años se considera que se logra acumular valor futuro de
$200,000.
b) ¿Cuantos años debe durar el contrato para considerarlo con un valor
presente de $200,000?
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
2.2. Cálculos para periodos de pago
Actividad 2.2. Periodos de capitalización. Resuelva los siguientes
problemas.
1.- Para un proyecto de construcción se requieren $15,000 al inicio de
cada mes durante 6 meses que dura la construcción. ¿Cuánto se debe
depositar como único pago al comienzo de las obras en un banco que
paga una tasa de interés del 8.7% anual compuesto mensualmente?
2.- ¿Cuánto se acumula en una cuenta de ahorros si se realizan 15
depósitos quincenales vencidos de $500 y la tasa de interés es del
a) 14.5% anual capitalizable quincenalmente?
b) 14.5% anual capitalizable mensualmente?
c) 14.5% anual capitalizable semestralmente?
3.- Cuanto debe depositar una persona al inicio de cada mes durante 20
meses para que se disponga de $12,000 al final del plazo, suponiendo
que se gana una tasa de interés del 26% anual capitalizable
mensualmente.
4.- Se abre una cuenta bancaria con un depósito inicial de $8,500 y
después deposita la misma cantidad por cada mes transcurrido; si la
tasa es de 11.2% anual capitalizable semestralmente ¿en cuantos meses
se considera que se ha logrado acumular $30,000?
Entrega tus resultados en forma de PRÁCTICA DE EJERCICIOS,
siguiendo las rúbricas indicadas en la dirección:
http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm
Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes
direcciones: [email protected]; [email protected];
[email protected] y [email protected]
Recuerde enviar dicho correo con copia a usted mismo y en asunto
colocar “2.1. Factores de equivalencia anualidades anticipadas”.
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