Extremos de funciones de dos variables

Estudio de máximos locales, mı́nimos locales y puntos silla de una función f ∈ C 3 (IR2 )
CONDICIÓN NECESARIA: SER PUNTOS P (x0 , y0 ) CRÍTICOS.
∂f
∂f
(x0 , y0 ) = 0
(x0 , y0 ) = 0
∂x
∂y
Desarrollo de Taylor de f en P (x0 , y0 ): f (x0 + h1 , y0 + h2 ) − f (x0 , y0 ) = Hf (x0 , y0 )(h) + R2 (h, (x0 , y0 )), lı́m
h→0
!
∂2f
∂2f
h1
∂ 2 x (x0 , y0 )
∂y∂x (x0 , y0 )
Hf (x0 , y0 )(h) = 12 h1 h2
∂2f
∂2f
h2
∂x∂y (x0 , y0 )
∂ 2 y (x0 , y0 )
R2 (h, (x0 , y0 ))
=0
khk2
Estudio del signo de Hf (x0 , y0 )(h). Completamos cuadrados en la forma cuadrática.
λ1 0
La Matriz Hessiana en P (x0 , y0 ) es simétrica ⇒ diagonalizable. λ1 y λ2 sus valores propios,
, det(H) = λ1 · λ2
0 λ2
det(H) < 0
PUNTO SILLA
sign(λ1 ) 6= sign(λ2 )
det(H) = 0
Punto crı́tico degenerado
λ1 y/ó λ2 = 0
Estudio local de la función
En algunas direcciones es un máximo
En algunas direcciones es un mı́nimo
Estudio local de la función
Estudio de derivadas sucesivas
MÍNIMO LOCAL
f (x0 + h1 , y0 + h2 ) > f (x0 , y0 )
det(H) > 0
Extremo local
sign(λ1 ) = sign(λ2 )
∂2f
(x0 , y0 ) > 0
∂2x
∂2f
(x0 , y0 ) < 0
∂2x
MÁXIMO LOCAL
f (x0 + h1 , y0 + h2 ) < f (x0 , y0 )
∂2f
(x0 , y0 ) = 0
∂2x
Este caso no posible
0 b
det
= −b2 < 0
b d