Máximos y mınimos de funciones de varias variables

Máximos y mı́nimos de funciones de varias
variables
1
Estudio de los puntos crı́ticos
Se definen puntos crı́ticos como los puntos en los que el gradiente de la función se
anula.
Definición 1. Sea A ⊆ Rn un conjunto abierto y f : A → R una función con derivadas
segundas continuas en A. El punto Po = (x01 , . . . , x0n ) es un punto crı́tico de f si:

∂f (x01 ,...,x0n )

=0

∂x1
···
(1)

 ∂f (x01 ,...,x0n )
=
0
∂xn
Todas las derivadas parciales de primer orden de f se anulan en P0
1.1
Máximos y mı́nimos
Se puede demostrar que los máximos y mı́nimos de una función son puntos crı́ticos si
se alcanzan en puntos interiores (tambin pueden ser máximos y mı́nimos puntos en la
frontera, pero entonces no son necesariamente crı́ticos). Recordemos la definición . . .
Definición 2. Sea A ⊆ Rn un conjunto abierto y f : A → R una función con derivadas
parciales de segundo orden continuas en A; se dice que un punto P0 = (x01 , . . . , x0n )
es, para la función f :
• máximo absoluto si, para cada otro punto P = (x1 , . . . , xn ) ∈ A:
f (x01 , . . . , x0n ) ≥ f (x1 , . . . , xn )
(2)
• mı́nimo absoluto si, para cada otro punto P = (x1 , . . . , xn ) ∈ A:
f (x01 , . . . , x0n ) ≤ f (x1 , . . . , xn )
(3)
• máximo relativo si existe un entorno B de P0 tal que, para cada otro punto
P = (x1 , . . . , xn ) ∈ B:
f (x01 , . . . , x0n ) ≥ f (x1 , . . . , xn )
(4)
• mı́nimo relativo si existe un entorno B de P0 tal que, para cada otro punto
P = (x1 , . . . , xn ) ∈ B:
f (x01 , . . . , x0n ) ≤ f (x1 , . . . , xn )
1
(5)
• silla si es siempre posible encontrar dos puntos P1 = (x11 , . . . , x1n ) y P2 =
(x21 , . . . , x2n ) en un entorno B de P0 tal que:
f (x11 , . . . , x1n ) ≤ f (x01 , . . . , x0n ) ≤ f (x21 , . . . , x2n )
1.2
(6)
Matriz Hessiana y definición de máximos y mı́nimos
Una manera de decidir si los puntos crı́ticos son máximos, mı́nimos o puntos silla para
una función está basada en el estudio de las derivadas segundas y en particular de la
matriz hessiana1 .
Definición 3. Sea A ⊆ Rn un conjunto abierto y f : A → R una función con derivadas
segundas continuas en A.
Se define la matriz hessiana de f , en cada punto, como la siguiente matriz n × n:


H(x1 , . . . , xn ) = 
1.3
∂ 2 f (x1 ,...,xn )
∂x21
···
2
∂ f (x1 ,...,xn )
∂x1 ∂xn
···
···
···
∂ 2 f (x1 ,...,xn )
∂xn ∂x1

···


2
∂ f (x1 ,...,xn )
∂x2n
(7)
Caso en dos variables
En el caso de funciones de dos variables, el signo de los valores propios de la matriz
hessiana (que es simtrica) permite decidir si un punto es un máximo relativo, un mı́nimo
relativo o un punto silla. Tenemos:
!
∂ 2 f (x,y)
∂ 2 f (x,y)
H(x, y) =
∂x2
∂ 2 f (x,y)
∂x∂y
∂y∂x
∂ 2 f (x,y)
∂y 2
(8)
Definición 4. Sea f una función de dos variables definida en un conjunto abierto
A ⊆ R2 y continua con sus derivadas hasta el tercer orden. Sea un punto P0 =
(x0 , y0 ) ∈ I : ∇f (P0 ) = 0 (es decir que P0 es un punto crı́tico para f ), entonces
tenemos:
1. si los dos valores propios de HP0 son positivos, P0 es un punto de mı́nimo
relativo;
2. si los dos valores propios de HP0 son negativos, P0 es un punto de máximo
relativo;
3. si uno de los valores propios de HP0 es positivo y el otro negativo, P0 es un
punto silla.
(En realidad, lo que acabamos de enunciar es un teorema, no una definicin).
1.4
Máximos y mı́nimos vinculados: multiplicadores de Lagrange
Para el estudio de máximos y mı́nimos vinculados, se aplica el método de los multiplicadores de Lagrange y se estudia el signo del determinante de la matriz hessiana del
lagrangiano.
1 El
nombre viene de Otto Hess, matemático alemán (1811–1874).
Definición 5. Sea |HP0 | el determinante de la matriz hessiana del lagrangiano L(x, y, λ)
calculado en un punto crı́tico P0 :
1. si |HP0 | < 0, P0 es un mı́nimo;
2. si |HP0 | > 0, P0 es un máximo.
Ejemplo 1. Identificar los puntos crı́ticos de la función f (x, y) y determinar sus tipos:
f (x, y) = x + y 2
bajo el vı́nculo non lineal representado por la función:
ϕ(x, y) = x2 + y 2 − 25 = 0
Sea el lagrangiano asociado:
L(x, y, λ) = f (x, y) − λϕ(x, y) = x + y 2 − λ(x2 + y 2 − 25)
Las derivadas primeras son:
∂L(x, y, λ)
= 1 − 2λx;
∂x
∂L(x, y, λ)
= 2y − 2λy;
∂y
∂L(x, y, λ)
= −x2 − y 2 + 25
∂λ
Los puntos crı́ticos de L(x, y, λ) son las soluciones del sistema siguiente:


∂L(x,y,λ)

=0
=0
 1 − 2λx

∂x
∂L(x,y,λ)
2y
−
2λy
=0
⇒
=
0
∂y
 2

2
 ∂L(x,y,λ)
x
+
y
−
25
=
0
=0
(9)
∂λ

 1 − 2λx
2y(1 − λ)
 2
x + y 2 − 25

=0
 2λx
y=0 o
=0 ⇒
 2
=0
x + y 2 − 25
=1
λ=1
=0
(10)
Tenemos dos casos que analizar:
1. y = 0


 2λx = 1
 2λx = 1
y
=0
y
=0
⇒
 2

x
= 25 − y 2
x
= ±5
(11)
1
1
El que nos lleva los puntos P1 = (5, 0, 10
) y P2 = (−5, 0, − 10
).
2. λ = 1

 x
λ
 2
y

1
= 2λ
 x
λ
=1
⇒
 2
y
= 25 − x2
= 1/2
=1
= 100−1
=
4
99
4

 x
λ
⇒

y
= 1/2
=1 √
= ± 3 211
Las soluciones de este segundo grupo de equaciones son P3 = ( 21 , 3
√
P4 = ( 12 , − 3 211 , 1).
√
11
2 , 1)
(12)
y
Las segundas derivadas del lagrangiano son:
∂ 2 f (x, y)
= −2λ
∂x2
∂ 2 f (x, y)
= 2(1 − λ)
∂y 2
∂ 2 f (x, y)
=0
∂λ2
∂ 2 f (x, y)
=0
∂x∂y
∂ 2 f (x, y)
=0
∂y∂x
∂ 2 f (x, y)
= −2x
∂λ∂x
∂ 2 f (x, y)
= −2x
∂x∂λ
∂ 2 f (x, y)
= −2y
∂y∂λ
∂ 2 f (x, y)
= −2y
∂λ∂y
el determinante hessiano vale:
−2λ
0
−2x
0
2(1 − λ) −2y = 8 (λ − 1)x2 + λy 2
−2x
−2y
0 Entonces, para cada punto crı́tico, se logra que:
1
|H(5, 0, 10
)| = −180 < 0 ⇒ mı́nimo,
1
|H(−5, 0, − 10
)| = −220 < 0 ⇒ mı́nimo,
√
1 3 11
|H( 2 , 2 , 1)| = 198 > 0 ⇒ máximo,
√
|H( 12 , − 3 211 , 1)| = 198 > 0 ⇒ máximo.
(13)