´Algebra Lineal I

Álgebra Lineal I
Examen Parcial
29 de octubre de 2014
(45 minutos)
1.– En una playa se juntan 13 amigos y deciden hacer 4 equipos para jugar al voleibol, tres de 3 jugadores
y uno de 4. Entre ellos hay un jugador profesional y otro muy torpe. ¿De cuántas forman pueden
armarse los equipos si el ”torpe” tiene que ir en el equipo de cuatro y el profesional en un equipo de
tres?.
(3 puntos)
2.– Si A, B, X ∈ Mn×n (IR) son matrices inversibles, hallar X en función de A y B sabiendo que:
(A−1 X)−1 = A(B −2 A)−1 .
Probar además que signo(det(A)) = signo(det(X)).
(3 puntos)
3.– Dados n ∈ IN y a, b ∈ IR se considera la matriz A ∈ Mn×n (IR):
a+b
 a

 a
A=
 ...

 a

a

a
a
...
a
a
a+b
a
...
a
a 

a
a + b ...
a
a 
..
..
..
.. 
..
.
.
.
.
. 

a
a
... a + b
a 
a
a
...
a
a+b
(i) Hallar det(A) en función de a, b, n.
(ii) Hallar rango(A) en función de a, b, n.
(4 puntos)
Álxebra Lineal I
Exame Parcial
29 de outubro de 2014
(45 minutos)
1.– Nunha praia xúntanse 13 amigos e deciden facer 4 equipos para xogar ó voleibol, tres de 3 xogadores e
un de 4. Entre eles hai un xogador profesional e outro moi torpe. De cántas formas poden armarse os
equipos si o ”torpe” ten que ir no equipo de catro e o profesional nun equipo de tres?.
(3 puntos)
2.– Se A, B, X ∈ Mn×n (IR) son matrices inversibles, atopar X en función de A e B sabendo que:
(A−1 X)−1 = A(B −2 A)−1 .
Probar ademais que signo(det(A)) = signo(det(X)).
(3 puntos)
3.– Dados n ∈ IN e a, b ∈ IR se considera a matriz A ∈ Mn×n (IR):
a+b
 a

 a
A=
 ...

 a

a

a
a
...
a
a
a+b
a
...
a
a 

a
a + b ...
a
a 
..
..
..
.. 
..
.
.
.
.
. 

a
a
... a + b
a 
a
a
...
a
a+b
(i) Atopar det(A) en función de a, b, n.
(ii) Atopar rango(A) en función de a, b, n.
(4 puntos)