Momento de inercia de un semicírculo

Momento de inercia de un semicírculo de masa M y radio R respecto a su centro de
gravedad
1
1
El área del semicírculo es A = πR 2 y su masa M = σπR 2
2
2
Y
Consideramos que el círculo está contenido en el plano
XY.
El momento de inercia respecto al centro de gravedad
puede calcularse por aplicación del teorema de Steiner,
• G
calculando previamente el momento de inercia
respecto al punto O. El momento de inercia respecto a
X
O
O se puede calcular directamente o calculando
previamente los momentos de inercia respecto a planos y/o ejes
1º método. El momento de inercia respecto al punto O es la suma de los momentos de inercia
respecto a los ejes OX y OY, y en el semicírculo, el momento de inercia respecto al eje OX y
respecto al eje OY es el mismo, por simetría. El
Y
momento de inercia respecto al eje OX es
I OX = ∫∫ y 2 dm
A
x
Consideramos un elemento diferencial de masa, a una
distancia y del eje OX, y existe otro elemento
diferencial de masa simétrico, tal que ambos
proporcionan el mismo valor de y2dm. Por tanto, puede
dy
y
X
O
considerarse que la integral de y2dm extendida al área del semicírculo (A) es igual a considerar 2
veces la integral extendida al cuarto de círculo (A/2).
La masa del elemento diferencial es dm = σxdy . Tanto x como y se pueden expresar en función
del ángulo ϕ, en el cuarto de círculo este ángulo varía entre 0 y π/2.
π
I OX =
2
2
∫∫ y dm =∫∫ y σxdy = 2σ
A
A
2
2
2
4
2
2
∫∫ ( R sen ϕ )( R cosϕ )( R cosϕ )dϕ = 2σR ∫ sen ϕ cos ϕdϕ
A/2
0
Como sen 2ϕ = 2 sen ϕ cos ϕ , se tiene que sen 2 ϕ cos 2 ϕ = (sen ϕ cos ϕ )
2
La integral
1
= sen 2 2ϕ
4
1
1 1 − cos 4ϕ
1
1⎡
1
⎤
sen 2 2ϕ dϕ = ∫
dϕ = ∫ (1 − cos 4ϕ )dϕ = ⎢ϕ − sen 4ϕ ⎥
∫
4
4
2
8
8⎣
4
⎦
El momento de inercia respecto al eje OX es
∫ sen
2
ϕ cos 2 ϕ dϕ =
π
π
4
2
2
2⎡
1
MR 2
⎤ 2 σR π ⎛ σπR ⎞ R
⎟⎟
I OX = 2σR ∫ sen ϕ cos ϕdϕ = σR ⎢ϕ − sen 4ϕ ⎥ =
=
= ⎜⎜
8⎣
4
4 2 ⎝ 2 ⎠ 4
4
⎦0
0
MR 2
El momento de inercia respecto a O es I O = I OX + I Oy =
2
2
4
2
2
4
2º Método. Momento de inercia respecto al punto O. Se
considera un elemento diferencial de superficie, una tira
dr
de espesor dr y cuya longitud es la de una
semicircunferencia de radio r, situada a una distancia r
r
(0≤r≤R) del punto O, por lo que su masa es
dm = σdA = σπrdr . El momento de inercia respecto a O es
R
I O = ∫∫ r 2 dm = ∫∫ r 2σπrdr = σπ ∫ r 3 dr = σπ
A
El
0
A
momento
de
inercia
R 4 ⎛ σπR 2
=⎜
4 ⎜⎝ 2
respecto
al
⎞ R 2 MR 2
⎟⎟
=
2
⎠ 2
centro
de
gravedad
es
2
1
⎛ 4R ⎞
2 ⎛ 9π − 32 ⎞
⎟⎟
I G = MR 2 − M ⎜
⎟ = MR ⎜⎜
2
2
⎝ 3π ⎠
⎠
⎝ 18π
2
1