Electromagnetismo I

Electromagnetismo I
Semestre: 2014-2
TAREA 4 Y SU SOLUCIÓN
Dr. A. Reyes-Coronado
Solución por Carlos Andrés Escobar Ruı́z
1.- Problema: (25pts) Una esfera de radio R, centrada en el origen, posee una densidad
de carga
R
ρ(r, θ) = k 2 (R − 2r) sin θ,
r
donde k es una constante y las variables r y θ son las variables usuales en coordenadas
esféricas. Calcula el potencial de manera aproximada para puntos sobre el eje êz lejos
de la esfera.
Solución al problema 1
Dado que el problema es obtener el potencial para distancias grandes comparadas con
el radio de la esfera, se justifica hacer uso de la expansión multipolar.
La carga total del sistema (término monopolar) está dada por
Z
Z 1
Q = ρ dV = kR
(R − 2r) sin(θ) r2 sin(θ) dr dθ dφ.
r2
(1)
Al realizar la integración sobre r, tenemos que
Z
0
R
R
(R − 2r) dr = (Rr − r ) = R2 − R2 = 0 ,
2
(2)
0
lo cual implica que la carga total del sistema es cero Q = 0.
El siguiente término a considerar es el dipolar, el cual está dado por
Z
Z
1
r cos(θ)ρ dV = kR (r cos(θ)) 2 (R − 2r) sin(θ) r2 sin(θ) dr dθ dφ.
r
Sin embargo, la integral sobre θ es nuevamente nula
Z π
sin3 (θ) π
2
sin (θ) cos(θ) dθ =
= 0,
3 0
0
(3)
(4)
con lo cual la aproximación dipolar no contribuye.
Z
El término cuadrupolar está dado por
Z
1
1
1
2 3
2
2 3
r
cos (θ) −
ρ dV = kR r
cos(θ) −
(R − 2r) sin(θ) r2 sin(θ) dr dθ dφ.
2
2
2
2
r2
(5)
1
La integral anterior es directa y su valor es (k π 2 R5 /48), con lo cual el potencial aproximado
para grandes distancias va como el término cuadrupolar:
φ(z) ≈
1 k π 2 R5
.
4π0 48 r3
(6)
2. Problema: (25pts) Cuatro partı́culas (una de carga +q, otra de carga 3q y dos de
carga −2q) están colocadas como se muestra en la figura. Cada partı́cula está a una
distancia a del origen del sistema de coordenadas. Deriva una ecuación aproximada
para el potencial, válida para puntos lejos del origen, en coordenadas esféricas.
ẑ
!3q
−2q
−2q
!
!
! q
ŷ
Solución al problema 2
El término monopolar es nulo porque la carga total del sistema es cero. El término
dipolar para un sistema de cargas puntuales está dado por
X
p~ =
qi~r 0i ,
(7)
i
y para este caso tenemos que
p~ = (3qa − qa) êz + [−2qa − 2q(−a)] êy = 2qa êz .
(8)
Teniendo en cuenta que p~ · r̂ = 2qa êz · êr = 2qa cos(θ), se sigue que el potencial para
distancias grandes (comparadas con a) está dado por
φ≈
1 p~ · êr
1 2qa cos(θ)
=
.
4π0 r2
4π0
r2
(9)
3. Problema: (25pts) La densidad superficial de carga para un cascarón esférico de radio
R está dada por
σ(θ) = k cos θ,
donde k es una constante.
(a) Calcula el momento dipolar de esta distribución de carga.
(b) Calcula el potencial aproximado para puntos lejanos de la esfera, y compara tu
expresión con el resultado exacto, dado por:
φ(r, θ) =
2
k R3 1
cos θ.
3 0 r2
Solución al problema 3
a) PorRsimetrı́a, el momento dipolar debe apuntar en la dirección êz , es decir, p~ = p êz ,
donde p = zσ da. Entonces:
Z
p =
(R cos(θ))(k cos(θ))R2 sin(θ) dθ dφ,
(10)
Z π
3
= 2πR k
cos2 (θ) sin(θ) dθ,
0
cos3 (θ) π
3
= 2πR k −
,
3
0
4πR3 k
,
3
=
de lo cual se sigue que
p~ =
4π R3 k
êz = V k êz ,
3
(11)
con V el volumen de la esfera!
b) El potencial aproximado para distancias grandes (comparadas con R) es
φ≈
kR3 cos(θ)
1 p~ · êr
=
.
4π0 r2
30 r2
(12)
Vemos que esta aproximación corresponde al valor exacto, lo cual nos dice que todos los
demás términos de la expansión multipolar, excepto el dipolar, deben ser nulos.
4. Problema: (25pts) Dos cargas puntuales, 3q y −q están separadas por una distancia
a. Para cada una de las geometrı́as mostradas en la figura, calcula (i) el momento
monopolar, (ii) el momento dipolar y (iii) el potencial aproximado para valores grandes
de r, en coordenadas esféricas, incluyendo las contribuciones del monopolo y el dipolo.
ẑ
ẑ
a
ẑ
!3q
!−q
−q
3q
ŷ
a
(a)!
!
!−q
(b)!
ŷ
!
3q
a
!
ŷ
(c)!
Solución al problema 4
En este caso procedemos al cálculo directo a partir de las fórmulas para los términos
monopolares y dipolares. Después escribimos el potencial aproximado en función de estos
últimos.
3
a)
i) Q = 2q ;
ii) p~ = 3qa êz ,
2q 3qa cos(θ)
1
.
φ≈
+
4π0 r
r2
(13)
(14)
b)
i) Q = 2q ;
ii) p~ = qa êz ,
1
2q qa cos(θ)
φ≈
+
.
4π0 r
r2
(15)
(16)
c)
i) Q = 2q ;
ii) p~ = 2qa êy ,
1
2q 2qa sin(θ) sin(φ)
φ≈
+
.
4π0 r
r2
(17)
(18)
En lo anterior hemos hecho uso de êz · êr = cos(θ) y êy · êr = sin(θ) sin(φ).
5. Problema TORITO: (30pts) Muestra que el campo eléctrico de un dipolo puntual
dado por la expresión
~ Dipolar (r, θ) =
E
p
(2 cos θ êr + sin θ êθ ) ,
4π0 r3
se puede escribir en una forma independiente de la localización del origen del sistema
de coordenadas como:
~ Dipolar (~r ) =
E
1 1
[3 (~
p · r̂)r̂ − p~ ] .
4π0 r3
Solución al problema 5
Escribimos el vector p~ en coordenadas esféricas (sabemos que p~ apunta en la dirección
êz ) y calculamos directamente el producto 3(~
p · êr )êr − p~:
p~ = (~
p · êr ) êr + (~
p · êθ ) êθ = p cos(θ) êr − p sin(θ) êθ ,
(19)
ya que en coordenadas esféricas se tiene que
êr = sin(θ) cos(ϕ) êx + sin(θ) sin(ϕ)êy + cos(θ)êz ,
(20)
êθ = cos(θ) cos(ϕ) êx + cos(θ) sin(ϕ)êy − sin(θ)êz ,
(21)
(22)
4
con lo cual
3 (~
p · êr ) êr − p~ = 3p cos(θ) êr − p cos(θ) êr + p sin(θ) êθ = 2p cos(θ) êr + p sin(θ) êθ . (23)
Por tanto
1 1
p
[3(~
p · êr ) êr − p~ ] =
[2 cos(θ) êr + sin(θ) êθ ] ,
4π0 r3
4π0 r3
(24)
lo cual nos dice que la expresión del campo eléctrico de un dipolo puntual puede ser escrito
en una forma independiente de la localización del origen del sistema de coordenadas como
~ dipolar (~r ) =
E
1 1
[3(~
p · êr ) êr − p~ ] .
4π0 r3
5
(25)