LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES

LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y
VOLÚMENES
La integral definida
Sea y = fx una función definida en el intervalo a, b, se llama integral definida de fx en
n
el intervalo a, b y se denota por ∫ fxdx = lim
∑ fc i x i − x i−1 .
n→∞
b
a
i=1
”a” y ”b” se llaman límites de integración inferior y superior respectivamente.
Propiedades de la integral definida
1. ∫ fxdx = − ∫ fxdx
b
a
a
b
b
2. ∫ fx + gxdx = ∫ fxdx + ∫ gxdx
a
a
a
b
b
3. ∫ λfxdx = λ ∫ fxdx
b
b
a
a
∀λ ∈ ℜ
4. Si a < b < c entonces ∫ fxdx = ∫ fxdx + ∫ fxdx
5. Si fx ≤ gx
c
b
a
a
∀x ∈ a, b

c
b
∫ a fxdx ≤ ∫ a gxdx
b
b
Teorema de la media
Theorem Sea fx continua en el intervalo a, b, entonces existe un punto c ∈ a, b tal
que
∫ a fxdx = b − afc
b
Remark Sean M y m los valores máximo y mínimo de fx en el intervalo a, b. Por
definición de integral definida se tiene:
b − am ≤
∫ a fxdx ≤ b − aM
b
Dividiendo esta igualdad por b − a tenemos
1 ∫ b fxdx ≤ M
b−a a
Como la función f por ser continua, toma todos los valores comprendidos entre el
valor mínimo m y el valor máximo M (teorema de los valores intermedios de
Darboux), existe pues un valor c ∈ a, b tal que
m≤
1
b−a
∫ a fxdx = fc
b
Es decir,
∫ a fxdx = b − afc
b
Función integral
Si en vez de considerar a y b fijos, suponemos b variable, y usamos t como variable
independiente, se tiene entonces una función Fx definida en a, b de la siguiente forma:
Fx =
∫ a ftdt
x
La función Fx se llama función integral, y tiene las siguientes propiedades:
a
1. Si x = a, entonces Fa = ∫ ftdt = 0
a
b
2. Si x = b, entonces Fb = ∫ ftdt
a
3. Si fx > 0, para todo x, entonces la función integral representa el área del recinto Rf, a, x
para cada x del intervalo.
Teorema fundamental del cálculo integral
Theorem Si f es contínua en a, b, entonces F es derivable y F ′ x = fx
∀x ∈ a, b.
Remark Calcularemos la derivada de Fx:
Fx + h − Fx
=
F ′ x = lim
h→0
h
∫ a ftdt − ∫ a ftdt
x+h
= lim
x
h
h→0
=
∫ x ftdt
x+h
= lim
h
como por el teorema de la media se tiene que
h→0
∫x
x+h
ftdt = hfc
c ∈ x, x + h
tenemos entonces que:
F ′ x = lim
h→0
hfc
= lim fc = fx
h→0
h
ya que c ∈ x, x + h.
Regla de Barrow
Theorem La integral definida de una función en el intervalo a, b es igual al valor que
toma una primitiva en el punto b menos el valor que toma en el punto a.
Si Gx es una primitiva de la función fx, la diferencia Gb − Ga suele
designarse como Gx ba = Gb − Ga
∫ a fxdx = Gx ba = Gb − Ga
b
Remark Sea Fx = ∫ ftdt por el teorema fundamental del cálculo integral
x
a
F ′ x = fx
Pero también por hipótesis (Gx es una primitiva de la función fx),
G ′ x = fx
Por tanto como F ′ x = G ′ x  Fx = Gx + C luego
Fb =
∫ a fxdx = Gb + C
Fa =
∫ a fxdx = 0 = Ga + C  C = −Ga
b
a
Así pues tenemos que:
∫ a fxdx = Gb − Ga
b
Dónde Gx representa cualquier primitiva de fx.
Cálculo de áreas planas
1. Si fx ≥ 0 en a, b el área comprendida entre la curva y = fx, el eje OX y las rectas
x = a y x = b es:
S=
∫ a fxdx
b
2. Si fx ≤ 0 en a, b entonces el área S es:
4.001
S=
∫ a fxdx
b
= − ∫ fxdx
b
a
3. Si fx toma valores positivos y negativos en el intervalo a, b, entonces ∫ fxdx da la
b
a
suma algebraica de las áreas señaladas, siendo positivas las que están por encima del eje OX
y negativas las que están por debajo.
S=
∫a
c1
fxdx − ∫ fxdx + ∫ fxdx − ∫ fxdx
c2
c3
b
c1
c2
c3
4. Área comprendida entre dos curvas:
Si tenemos dos curvas y = fx e y = gx y las abcisas de los puntos de intersección son
x = a y x = b, siendo fx ≥ gx en a, b entonces el área comprendida entre las curvas
y = fx e y = gx es:
S=
∫ a fxdx − ∫ a gxdx = ∫ a fx − gxdx
b
b
b
EJERCICIOS
1. Halla:
x
a. F ′ x en Fx = ∫ 4t 2 dt
(SOLUCIÓN: F ′ x = 4x 2 )
1x
(SOLUCIÓN: G ′ x = x 2 − 1)
b. G ′ x en Gx = ∫ t 2 − 1dt
2
c. F ′ t en Ft = ∫ 4x dx
(SOLUCIÓN: F ′ x = 4t )
3z
(SOLUCIÓN: H ′ z = cos z)
d. H ′ z en Hz = ∫ cos xdx
4
2. Halla G ′ x en cada uno de los siguientes casos:
x
1
a. Gx = ∫ 1+t1 2 dt
(SOLUCIÓN: G ′ x = 1+x
2 )
t
b. Gx = ∫
c. Gx = ∫
1
x2
1
1 1+t 2
3
x
1
x 1+t 2
dt
(SOLUCIÓN: G ′ x =
dt
(SOLUCIÓN: G ′ x =
2x

1+x 4
−1
3x 2
+ 1+x
6
1+x 2
2x −t 2

3. Calcula la derivada F ′ x de la función Fx = ∫ e dt
(SOLUCIÓN:
x
′
−4x 2
−x 2
−e )
F x = 2e
x
4. Halla los máximos y mínimos relativos de la función Gx = ∫ lnt t dt
(SOLUCIÓN: En
1
x = 1 mínimo relativo)
5. Calcula las siguientes integrales definidas:
1
(SOLUCIÓN: 1)
a. ∫ 5x 4 dx
0
4
b. ∫ 3t 2 − 5dt
(SOLUCIÓN: 46)
c. ∫ q − q 3 dq
(SOLUCIÓN: 9 )
−2
4
1
2
d. ∫ 12 x dx
(SOLUCIÓN: 7 )
2
384
4
6. Calcula el área encerrada por la curva y = x 2 − 5x y el eje OX entre x = 1, x = 4
SOLUCIÓN:
2
1
50
37.5
25
12.5
0
-5
-2.5
0
2.5
5
y = x 2 − 5x
∫ 1 x 2 − 5xdx
4
3
2
=  x − 5x  41 = − 33 = 33
3
2
2
2
Luego A = 33 u 2
2
7. Calcula el área encerrada por la curva y = cos x y el eje OX entre x = π , x = 5π
4
4
SOLUCIÓN:
A=
1
0
-1
y = cos x
Como se puede ver en la gráfica de la función y = cos x toma valores tanto positivos como
negativos en el intervalo  π , 5π  luego:
4 4
A = A 1 + |A 2 |
π
π
2
A 1 = ∫ π2 cos xdx = sin x π2 = 1 −
2
4
4
5π
5π
2
2
A 2 = ∫ π4 cos xdx = sin x π4 = −
− 1  |A 2 | = 1 +
2
2
2
2
2
2
Luego: A = A 1 + |A 2 | = 1 −
+1+
= 2 u2
2
2
8. Calcula el área encerrada por la curva y = x 2 − 4 y el eje OX entre x = 0, x = 5
SOLUCIÓN:
y = x2 − 4
A = A 1 + |A 2 |
x 3 − 4x 2 = 8 − 8 = − 16
3
3
3
0
5
3
5 2
x
125
A 2 = ∫ x − 4dx =
− 4x =
− 20 − 8 − 8 = 65 + 16 = 81 = 27
2
3
3
3
3
3
3
2
Luego A = |A 1 | + A 2 = 16 + 27 = 93 u 2
3
3
9. Calcula el área encerrada por las curvas y = 7x, y = x 2 y las rectas x = 2, x = 5.
SOLUCIÓN:
A 1 = ∫ x 2 − 4dx =
0
2
7 x 2 − 1 x 3 5 = 125 − 125 − 14 − 8
3
3
3
2
2
2
10. Calcula el área comprendida entre las curvas y = x 3 , y = x
SOLUCIÓN:
A = ∫ 7x − x 2 dx =
2
5
Calculamos los puntos de corte de las gráficas:
x 3 = x  x 6 = x  xx 5 − 1 = 0  x 1 = 0, x 2 = 1
El área será:
1
3
4
1
A = ∫  x − x 3 dx = 2 x 2 − x
= 5 u2
0
4 0
3
12
11. Área encerrada por y = x , el eje OY y las líneas y = 1, y = 3
SOLUCIÓN:
∫ 1 y 2 dy =
3
1 y 3  3 = 26 u 2
1
3
3
12. Calcula el área limitada por las curvas y = 2x , y = x − 4
SOLUCIÓN:
A=
= 207 u 2
6
Los puntos de corte de las gráficas serán:
2x = x − 4 2
2x = x 2 − 8x + 16
x 2 − 10x + 16 = 0 
x 1 = 2  y 1 = −2
x2 = 8  y2 = 4
Si despejamos x en cada una de las funciones tendremos:
2x  x = 1 y 2
2
y = x−4  x = y+4
y=
Luego:
A=
∫ −2
4
y + 4 − 1 y 2 dy =
2
1 y 2 + 4y − 1 y 3
6
2
4
−2
= 18u 2