SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA CALIFICADA Nº 1

2010 - I
Facultad de Contabilidad y Finanzas
SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA CALIFICADA Nº 1 - A
Curso
Docente
Ciclo
:
:
:
ESTADISTICA II
Ing. Oscar Reyes Almora
VI
Turno :
Sección:
Noche
3-28
1. Empleando las funciones estadísticas de su calculadora calcule la media, desviación típica y
varianza para cada caso (redondee si es necesario a cuatro decimales):
(2,4 puntos)
σ
σ2
12,3375
3,1555
9,9573
25
3,6056
13
x
a) 13,4 17,1 15,6 8,9 11,3 7,3 14,4 10,7
b)
Edad
fi
20 – 24 24 – 28 28 – 32 32 – 36
8
5
2
1
2. Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente distribución de probabilidad:
X
f(x)
13
0,14
14
0,18
15
4m
16
0,23
17
0,1
18
m
a) Halle la media, la desviación estándar y el coeficiente de variación.
(3 puntos)
0,14+0,18+4m+0,23+0,1+m = 1 → 0,65 + 5m = 1 → 5m = 0,35 → m = 0,07
E(x) = 13(0,14)+14(0,18)+15(0,28)+16(0,23)+17(0,1)+18(0,07) = 15,18
V(x) = [132(0,14)+142(0,18)+152(0,28)+162(0,23)+172(0,1)+182(0,07)] – (15,18)2 =
= 232,4 – 230.4324 = 1,9676 → σ ≈ 1,4027 → CV ≈ 9,24%
b) ¿Cuál es la probabilidad de que X esté en el intervalo [ μ – σ , μ + σ ]?
(2 puntos)
P[15,18 – 1,4027 ≤ X ≤ 15,18 + 1,4027] = P[13,78 ≤ X ≤ 16,58] = P[X=14]+ P[X=15]+ P[X=16]=
0,18 + 0,28 + 0,23 = 0,69
3. La gráfica corresponde a una función de densidad f(x) de una variable aleatoria continua X es:
f(x)
2k
k
X
1
3
a. Calcule el valor de k.
4
(2 puntos)
2(k) + 1(2k) = 4k = 1 → k = 1/4
b. Determine la función de densidad de probabilidad: f(x).
f(x) =
c.
¼,
½,
0,
(2 puntos)
si 1≤ x ≤ 3
si 3< x ≤ 4
en otro caso
Calcule: P[2 < X ≤ 7/2].
P[2 < X ≤ 7/2] = P[2 < X ≤ 3] + P[3 < X ≤ 7/2] =
(2 puntos)
3
=2 ∫ 1/4 dx +3 ∫
3
7/2
1/2 dx = 1/4 [x] + 1/2 [x]
2
7/2
3
= 1/4 +1/4 = 1/2
d. Halle la media y la desviación típica.
3
(2 puntos)
3
4
E(x) =1 ∫ x/4 dx +3 ∫ x/2 dx = 1/8 [x2] + 1/4 [x2]
1
4
3
= 1 +7/4 = 11/4 = 2,75
e. Determine la función de distribución acumulada: F(x).
1 < x ≤ 3:
x
x
F(x) =1 ∫ 1/4 dt = 1/4 [t]
3 < x ≤ 4:
1
= (x – 1)/4
x
x
F(x) = ½ + 3 ∫ 1/2 dt = ½ + 1/2 [t]
∴
3
0,
F(x) =
(2 puntos)
= ½ + (x – 3)/2 ó (x – 2)/2
si
si
si
si
(x – 1)/4
(x – 2)/2
1,
x≤1
1<x≤3
3<x≤4
x>4
4. A una persona le proponen tirar un dado correcto tres veces, bajo las siguientes condiciones: si en
los tres tiros sale un número mayor que cuatro gana S/. 100, si sólo en dos tiros sale un número
mayor que cuatro gana S/. 30, si sólo sale un número mayor que cuatro no gana ni pierde pero si
en los tres tiros sale un número menor que cinco pierde S/. 40. Calcule la ganancia esperada.
¿Conviene que participe?
(2,6 puntos)
Experimento aleatorio: Tirar un dado correcto tres veces y apreciar el resultado.
X: N° de tiros con resultado mayor que cuatro. S = sale un número mayor que 4.
RX = { 0, 1, 2, 3 }
P(S) = 1/3
N = no sale un número mayor que 4. P(N) = 2/3
P[X = 0] = P[{NNN}] = 2/3 × 2/3 × 2/3 = 8/27
P[X = 1] = P[{SNN, NSN, NNS}] = 3(1/3 × 2/3 × 2/3) = 12/27
P[X = 2] = P[{SSN, SNS, NSS}] = 3(1/3 × 1/3 × 2/3) = 6/27
P[X = 3] = P[{SSS}] = 1/3 × 1/3 × 1/3 = 1/27
X
0
1
2
3
Y
-40
0
30
100
P[Y = y]
8/27
12/27
6/27
1/27
E(Y) = -40(8/27) + 0(12/27) + 30(6/27) + 100(1/27) = -40/27 ≈ -1,48
∴ No conviene que participe.
EL PROFESOR
2010 - I
Facultad de Contabilidad y Finanzas
SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA CALIFICADA Nº 1 - B
Curso
Docente
Ciclo
:
:
:
ESTADISTICA II
Ing. Oscar Reyes Almora
VI
Turno :
Sección:
Noche
3-28
1. Empleando las funciones estadísticas de su calculadora calcule la media, desviación típica y
varianza para cada caso (redondee si es necesario a cuatro decimales):
(2,4 puntos)
σ
x
a) 11,4 16,6 15,6 8,9 11,6 8,3 14,4 12,1
b)
Edad
fi
σ2
12,3625
2,7986
7,8323
22
4,2426
18
16 – 20 20 – 24 24 – 28 28 – 32
7
4
3
2
2. Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente distribución de probabilidad:
13
0,12
X
f(x)
14
0,2
15
0,23
16
4m
17
0,1
18
m
a) Halle la media, la desviación estándar y el coeficiente de variación.
(3 puntos)
0,12+0,2+0,23+4m+0,1+m = 1 → 0,65 + 5m = 1 → 5m = 0,35 → m = 0,07
E(x) = 13(0,12)+14(0,2)+15(0,23)+16(0,28)+17(0,1)+18(0,07) = 15,25
V(x) = [132(0,12)+142(0,2)+152(0,23)+162(0,28)+172(0,1)+182(0,07)] – (15,25)2 =
= 234,49 – 232,5625 = 1,9275 → σ ≈ 1,3883 → CV ≈ 9,10%
b) ¿Cuál es la probabilidad de que X esté en el intervalo [ μ – σ , μ + σ ]?
(2 puntos)
P[15,25 – 1,3883 ≤ X ≤ 15,25 + 1,3883] = P[13,86 ≤ X ≤ 16,64] = P[X=14]+ P[X=15]+ P[X=16]=
0,2 + 0,23 + 0,28 = 0,71
3. La gráfica corresponde a una función de densidad f(x) de una variable aleatoria continua X es:
3k
f(x)
k
X
1
2
a. Calcule el valor de k.
3
(2 puntos)
1(k) + 1(3k) = 4k = 1 → k = 1/4
b. Determine la función de densidad de probabilidad: f(x).
¼,
si 1≤ x ≤ 2
f(x) =
¾,
si 2< x ≤ 3
0,
en otro caso
c. Calcule: P[3/2 < X ≤ 5/2].
P[3/2 < X ≤ 5/2] = P[3/2 < X ≤ 2] + P[2 < X ≤ 5/2] =
(2 puntos)
(2 puntos)
2
=3/2 ∫ 1/4 dx +2 ∫
2
5/2
3/4 dx = 1/4 [x]
+ 3/4 [x]
3/2
5/2
= 1/8 +3/8 = 4/8 = 1/2
2
d. Halle la media y la desviación típica.
2
(2 puntos)
2
3
E(x) =1 ∫ x/4 dx +2 ∫ 3x/4 dx = 1/8 [x2] + 3/8 [x2]
1
e. Determine la función de distribución acumulada: F(x).
1 < x ≤ 2:
x
x
F(x) =1 ∫ 1/4 dt = 1/4 [t]
2 < x ≤ 3:
1
x
x
0,
F(x) =
2
= 3/8 +15/8 = 18/8 = 2,25
(2 puntos)
= (x – 1)/4
F(x) = ¼ + 2 ∫ 3/4 dt = ¼ + 3/4 [t]
∴
3
(x – 1)/4
(3x – 5)/4
1,
si
si
si
si
2
= ¼ +3(x – 2)/4 ó (3x – 5)/4
x≤1
1<x≤2
2<x≤3
x>3
4. A una persona le proponen tirar un dado correcto tres veces, bajo las siguientes condiciones: si
en los tres tiros sale un número mayor que cuatro gana S/. 150, si sólo en dos tiros sale un
número mayor que cuatro gana S/. 20, si sólo sale un número mayor que cuatro no gana ni pierde
pero si en los tres tiros sale un número menor que cinco pierde S/. 50. Calcule la ganancia
esperada. ¿Conviene que participe?
(2,6 puntos)
Experimento aleatorio: Tirar un dado correcto tres veces y apreciar el resultado.
X: N° de tiros con resultado mayor que cuatro. S = sale un número mayor que 4.
RX = { 0, 1, 2, 3 }
P(S) = 1/3
N = no sale un número mayor que 4. P(N) = 2/3
P[X = 0] = P[{NNN}] = 2/3 × 2/3 × 2/3 = 8/27
P[X = 1] = P[{SNN, NSN, NNS}] = 3(1/3 × 2/3 × 2/3) = 12/27
P[X = 2] = P[{SSN, SNS, NSS}] = 3(1/3 × 1/3 × 2/3) = 6/27
P[X = 3] = P[{SSS}] = 1/3 × 1/3 × 1/3 = 1/27
X
0
1
2
3
Y
-50
0
20
150
P[Y = y]
8/27
12/27
6/27
1/27
E(Y) = -50(8/27) + 0(12/27) + 20(6/27) + 150(1/27) = -130/27 ≈ -4,81
∴ No conviene que participe.
EL PROFESOR