Ejercicios de trigonometría. Ecuaciones y fórmulas trigonométricas.

Hoja II
EJERCICIOS DE TRIGONOMETRÍA
1. Sabiendo que
π
2
<α <
3π
2
y que sen α =
3
halla las razones trigonométricas del ángulo 2α , sin
5
usar la calculadora.
2. Los ángulos A, B y C, de un triángulo, cumplen la relación sen B + sen C = cos B + cos C .
Demuéstrese que el triángulo es rectángulo.
Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas:
3. cos 2 x = 1 + 4 sen x
1
2
5. sen ( 2 x + 40º ) + sen ( x + 20º ) = 0
4. sen 2 x − cos2 x =
6. cos 2 x + sen x = 4 sen 2 x
x
2
8. sen 2 x + 2 cos2 x − 2 = 0
7. 4 sen   + 2 cos x = 3
9. cos x + 3 ⋅ sen x = 0
10. sen 2 x = cos 60º
11. tg 2 x = −tgx
12. sen 3x + cos 3x = 2
13. sen 5 x + sen 3x = cos 2 x − cos 6 x
14. sen 2 x ⋅ cos x = 3sen 2 x
15. cos x + sen x =
cos 2 x
1 − sen 2 x
16. cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0
17. sen 4 x − 2 cos2 x + 1 = 0
18. sen x + cos x = cos x ( sen x + cos x )
19. Halla los valores de k para los que la ecuación siguiente tiene solución: sen x − 2 cos x + k = 0
4
2
2
20. Hallar todos los ángulos tales que 2 cos α = 3tg α .
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Hoja II
21. Si x + y + z = π , probar que sen x + sen y + sen z = 4 cos
22. Sea ABC un triángulo tal que sen A =
x
y
z
⋅ cos ⋅ cos
2
2
2
5
5
y sen B =
. Demostrar que B es agudo y calcular sen C
7
13
23. Si cotgx = −2 y sen y = 3cos y , ¿cuánto vale tg 2 x ? ¿y tg ( x + y ) ?
24. Si x , y , z son los ángulos de un triángulo, probar que tg ( x + y ) + tg z = 0 .
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
 sen x + sen y = 2
25. 
cosec x + sec y = 2 2

 sen x ⋅ cos y =
26. 
cos x ⋅ sen y =

3
4
1
4
 sen x + sen y = 1
2 x + 2 y = 180º
27. 
28. Resuélvase el triángulo ABC y hállese su área en los siguientes casos:
I.
C = 60º , a = 1 m. , sen A + sen B =
II.
sen ( A − B ) =
3
2
3
1
, sen ( A + B ) = , a = 5 cm.
2
2
29. Sabiendo que α es un ángulo del primer cuadrante y tal que cos α =
1
π

, calcúlese cos  − α  ,
3
2

 3π

sen 
+ α  y tg (π − α ) .
 2

30. Halla las razones trigonométricas del ángulo que forman las tangentes a una circunferencia desde un
punto que dista de su centro tres veces su radio.
31. Sea a = sen 10º y b = sen 15º . En función de a y de b , hállense sen 5º , sen 25º , sen 100º y
sen 350º .
32. Sabiendo que tg α = 2 y que 4 sen α ⋅ cos β = cos (α − β ) , hallar tg β .
33. Resolver la ecuación sen ax ⋅ sen bx = sen cx ⋅ sen dx , siendo a , b , c , d positivos y en progresión
aritmética.
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