[Problema: Diseño de redes de adelanto y atraso de fase]

Diseño mediante Redes de Adelanto y
Atraso de Fase
Sistemas Automáticos
20 de mayo de 2004
Enunciado:
Un proceso industrial dado tiene la siguiente función de transferencia:
G(s) =
20
(s + 1)(s + 2)(s + 5)
Se desea diseñar un sistema de control con realimentación unitaria para cumplir
erpp ≤ 10%
MF ≥ 40o
1
Red de adelanto de fase
Especificaciones en régimen permanente
El error en régimen permanente tiene que ser menor del 10%, por tanto,
erpp ≤ 10% →
1
≤ 0.1 → Kp ≥ 9 → Kreg ≥ 4.5
1 + Kp
es decir, dado que la ganancia estática G(0) del sistema es 2, debemos
multiplicar la ganancia actual en un factor Kreg = 4.5 para poder tener
una ganancia en bucle abierto en continua de 9.
Margen de fase:
Aumentar la ganancia, aunque suele hacer al sistema más rápido (incremento en el ancho de banda) habitualmente trae aparejado un deterioro
en la dinámica (disminución del MF). En efecto, si dibujamos la curva
de Kreg G(s), vemos que el margen de fase es muy escaso (unos 7o ).
Hasta 40o aún faltan 33o . Como debemos añadir un margen de seguridad de 5o a 12o aproximadamente, podemos redondear el aporte
requerido a 40o (margen de seguridad 7o ). Para tener un aporte de 40o
se requiere
α=
1 − sin 40o
1 − 0.6428
=
= 0.2174 → (redondeando) → α = 0.2
1 + sin 40o
1 + 0.6428
El valor de α obtenido corresponde a la relación entre polo y cero
c
α=
p
El regulador final tendrá la forma
R(s) = Kreg ·
p s+c
·
c s+p
cuya ganancia estática sigue siendo Kreg pues el término encerrado
entre paréntesis tiene ganancia estática 1. En la figura adjunta se
puede ver la anatomı́a en frecuencia de una red de adelanto del tipo
P D(s) =
p s+c
1 s+c
Ts + 1
·
= ·
=
c s+p
α s+p
αT s + 1
Figura 1: Anatomı́a en frecuencia de una red de adelanto de fase.
Ya tenemos la relación entre p y c, es decir, a cuanta distancia deben
estar polo y cero para aportar 40o . Falta determinar la posición.
La máxima aportación de fase ψmax se produce a la frecuencia correspondiente a la media geométrica de p y c
√
ωψmax = p · c
A dicha frecuencia, el aporte de módulo es
r p
= 20 log10 |2.23612| ≈ 7dB
20 log10 c
Para que el máximo aporte de fase ψmax se produzca exactamente en
la nueva frecuencia de cruce de ganancia ωcg deberemos hacer coincidir
el punto en el que el Kreg G(s) tiene −7dB con la frecuencia de máximo
aporte de fase. Yendo al Bode, puede comprobarse que la frecuencia a
la que Kreg G(s) tiene ganancia −7dB es
ω−7dB = 6rads/s
Esta frecuencia define la posición en la que debemos situar la frecuencia
media (geométrica) de la red de adelanto. Por tanto
p = 6 · 2.2361 = 13.41 rads/s
6
c =
= 2.68 rads/s
2.2361
El regulador, por tanto quedará
R(s) = 4.5 · 5 ·
s + 2.68
s + 13.41
Comprobación
Trazando mediante el computador el diagrama de Bode real, comprobamos
que el margen de fase es de 32.2o , ligeramente inferior al especificado. Esto
puede corregirse incrementando, por ejemplo el margen de fase aportado,
lo que nos darı́a un regulador con un α más pequeña, es decir, una acción
diferencial más pura.
El ciclo completo requiere iterar sobre el diseño original, visualizando
también, mediante simulación las respuestas al escalón, acción de control,
etc. hasta conseguir un diseño satisfactorio.
Diagrama de Bode
20
G
G.Kreg
0
Amplitud (dB)
−20
−40
−60
−80
−100
−2
10
−1
10
0
10
1
2
10
10
0
G
G.Kreg
Fase (º)
−90
−180
−270
−2
10
−1
10
0
10
ω (rads/seg)
1
10
2
10
Figura 2: Bode (asintótico) de la función de bucle abierto para el sistema
original G(jω) y del sistema original con la ganancia requerida, Kreg G(jω)
Diagrama de Bode
20
G
Kreg*G
C*G
0
Amplitud (dB)
−20
−40
−60
−80
−100
−2
10
−1
10
0
10
1
2
10
10
0
G
Kreg*G
C*G
Fase (º)
−90
−180
−270
−2
10
−1
10
0
10
ω (rads/seg)
1
10
2
10
Figura 3: Bode (asintótico) en bucle abierto del sistema original G(jω), sistema con ganancia pura Kreg G(jω), y sistema con la red de adelanto diseñada
Kreg G(jω)
Bode Diagram
20
0
Magnitude (dB)
−20
−40
−60
−80
−100
0
−45
Phase (deg)
−90
System: untitled2
Phase Margin (deg): 32.2
Delay Margin (sec): 0.118
At frequency (rad/sec): 4.75
Closed Loop Stable? Yes
−135
System: untitled1
Phase Margin (deg): 10.5
Delay Margin (sec): 0.0524
At frequency (rad/sec): 3.51
Closed Loop Stable? Yes
−180
−225
−270
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
Figura 4: Bode (reales) en bucle abierto del sistema original G(jω), sistema
con ganancia pura Kreg G(jω), y sistema con la red de adelanto diseñada
Kreg G(jω)
Root Locus Editor (C)
Open−Loop Bode Editor (C)
30
50
0
Magnitude (dB)
20
10
−50
G.M.: 9.49 dB
Freq: 8.59 rad/sec
Stable loop
0
−150
0
−10
Phase (deg)
Imag Axis
−100
−20
−90
−180
P.M.: 32.3 deg
Freq: 4.75 rad/sec
−30
−40
−270
−30
−20
−10
Real Axis
0
10
−2
10
Figura 5: Lugar de las Raı́ces
0
10
2
10
Frequency (rad/sec)
4
10
System: Closed Loop: r to y
I/O: r to y
Peak amplitude: 1.3
Overshoot (%): 44.7
At time (sec): 0.656
1.4
Step Response
1.2
1
System: Closed Loop: r to y
I/O: r to y
Final Value: 0.9
Amplitude
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Time (sec)
Figura 6: Respuesta al escalón unitario
3.5
4
4.5
Red de atraso de fase
Especificaciones en régimen permanente
El error en régimen permanente tiene que ser menor del 10%, por tanto,
erpp ≤ 10% →
1
≤ 0.1 → Kp ≥ 9 → Kreg ≥ 4.5
1 + Kp
es decir, dado que la ganancia estática G(0) del sistema es 2, debemos
multiplicar la ganancia actual en un factor Kreg = 4.5 para poder tener
una ganancia en bucle abierto en continua de 9.
Margen de fase:
• Para cumplir el margen de fase es necesario determinar la frecuencia
ω1 a la que la fase es la deseada. Tomando un margen de fase holgado
angulo a aportar
z }| {
−180 + MF + Ms
o
siendo Ms un margen de seguridad entre 5o y 12o . Tomamos, por
ejemplo, como ángulo a aportar unos 10o más de lo necesario, es decir,
50o . Buscando en el dibujo la frecuencia a la que la fase es de unos
-130o , encontramos que
ω1 ≈ 2 rads/s
La ganancia a dicha frecuencia podemos verla en el Bode del sistema
Kreg · G(s)
20 log10 |Kreg · G(jω1 )| ≈ 13 dB
Estos 13dB corresponden a una ganancia de 4.47 en p.u. La red de
atraso de fase tiene que:
– por un lado no modificar la fase a dicha frecuencia, cuyo valor es
el que deseábamos al principio (50o ). Para esto, hacemos que el
cero esté una década antes de ω1
c = 0.1ω1 = 0.2
– por otro, reducir la ganancia en esa cantidad para que ω1 sea la
nueva frecuencia de cruce de ganancia. Ello requiere que c/p =
4.47
p = c/4.47 = 0.2/4.47 = 0.0447
quedando el regulador
0.0447 s + 0.2
s + 0.2
p s+c
CP I (s) = Kreg ·
·
= 4.5·
·
= 1.00·
c s+p
0.2 s + 0.0447
s + 0.0447
donde la parte encerrada entre paréntesis tiene ganancia estática 1.
En definitiva, este regulador eleva la ganancia estática en 4.5 a bajas
frecuencias, y consigue “desplazar” la ωcg hacia bajas frecuencias sin
tocar la fase, con lo que el nuevo cruce se produce a una fase mayor
que antes, produciendo un incremento en el MF. El precio a pagar es
un menor ancho de banda (menor ωcg )
Diagrama de Bode
20
13 dB
G
G*K
reg
G*CPI
CPI
Amplitud (dB)
0
−20
−40
−60
−80
−100
−3
10
−2
10
−1
0
10 w1 = 2
10
1
2
10
10
0
G
G*Kreg
G*CPI
CPI
Fase (º)
−90
−130º
−180
−270
−3
10
−2
10
−1
10
0
ω (rads/seg)
10
w1 = 2
1
10
2
10
Figura 7: Bode (asintótico) en bucle abierto del sistema original G(jω),
sistema con ganancia pura Kreg G(jω), sistema con la red de atraso de fase
diseñada CP I (jω)G(jω) y del propio compensador CP I (jω)
Root Locus Editor (C)
Open−Loop Bode Editor (C)
10
50
8
Magnitude (dB)
0
6
4
Imag Axis
2
−50
−100
G.M.: 15.3 dB
Freq: 3.98 rad/sec
Stable loop
0
−150
0
−2
Phase (deg)
−4
−6
−90
−180
−8
P.M.: 72.8 deg
Freq: 1.31 rad/sec
−10
−270
−15
−10
−5
Real Axis
0
−4
10
−2
10
0
10
Frequency (rad/sec)
2
10
4
10
Figura 8: Situación en el Lugar de las Raı́ces. Nótese que el MF real es
mayor que el especificado. Esto se debe a la diferencia entre los trazados
asintótico y real.
Bode (Amplitudes)
20
0
−20
−40
−60
−80
−100
−3
10
−2
10
−1
0
10
10
1
10
2
10
Bode (Fases)
0
−50
−100
−150
−200
−250
−300
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
Figura 9: Comparación entre los trazados asintótico y real. Nótese que el
real tiene una frecuencia de cruce de ganancia menor, lo que origina un MF
mayor de lo esperado