guiaestudior03 repasocalculointegral1 1erparcial calculo2 1612 v1

Facultad de Ingenierías y Arquitectura (Ciencias Físico – Matemáticas)
Cálculo II c/Geometría Analítica (MAT202), Secc.1612
1er Trimestre, 1er Semestre 2016; 1er Parcial
Documento Elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
REPASO DE CÁLCULO I INTEGRAL
Repaso General sobre Métodos de Integración Indefinida
Guía Complementaria No.03
Como se ha visto, claramente la integración es más desafiante que la derivación. Para hallar la
derivada de una función, resulta evidente cual fórmula de derivación se debe aplicar. Pero podría no
ser obvio con la técnica que se debe usar para integrar una función dada.
Hasta ahora se han aplicado técnicas individuales en cada sección, bien definida la integración por
parte o el cambio trigonométrico. Pero éste capítulo presenta una colección de diversas integrales en
orden aleatorio y la dificultad principal es reconocer que técnica o fórmula usar. Ninguna regla
invariable se puede dar en cuanto a qué método se aplica en una determinada situación, pero se da
cierta orientación sobre la estrategia que podría resultar útil.
Un prerrequisito para la selección de estrategia es conocer las fórmulas básicas de integración. En la
siguiente tabla se han reunido las integrales de lista básica (formulario de James Stewart) junto con
varias fórmulas adicionales que se han aprendido posteriormente. La mayor parte se deben
memorizar para entender el esqueleto conceptual de los métodos estudiados.
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Una vez que se cuenta con éstas fórmulas de integración básica, si no se ve de inmediato cómo
proceder a resolver una determinada integral, se podría probar la siguiente estrategia de tres pasos:
1. Simplifique el integrando si es posible.
A veces el uso de operaciones algebraicas o identidades trigonométricas simplifica el
integrando y hace evidente el método de integración. A continuación se dan algunos ejemplos:


x 1

x dx 


x  x dx
tan  
sen  
2
 sec 2   d   cos  cos d
sen 2 d
2
sen 2 x   2sen x  cos x   cos 2 x  dx
  sen   cos  d  1
 sen x   cos x 
2

  1  2sen x  cos x dx
dx 

2. Busque una sustitución obvia.
Intente hallar alguna función u = g(x) en el integrando cuya diferencial du = g’(x) también
aparece, además de un factor constante.
Por ejemplo, en la integral
x
 x 2  1 dx
Se observa que si u = x2 – 1, en seguida du = 2xdx. Por lo tanto, se usa la sustitución u = x2 –
1 en lugar del método de fracciones parciales.
3. Clasifique el integrando de acuerdo con su forma. Si los pasos 1 y 2 no han llevado a la
solución, en tal caso se echa un vistazo a la forma del integrando f(x).
a) Funciones Trigonométricas. Si f(x) es un producto de potencias de sen(x) y cos(x), de
tan(x) y sec(x), o de cot(x) y csc(x), después se usan las sustituciones recomendadas en
la teoría de dicho método.
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b) Funciones Racionales. Si f(x) es una función racional, se usa el procedimiento relacionado
con Fracciones Parciales.
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c) Integración Por Partes.
Si f(x) en un producto de una potencia de x (o un polinomio) y una función trascendental
(como una función trigonométrica, exponencial o logarítmica), por lo tanto se prueba la
integración por partes, y se eligen “u” y “dv” de acuerdo a las recomendaciones
comentadas durante el desarrollo de las clases.
Como por ejemplo, para elegir “u” podemos tomar como referencia no obligatoria, la regla
empírica de prioridad como se muestra a continuación:
I – Inversas Trigonométricas
L – Logarítmicas
A – Algebraicas
T – Trigonométricas
E – Exponenciales
d) Radicales.
Los tipos particulares de sustituciones se recomiendan cuando aparecen ciertos radicales,
como ser:

 x 2  a 2 dx
Y aplicando los siguientes cambios de variable:
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A.-) En los problemas de 1 al 24, determine la expresión de la antiderivada requerida, aplicando el
método estudiado que corresponda de acuerdo a su criterio.
1.-)

2.-)

3.-)

4.-)
5.-)


1
x  1
x 2  3x  2
2  tan x sec
2
2
1  tan x 
3
lnx 
x  4  ln x 
2
10 x  10 2 x
1  10 2 x
4 x
x  dx
dx
dx
 24 x  27
7.-)
8.-)

3
3
 tan 3x  sec 3x dx

3
x  6 x  12 x  6
x 3  6 x 2  12 x  8
x 
x

3
2 dx
a2 x 2  b 2 dx
cos 2 x   cos 2 x   sen 2 x   1
dx
3  2 cos x   2sen x 
x5
 x 3  1x 3  8 dx
 xarcsen 2 x
2
dx
 e x  2e 2 x
15.-)

16.-)
 arcsen  x dx
dx
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2
11.-)
14.-)
 lnx  x  1x  1dx
3
 sen 4 x  
2
2
tan
10.-)
13.-)
dx
6.-) 
3 cos x   4 senx 
4
9.-)
12.-)
dx
2
dx
 1  6e x  3e 2 x
dx
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4 x 4  2 x 3  x 2  3x  1
17.-)

18.-)
 7  5sen x   cos 2 x  dx
19.-)
20.-)
3
2
x  x  x 1
dx

22.-)
 cot
sen 2 x   cos x 

 
 
ln e 2  x ln e 2  1
 1  2 x  4 x 2 


4
2
3
x  2 x  3x  4
dx
 x  12 x 3  x 2  2 
dx
xarcsen x 
21.-)
23.-)
24.-)
 1  x 2 


3
3
dx
x 3 csc x 3 dx
4
x4
 x 4  2x 2  1 dx
sen 2 x   
 senx   sen 3 x  dx
Bibliografía Utilizada en el Desarrollo de ésta Guía Complementaria de Estudio
1. Purcell, E. (2009). Cálculo 1, 1ª ed. México. Pearson Educación.
2. Sánchez, G.; Castro, J. (2001). Cálculo Integral (Ejercicios y Problemas), 1ª ed. Instituto Tecnológico y de
Estudios Superiores de Monterrey (ITESM). México. Thomson Editores
3. Stewart, J. (2002). Cálculo, Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. Thomson Editores.
4. Zill, D. (1994). Cálculo con Geometría Analítica, 1ª ed. México. Grupo Editorial Iberoamericana.
5. Stewart, J. (2008). Cálculo de una Variable, Trascendentes Tempranas, 6ª ed. México. Cengage Learning
Editores.
6. Edwards, H.; Penney, D. (2008). Cálculo con Trascendentes Tempranas, 7ª ed. México. Pearson Educación.
7. Thomas, G. (2010). Cálculo Una Variable, 12ª ed. México. Pearson Educación.
8. Larson, R. (2010). Cálculo 1 de Una Variable, 9ª ed. México. McGraw-Hill Educación.
9. Zill, D. (2011). Cálculo de Una Variable. Trascendentes Tempranas, 4ª ed. México. McGraw-Hill Educación.
10. Cálculo Diferencial e Integral. Ingeniería Matemática; Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Universidad de
Chile. Santiago de Chile.
11. Carrasco, P.; Torres, G. (2008). Matemáticas IV – Cálculo Integral, 1ª ed. México. CengageLearning Editores.
12. Cortes, I. (1978). Cálculo Elemental. Universidad Nacional Experimental de Táchira. Táchira, República
Bolivariana de Venezuela.
13. Rojas, D. Matemáticas II: Ingeniería Mecánica y Química. Instituto Universitario de Tecnología “José Antonio
Anzoátegui”. República Bolivariana de Venezuela.
14. Universidad de Santiago de Chile, (2001-2010). Pruebas acumulativas y exámenes parciales Cálculo 10001.
Santiago de Chile, Chile.
15. Jiménez, B. Cruz, L. Meza, M. (2009). Elementos de Cálculo Integral. 1ª ed. Instituto Tecnológico y de Estudios
Superiores de Monterrey (ITESM). México. Limusa, Grupo Noriega Editores.
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Repaso Métodos de Integración Indefinida
Guía Complementaria No.03
Respuestas De Todos Los Ejercicios
Repaso General sobre Métodos de Integración
1. R/=  2
x3
2
2
2
C
2
2
x  3x  2
x  3x  2
1
2. R/= ln 1  tanx  
ln 2 x   4  C
3. R/=
4. R/=
2
 2 tanx   1 
arctan 
C
3
3


1
ln 10 x  1  C
ln10 
5. R/= 
1
x 3
18 x 2  6 x  27
C
4
 
 
x
1 3 tan 2  9
C
6. R/=  ln
5 3 tan x  1
2
7. R/=
x2
8
11


C
2 x  2 x  2 2
8. R/= x ln x 
x2  1  x2  1  C
9. R/=
1
1
sec 3 3x  
sec 3x   C
9
3
10. R/=
5
9
2
2
tan 2 x   tan 2 x   C
5
9
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
b 5  1  a 2 x 2  b 2
11. R/=

b
a 4  3 


x
2
3
2

 2 2
  1 a x b

5 
b





5


C



12. R/= 2 arctan tan   2   C

13. R/= 

1
8
1
8
ln x  1 
ln x  2 
ln x 2  x  1 
ln x 2  2 x  4  C
21
21
21
21
 
1
x2
1  4x 4  C
arcsen 2x 2 
14. R/=
4
2






2
2
3 ex  1  4
2
1
3 x
x
3 e 1  4 
ln
e 1 
C
15. R/=
3
2
2
3
16. R/= xarcsen
 x   12 arcsen 1  x   12
2
17. R/= 2x  6 x 
1 x x C
31
3
5
ln x  1 
 ln x  1  C
2x  1 4
4
18. R/= 5 ln 3  senx   3 ln 2  senx   C
19. R/= 
20. R/=
21. R/=

1
2 4x1

2
4
3

4

4x1

2 4x1
4

2
4

3
C
4
106
9
1
3
1
19
83
ln x  1 



ln x 2  2 x  2 
arctanx  1  C
2
125
25 x  1 5 x  1
250
125
arcsenx 
22. R/= 
1  x2

1 1x
C
ln
2 1x
3
x 1
x
cot 4    cot 6    C
4
3 2
3
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23. R/= x 
3
x
arctan x  
C
2
2
2 x 1


 
 
tan2 x  3  8
1
2
24. R/=
ln
C
8 tan2 x  3  8
2
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