Consumidores

286. Microeconomía II
Cátedra Prof. Enrique Bour
Facultad de Ciencias Económicas
Universidad de Buenos Aires
Guía de Trabajos Prácticos
II. Teoría del Consumidor
EJERCICIO 1
Considere a un individuo que maximiza la siguiente función de utilidad:
u (x 1, x 2 ) = x 1a x 21- a ,
0< a < 1 ,
p1, p2 > 0 .
sujeto a su restricción de presupuesto: m = p1x 1 + p2x 2 ,
a. Derive las demandas marshallianas de ambos bienes: x 1 ( p, m ), x 2 ( p, m ) .
b. ¿Cuál es el grado de homogeneidad de la función de utilidad? ¿Qué implica esto sobre el grado de
homogeneidad de las demandas?
c. Calcule el grado de homogeneidad de las demandas
d. Vea que la utilidad es cóncava, ¿Qué implica esto económicamente? ¿Qué implica esto sobre las
curvas de indiferencia?
e. Encuentre la función de utilidad indirecta del consumidor: v( p, m ) .
f. Vea que se cumplen las cuatro propiedades de las funciones indirectas de utilidad, i.e.
homogeneidad de grado 0, estrictamente creciente en m, y no decreciente en p, cuasi-convexidad,
y continuidad.
g. Compruebe que vale la identidad de Roy.
EJERCICIO 2
Considere el caso del mismo consumidor minimizando su gasto:
m (x 1, x 2 ) = p1x 1 + p2x 2 ,
p1, p2 > 0 ,
a
1- a
.
sujeto a cierto nivel predeterminado de utilidad u = x 1 x 2
a. Encuentre las funciones de demandas compensadas: h1 ( p, u ), h2 ( p, u ) . Además de la
minimización del presupuesto, ¿Existe otra forma de obtener esta función?
b. Encuentre la función de gasto: e( p, u ) . Además de la minimización del presupuesto
¿Existe otra forma de obtener esta función?
c. Vea que si (x 1* , x 2* ) es el argumento que maximiza la utilidad dado m , entonces también será el
argumento que minimiza el gasto, dado u = u (x 1* , x 2* ) . Además vea que el valor óptimo del
problema de minimización es m . Es decir se verifican la siguiente identidad.
x( p, m ) = h( p, v( p, m )) .
d. Vea que si (x 1* , x 2* ) es el argumento que minimiza el gasto dado u , entonces también será el
argumento que maximiza la utilidad dado m = e( p, u ) . Además el valor de utilidad máximo será
u . Es decir se verifica la siguiente identidad: h ( p, u ) = x ( p, e( p, u )),
EJERCICIO 3
Dada la siguiente función de utilidad cuasi-lineal: u (x , y ) = x + 0.5 ln(y ) . Obtenga las demandas
marshallianas y las compensadas. ¿Qué se puede decir de ellas?
EJERCICIO 4
Un consumidor tiene la siguiente función de utilidad: u (x , y ) = u (x ) + y . El bien x es discreto, los
py = 1
únicos niveles de consumo son x = 0 y x = 1 . Además U (0) = 0
a. ¿Qué tipo de preferencias tiene el consumidor?
b. ¿Cuál es el valor px , tal que si px es estrictamente menor a ese valor el consumidor elegirá
decididamente x = 1 ?
EJERCICIO 5
Si las preferencias pueden ser representadas por las siguientes funciones de utilidad y la restricción de
riqueza usual:
u 1 ( x 1, x 2 ) =
u 2 ( x 1, x 2 ) =
u 3 (x 1, x 2 ) =
u 4 ( x 1, x 2 ) =
x 11/ 4x 2 3 / 4
0.4 ln x 1 + 0.6 ln x 2
x1 + x2
Min {x 1, x 2 }
u5 ( x1 , x2 ) = x1 x22
u6 ( x1 , x2 ) = ( x1 + 2)0.5 x20.5 (Pista: no suponga soluciones interiores)
En cada caso:
1
a.
Hallar demandas marshallianas y hicksianas, función de gasto y de utilidad indirecta.
EJERCICIO 6
a. Verificar que las preferencias lexicográficas son completas, transitivas, estrictamente monótonas y
estrictamente convexas.
b. Verifique que la relación: xry ↔ x es indiferente a y se trata de una relación de equivalencia.
Describa la clase de equivalencia del cesto x ¿Como podemos particionar al conjunto de
consumo?
c. Decida si la relación xry ↔ x f y es una relación de orden , decida si es de preorden.
d. En el primer período px = 2 y py = 1, y el consumidor compra 11 unidades de x y 8 unidades de y.
En el segundo período px = 1 and py = 2 y el consumo es de 10 unidades para el bien x y 10 para
el bien y. Probar que este set no es consistente con la maximización racional de la utilidad de
preferencias bien comportadas.
EJERCICIO 7
α
β
Demostrar que la función de utilidad U = Aq1 q 2 es el resultado de una transformación monótona
α
de W = q1 β q 2 (donde A, α , β > 0 ) y viceversa.
EJERCICIO 8
1, 5
Sea la función de utilidad de un consumidor U = q1 q 2 y su restricción presupuestaria
3q1 + 4q 2 = 100
a. Hallar la cesta óptima de consumo.
6
4
b. Si U = q1 q 2 + 1,5 ln q1 + ln q1 (con igual restricción presupuestaria), demostrar que la cesta de
consumo óptima es igual que en el punto (a). ¿Por qué ocurre esto?
EJERCICIO 9
El lugar geométrico de los puntos de tangencia entre las rectas de presupuesto -dados p1 y p2, y
dejando variar la renta- se llama línea de expansión de la renta o curva de Engel. Demostrar que si
γ
U = q1 q 2 (para γ>0) la curva de Engel es una línea recta.
EJERCICIO 10
Construya la función indirecta de utilidad a partir de la función directa U = α ln q1 + q 2 . Utilice luego
la identidad de Roy para hallar las demandas óptimas y compruebe la igualdad de este resultado con el
obtenido del proceso de maximización.
Ejercicios extraídos de la Guía de Microeconomía del Prof. L eandro Gorno
EJERCICIO 11
Laura consume x kilos de pan e y litros de cerveza, que consigue a precios p x y py , respectivamente.
Su ingreso es dem pesos. Sus preferencias se pueden representar por medio de la función de utilidad:
u (x ,y ) = min { x 2, y }
a. Dibuje tres curvas de indiferencia de Laura.
b. Encuentre la demanda no compensada de Laura.
c. Encuentre la demanda compensada de Laura.
EJERCICIO 12
Dada la función de utilidad u(x , y ) = max { x , y }
a. Grafique las preferencias subyacentes.
b. Obtenga la demanda no compensada y la función de utilidad indirecta.
c. Asumiendo que p x > p y, determine la senda de expansión del ingreso y
compute la elasticidad ingreso de la demanda del bien x .
d. Obtenga la demanda compensada y la función de gasto.
2
14) [***, R] Juan consume dos mercancías. Sus preferencias (sobre
representar con la función de utilidad u(x , y ) = x × max { y,1 } .
2
+
) se pueden
a. Grafique cuidadosamente las preferencias de Juan.
b. Determine gráficamente la cantidad demandada cuando m = px = py = 1 .
EJERCICIO 13
Juan consume dos mercancías. Sus preferencias (sobre 2+) se pueden representar con
la función de utilidad u(x , y ) = x × max { y,1 } .
a. Grafique cuidadosamente las preferencias de Juan.
b. Determine gráficamente la cantidad demandada cuando m = p x = p y= 1 .
c. Grafique la senda de expansión del ingreso cuando los precios son iguales.
EJERCICIO 14
(E. Kawamura) Lucrecia gusta de consumir pollo y limón (que consume sólo con el pollo).
Denotando con x 1 a los kilos de pollo y con x 2 a los kilos de limón
que consume en un mes, entonces sus preferencias pueden representarse por la
función de utilidad u (x1 , x 2)= x1 + min { x 1, x 2 } . Lucrecia recibe un ingreso de m
pesos y los precios del kilo pollo y de limón son p1 y p 2 , respectivamente.
a. Dibuje dos curvas de indiferencia (por ejemplo, para u = 1 y u = 2 .
Interpretar (no más de dos renglones)
b. ¿Cuál es la TMS medido como el limón que Lucrecia está dispuesta a
sacrificar por cada kilo de pollo adicional y mantenerse indiferente?
c. Supongamos que p1/ p 2< 1 . ¿Cual es la función de demanda?
d. Supongamos que p1/ p 2> 1 . ¿Cual es la función de demanda?
e. Supongamos que p1/ p 2 = 1 . ¿Puede decir cuál es el consumo óptimo de
Lucrecia?
f. ¿Podemos hablar de función de demanda en este caso?
EJERCICIO 15
Diana tiene preferencias racionales sobre el consumo de dos mercancías (en
representables por una función de utilidad. Su función de gasto es
e(px , py , u ) = (px + k × py ) × u , donde k es una constante positiva.
a.
b.
c.
d.
2
+
),
Compute su función de utilidad indirecta.
Compute su demanda no compensada.
Compute su demanda compensada.
¿Cómo son los efectos sustitución propios? ¿Por qué?
EJERCICIO 16
Diego tiene preferencias racionale s sobre el consumo de dos mercancías (en 2+ ),
representables por una función de utilidad. Su función de utilidad indirecta
está dada por V (px , py , m ) = m / px
a. Compute la demanda no compensada de Diego.
b. Compute su función de gasto.
c. Compute la demanda compensada de Diego.
d. Encuentre una relación de preferencias consistente con la función de utilidad
indirecta dada.
3
Ejercicios extraídos de la Guía de Microeconomía del Prof. Sebastián Auguste
EJERCICIO 17
1=10 9=10
Considere la siguiente función de utilidad u(x1 ; x2 ) = x1 x2 : Suponga
que el ingreso del consumidor es de 100 unidades monetarias y los precios iniciales son: p01 = 1 y p02 = 1:
(a) Calcule las variaciones compensatoria, equivalente y del excedente del
consumidor si el precio del primer bien sube una unidad.
(b) ¿Cómo se modi…can estas medidas si ahora el precio del primer bien baja
de 2 hasta 1 (el precio del segundo bien se mantiene constante en 1)?
2. Suponga una economía de n agentes y dos bienes, uno normal y otro inferior. Para el individuo i las preferencias son estrictamente convexas. Partiendo
de una situación inicial de equilibrio parcial en cada uno de los mercados, donde
0
0
; se pide:
el vector de precios de equilibrio es p0 = pp10 >
2
0
(a) Gra…car en un mismo esquema las demandas marshallianas y hicksianas
de cada uno de los bienes.
(b) Marcar el excedente del consumidor en ambos casos.
3. Demuestre que si un bien no tiene efecto ingreso, las VC y VE son iguales.
4. Considere un cambio de precios de p0 =
p01
p11
1
a
p
=
donde p1
p02
p12
p0
y solo el precio del bien uno cambia. Muestre que si 1 es un bien inferior,
V C p0 ; p1 ; w > V E(P 0 ; P 1 ; w). Interprete geométricamente.
EJERCICIO 18
5. Considere el cambio en el vector de precios de dos bienes de p0 =
p01
a
p02
p11
:
p12
Exprese la VE y la VC para el cambio en ambos bienes en términos de la
suma de integrales bajo las correspondientes curvas de demandas hicksianas.
p1 =
Ejercicio del Prof. Enrique Kawamura con muchas modificaciones
EJERCICIO 19
Un consumidor tiene preferencias
representables a través de la siguiente función de utilidad:
U ( x1 , x2 ) = Mín {2 x1 + 1, x1 + x2 , 2 x2 + 1}
a) Lo primero que debe empezar a hacer es graficar las curvas de nivel (comente
conjunto de indiferencia). Para ello, tome un nivel de utilidad de 10:
Mín {2 x1 + 1, x1 + x2 , 2 x2 + 1} = 10 = U
Se espero que usted esté de acuerdo, en que para que ello suceda, se deben cumplir
simultáneamente tres condiciones (comente, por qué simultáneamente):
2 x1 + 1 = 10 ∧ x1 + x2 = 10 ∧ (?)
¿Cuál es la tercera condición que debe cumplirse?
El siguiente paso, es expresar las tres condiciones anteriores con mayor e igual:
2 x1 + 1 ≥ 10 ∧ x1 + x2 ≥ 10 ∧ (?)
Refrescando sus conocimientos de Algebra y de programación lineal, grafique las
tres condiciones. ¿Puede ser que le quede una recta horizontal, una vertical y otra
con cierta pendiente (comente)?. ¿Cuál es la zona en la cual se cumplen
simultáneamente las tres condiciones (nivel mayor e igual a diez)?. Sombree con
algún color dicha zona.
Una vez realizado el sombreado, tome la frontera de dicha zona. ¿Qué es dicha
frontera?
b) Comente y enuncie formalmente insaciabilidad local. Estas preferencias: ¿Cumplen
dicho supuesto? En particular, ¿cuáles son los axiomas de deseabilidad que la
cumplen y cuáles no?
c) Respecto de los axiomas de convexidad, ¿cuáles son satisfechos por este tipo de
preferencias?
d) Comente continuidad de las preferencias. Teniendo en cuenta que estas
preferencias son continuas, ¿es casualidad que puedan ser representadas a través de
una función de utilidad?
e) Ahora se sabe que el consumidor tiene una riqueza
que
w = 10 . También se conoce
p1 = 2 ∧ p2 = 2 . Comente conjunto presupuestario y grafíquelo.
f) El cumplimiento de la condición de optimalidad (TMS igual a cociente de precios),
¿Es una condición necesaria para la maximización de la utilidad del consumidor?.
g) Encuentre las demandas marshallianas, teniendo en cuenta los datos del inciso e.
¿Es satisfecha la condición de optimalidad? ¿Se puede hablar de funciones?
h) Ahora encuentre las demandas marshallianas, teniendo en cuenta lo siguiente:
w = 14.5 , p1 = 2 ∧ p2 = 1 . ¿Se cumple la condición de optimalidad? ¿Se puede hablar
de funciones?
i) Teniendo en cuenta que el bien uno se ha encarecido en términos relativos, la
variación de la renta del consumidor: ¿es equivalente o compensatoria?
Ejercicio del Prof. Federico Weishellbaum (con algunas modificaciones)
EJERCICIO 20
Un consumidor tiene la siguiente función de utilidad:
U( ,
) = Máx (a , a
) +Mín ( ,
)
a) Encuentre las demandas Marshallianas cuando a=1.
b) Encuentre las demandas compensadas cuando a=1
c) Encuentre la función de gasto mínimo cuando a=0