Guía de Trabajos Prácticos (1) - Consumidores

286. Microeconomía II
Cátedra Prof. Enrique Bour
Facultad de Ciencias Económicas
Universidad de Buenos Aires
Guía de Trabajos Prácticos
1.0 Consumidores
1.1. Relaciones de Preferencias.
1. Probar que si
f
%
es racional, entonces, ~ y
f
son transitivas.
2. Probar que si X es un conjunto finito y la relación de preferencias
definida en X es racional, entonces existe un máximo. ¿Es único?
3. Probar que si f:R
es estrictamente creciente y u: f: X
función de utilidad representando las preferencias
v: X
f
%
es una
f , entonces, la función
%
donde v = fou es una función de utilidad que representa la
misma relación de preferencias
f.
%
4. Considere la relación de preferencias racional f . Muestre que si
%
u ( x) = u ( y ) implica x~y, y si u ( x) > u ( y ) implica x f y , entonces u (•) es una
función de utilidad que representa a
5. Pruebe que si
sobre
X
es finito y
f
%
f.
%
es una relación de preferencias racional
X , existe una función de utilidad u: f: X
que representa
6. Analizar si las funciones de utilidad lineales (sustitutos perfectos),
Leontief (complementarios perfectos), Cobb- Douglas y CES son a)
Homogéneas b) Homotéticas, c) Convexas y d) Monótonas.
f.
%
7. Considere las preferencias definidas en por ( x1 , x2 ) f ( y1 , y2 ) si
x1 + x2 < y1 + y2 . ¿Son estas preferencias monótonas?, ¿Satisfacen el supuesto
de insaciabilidad local? Si son los dos únicos bienes de consumo y los
Guía de Trabajos Prácticos elaborada por Diego Hernán Alvarez, para el curso de Microeconomía II, a cargo del Prof. Enrique A. Bour. Página 1 precios a los que se enfrenta el consumidor son todos positivos, ¿gastará el
consumidor toda su renta? Explique su respuesta.
8. Verificar que las preferencias lexicográficas son completas, transitivas,
estrictamente monótonas y estrictamente convexas.
9. Muestre que si la función de utilidad es estrictamente cóncava y C 2 en el
problema del consumidor, los precios son mayores que cero ( y acotados
superiormente) para todos los bienes, y el ingreso I < ∞ , entonces las
demandas marshallianas serán diferenciables.
1.2. Problema de Maximización de la Utilidad y Minimización del Gasto.
10. (Ejercicio de repaso de Microeconomía I) Considere a un individuo que
maximiza la siguiente función de utilidad:
u ( x1 , x2 ) = x1α .x12−α
0 <α <1
Sujeto a su restricción de presupuesto:
w = p1.x1 + p2 .x2
p1 , p2 > 0
a) Derive las demandas marshallianas de ambos bienes x1 ( p, w), x2 ( p, w) .
b) ¿Cuál es el grado de homogeneidad de la función de utilidad? ¿Qué
implica esto sobre el grado de homogeneidad de las demandas?
c) Calcule el grado de homogeneidad de las demandas.
d) ¿Cuál es la implicancia económica de la concavidad de la función de
utilidad? ¿Qué implica sobre las curvas de indiferencia?
e) Encuentra la función de utilidad indirecta del consumidor, v( p, w)
f) Verifique que la función indirecta de utilidad es homogénea de grado
cero (¿Por qué?), estrictamente creciente en el nivel de renta, y no
decreciente en el nivel de precios.
g) Compruebe que vale la identidad de Roy.
h) Ahora minimice el presupuesto sujeto al nivel de utilidad:
p1.x1 + p2 .x2
s.a.
u = x1α .x12−α
Guía de Trabajos Prácticos elaborada por Diego Hernán Alvarez, para el curso de Microeconomía II, a cargo del Prof. Enrique A. Bour. Página 2 i) Encuentre las funciones de demanda compensadas- h1 ( p, u ), h2 ( p, u ) .
Además de la minimización del presupuesto, ¿Existe otra manera de
obtener esta función?
j) Encuentre la función de gasto- e( p, u ) -. Además de la minimización
del presupuesto, ¿Existe otra manera de obtener esta función?
Pista: Utilice el teorema de dualidad.
11. (Ejercicio de repaso de Microeconomía I) Hallar las demandas
marshallianas y hicksianas, función de gasto y de utilidad indirecta de:
a) u ( x1 , x2 ) = α .ln x1 + (1 − α ).ln x2
b) u ( x1 , x2 ) = x1 + x2
c) u ( x1 , x2 ) = Min( x1 , x2 )
d) u ( x1 , x2 ) = α .ln x1 + x2
12. Un consumidor tiene la siguiente función de utilidad:
u ( x1 , x2 ) = u ( x1 ) + x2 . Se sabe que el bien uno es discreto, y que los únicos
niveles de consumo posible son: x1 = 0 y x1 = 1 . Además U (0) = 0 y p2 = 1 .
a) ¿Qué tipo de preferencias representa?
b) ¿Cuál es el valor de p1 , tal que si el precio del bien uno es menor a ese
valor, el consumidor elegirá decididamente x1 = 1 ?
13. Demostrar que la función de utilidad u ( x1 , x2 ) = A.x1α .x2β , es el resultado de
α
una transformación monótona de w( x1 , x2 ) = A.x1β .x2 (donde A, α , β > 0 ), y
viceversa.
14. Laura consume x1 kilos de pan y x2 litros de cerveza, que consigue a
precios p1 y p2 respectivamente. Su ingreso es de w pesos.
Sus preferencias se pueden representar, por medio de la siguiente función
2
de utilidad: u ( x1 , x2 ) = Min( x1 , x2 ) .
a) Dibuje las curvas de indiferencia.
b) Encuentre las demandas Marshallianas y Hicksianas.
Guía de Trabajos Prácticos elaborada por Diego Hernán Alvarez, para el curso de Microeconomía II, a cargo del Prof. Enrique A. Bour. Página 3 15. Dada la función de utilidad: u ( x1 , x2 ) = Max( x1 , x2 )
a) Dibuje las curvas de indiferencia.
b) Hallar las demandas Marshallianas y Hicksianas, función de gasto y de
utilidad indirecta.
16. Juan consume dos mercancías. Sus preferencias se pueden representar
con la función de utilidad
u ( x1 , x2 ) = x1 * Max( x2 ,1) .
a) Dibuje las curvas de indiferencia.
b) Determine gráficamente la cantidad demandada cuando w = p1 = p2 = 1
.
17. Lucrecia gusta de consumir pollo y limón (que consume sólo con el
pollo). Denotando a x1 como la cantidad consumida de pollo, y a x2 a la de
limón, entonces sus preferencias pueden representarse a través de la función
de utilidad u ( x1 , x2 ) = x1 + Min( x1 , x2 ) .
a) Dibuje las curvas de indiferencia.
b) ¿Cuál es la TMS medida como el limón que Lucrecia está dispuesta a
sacrificar, por cada kilo de pollo adicional, y mantenerse indiferente?.
c) Supongamos que
p1
< 1 . ¿Cuál es la función de demanda?
p2
d) Supongamos que
p1
> 1 . ¿Cuál es la función de demanda?
p2
e) Supongamos que
p1
= 1 , ¿Puede decir cuál es el consumo óptimo de
p2
Lucrecia?
f) ¿Se puede hablar de función de demanda?
18. Un consumidor tiene preferencias, representables a través de la
siguiente función de utilidad: u ( x1 , x2 ) = Min(2 x1 + 1, x1 + x2 , 2 x2 + 1)
a) Dibuje las curvas de indiferencia.
b) ¿Cuáles son los supuestos de convexidad, cumplidos por estas
preferencias?
Guía de Trabajos Prácticos elaborada por Diego Hernán Alvarez, para el curso de Microeconomía II, a cargo del Prof. Enrique A. Bour. Página 4 c) Encuentre las demandas Marshallianas cuando w = 10 y p1 = p2 = 2
.
19. Un consumidor tiene la siguiente función de utilidad:
U ( x1 , x2 ) = Max(α .x1 , α .x2 ) + Min( x1 , x2 )
a) Encuentre las demandas Marshallianas y compensadas, cuando α = 1 .
b) Encuentre las función de gasto mínimo cuando α = 0 .
1.3. Análisis de impacto sobre el bienestar, de los cambios ocurridos en el
entorno económico.
1
10
1
9
10
2
20. Considere la siguiente función de utilidad: u ( x1 , x2 ) = x .x .
Suponga que el ingreso del consumidor es de 100 unidades monetarias y los
0
0
precios iniciales son p1 = p2 = 1 .
a) Calcule las variaciones compensatoria, equivalente y del excedente del
consumidor, si el precio del primer bien sube en una unidad.
b) ¿Cómo se modifican estas medidas, si ahora, el precio del primer
bien baja de dos hasta uno (manteniéndose constante el precio del
bien dos)?
21. Demuestre, que si un bien no tiene efecto ingreso, las VC y VE son
iguales.
⎡ p0 ⎤
⎡ p1 ⎤
⎢⎣ p2 ⎥⎦
⎢⎣ p2 ⎥⎦
22. Considere un cambio de precios de p 0 = ⎢ 10 ⎥ a p1 = ⎢ 11 ⎥ , donde
p1 < p 0 , y sólo el precio del primer bien cambia. Muestre que si éste, es
un bien inferior, entonces la variación compensatoria es mayor a la
equivalente.
⎡ p10 ⎤
⎡ p11 ⎤
1
23. Considere un cambio de precios de p = ⎢ 0 ⎥ a p = ⎢ 1 ⎥ . Exprese a
⎣⎢ p2 ⎦⎥
⎣⎢ p2 ⎦⎥
0
la VE y a la VC para el cambio en el precio de ambos bienes, en
términos de la suma de las integrales bajo las correspondientes curvas de
demanda hicksianas.
24. Dadas las siguientes funciones de utilidad:
Guía de Trabajos Prácticos elaborada por Diego Hernán Alvarez, para el curso de Microeconomía II, a cargo del Prof. Enrique A. Bour. Página 5 a) u ( x1 , x2 ) = x1 + ln( x2 )
1
1
b) u ( x1 , x2 ) = x12 .x22
1
c) u ( x1 , x2 ) = x1 + x22
Obtener las demandas Marshallianas y Hicksianas del bien y obtener una
expresión de la VE y VC.
Bibliografía Consultada
Ejercicios Prácticos de los cursos de Microeconomía I de Leandro
Gorno y Enrique Kawamura, y de Microeconomía II de Sebastián
Auguste y Enrique Bour.
Guía de Trabajos Prácticos elaborada por Diego Hernán Alvarez, para el curso de Microeconomía II, a cargo del Prof. Enrique A. Bour. Página 6