Documento 2555446

MATEMÁTICAS II
EXAMEN DE MATEMÁTICAS – 1ª EVALUACIÓN – 2º BACH. – 25-XI-2011
Nombre:_____________________________________________ Grupo:
1)
Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son
1
y B = −2 . Halla, razonadamente:
2
a) [0,5 p] A3
A =
b) [0,5 p] A −1
c) [0,5 p] − 2A
d) [0,5 p] A ⋅ B t siendo Bt la matriz traspuesta de B.
e) [0,5 p] El rango de B
2) Sean A y B dos matrices que verifican:
 4 2
2 4 
 y A−B = 

A + B = 

 − 1 2
3 2 


a) [1 p] Halla las matrices (A + B)(A − B) y A2 − B 2
b) [1,5 p] Resuelve la ecuación matricial XA − XB − (A + B)t = 2I , siendo I la matriz
identidad de orden 2 y (A + B)t la matriz traspuesta de A + B .
1
0 
 1
x


 
3) Dadas las matrices A = 
2
t + 1 t − 1 y X = y
 − 2t − 1
z 
0
t + 3 

 
a) [1,75 p] Calcula el rango de A según los diferentes valores de t.
b) [0,75 p] Razona para qué valores de t el sistema A ⋅ X = O tiene más de una
solución.
− λ x + y + z = 1

4) Dado el sistema de ecuaciones lineales x + λy + z = 2 
λx + y + z = 1 
a) [1,75 p] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ .
b) [0,75 p] Resuelve el sistema para λ = 0 .
MATEMÁTICAS II
SOLUCIÓN
1)
Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son
A =
1
y B = −2 . Halla, razonadamente:
2
3
1
1
a) A3 = A ⋅ A ⋅ A =   =
8
2
1
b) A −1 =
=2
A
c) − 2A = (− 2)3 A = −4 (un -2 por cada fila, es de orden 3)
1
⋅ (− 2) = −1
2
e) El rango de B es 3, ya que B = −2 ≠ 0
d) A ⋅ B t = A ⋅ B t = A ⋅ B =
2) Sean A y B dos matrices que verifican:
 4 2
2 4 
 y A−B = 

A + B = 

 − 1 2
3 2 


2
a) Halla las matrices (A + B)(A − B) y A − B 2
4
3
2  2 4   6 20 

=

2  − 1 2   4 16 
Para hallar A2 − B 2 , hallamos primero A y B, resolviendo el sistema:
 4 2 
 
A + B = 

6 6
 4 2  3 3 1 − 1 
3 3
3 2  
→A=
→B=
 
 

2A = 
1 2 
 3 2  − 1 2  =  2 0 
2 4 
 2 4 



 





A − B = 


 − 1 2 
(A + B)(A − B) = 
 3 3  3 3   1 − 1  1 − 1   12

−

=
A2 − B 2 = 

 

 
 1 2  1 2   2 0  2 0   5
15   − 1 − 1   13
−
=
7   2 − 2   3
16 

9 
b) Resuelve la ecuación matricial XA − XB − (A + B)t = 2I , siendo I la matriz
identidad de orden 2 y (A + B)t la matriz traspuesta de A + B .
XA − XB − (A + B)t = 2I → XA − XB = 2I + (A + B)t → X(A − B) = 2I + (A + B)t
[
]
X = 2I + (A + B)t (A − B)−1 , Llamamos C = 2I + (A + B)t y la calculamos:
0  4
+
2   3
t
0   4 3  6 3 
=

+
2   2 2   2 4 
2 4 
A = 2 A12 = 1
 → A − B = 8 11
Hallemos ahora (A − B)−1 : A − B = 

 − 1 2
A21 = −4 A22 = 2
2
C = 
0
2
2
 =
0
2 

MATEMÁTICAS II
(A − B)−1
[
1 2
= 
8 1
X = 2I + (A + B)t
1
− 4  4
=
2   1

8
1

2
y por último, calculamos X
1 

4
1
1
9
−   15

6
3
− 


2 
 4
(A − B)−1 = 
=
8
4

1  

 2 4   1
1
0
 

4
8
−
]
1
0 
 1
x


 
3) Dadas las matrices A = 
2
t + 1 t − 1 y X = y
 − 2t − 1
z 
0
t + 3 

 
a) Calcula el rango de A según los diferentes valores de t.
1
1
0
1
2
t + 1 t − 1 = (t + 1)(t + 3) + (t − 1)(− 2t − 1) − 2(t + 3) = −t 2 + 3t − 2 = 0 → t =
2
− 2t − 1
0
t+3
 1

Para t=1 → A =  2
− 3

 1

Para t=2 → A =  2
− 5

0

2 2
≠ 0 → r(A) = 2
2 0  dos filas proporcionales y
−3 0

0 4
1
0

1
3 1  con
1
0 5 
1
1
3
≠ 0 → r(A) = 2
Para t ≠ 1 y t ≠ 2 → A ≠ 0 ⇒ r(A) = 3
b) Razona para qué valores de t el sistema A ⋅ X = O tiene más de una solución.
Hemos visto que para t ≠ 1 y t ≠ 2 → A ≠ 0 ⇒ r(A) = 3 , y la matriz ampliada tiene el
mismo rango (sólo se añade una columna de ceros), sistema compatible
determinado, sólo tiene la solución trivial.
Para t = 1 ó t = 2, tenemos que el rango de A es 2, menor que el número de
incógnitas, luego (por Rouché-Fröbenius) el sistema es compatible indeterminado,
es decir tiene más de una solución.
MATEMÁTICAS II
− λ x + y + z = 1

4) Dado el sistema de ecuaciones lineales x + λy + z = 2 
λx + y + z = 1 
a) Clasifica el sistema según
 − λ 1 1
− λ



A =  1 λ 1  A* =  1
 λ 1 1
 λ



los valores del parámetro λ .
1 1 1

λ 1 2  estudiamos los rangos de ambas matrices
1 1 1 
1 1
−λ
1
λ 1 = −λ2 + λ + 1 − λ2 − 1 + λ = −2λ2 + 2λ = 0 → λ (− 2λ + 2) = 0 ⇒
λ
1 1
λ=0
λ =1
 0 1 1
0 1 1 1 



 0 1
≠ 0 → r(A) = 2
Para λ = 0 A =  1 0 1  A* =  1 0 1 2  ,
 0 1 1
0 1 1 1  1 0




0 1 1
1 0 2 = 0 (dos filas iguales) → r(A* ) = 2 Sistema Compatible Indeterminado
0
1
1
 − 1 1 1


Para λ = 1 A =  1 1 1 
 1 1 1


−1 1 1
1
1
−1 1 1

A* =  1 1 1
 1 1 1

1
 −1 1
≠ 0 → r(A) = 2
2 ,
1 1

1
1 2 = −1 + 2 + 1 − 1 + 2 − 1 = 2 ≠ 0 → r(A* ) = 3 Sistema incompatible
1 1
Para λ ≠ 0 y λ ≠ 1 → r(A) = 3 = r(A* ) Sistema compatible determinado
b) Resuelve el sistema para λ = 0 .
Para λ = 0 ,
0
1
1
0
≠ 0 → r(A) = 2 , nos quedamos con las dos primeras ecuaciones:
x = 2 − µ
y+z =1
y = 1 − µ

Solución: y = 1 − µ
 hacemos z = µ ⇒ 
x + z = 2
x
=
2
−
µ

z = µ
