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Análisis Matemático I
Funciones
1. Considere funciones polinómicas de grado 2.
a) Genere y dibuje cinco funciones polinómicas de grado 2 esencialmente
diferentes.
b) Teniendo en cuenta las gráficas, realice algunos comentarios de las
funciones polinómicas de grado 2 referidos a los siguientes aspectos:
Número de raíces reales.
Intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función.
Número de valores máximos y mínimos que toma la función.
¿Tiene la función el mismo signo cuando x se acerca a + ∞ , que
cuando se acerca a − ∞ ?
c) Cambie los signos de los respectivos coeficientes de x 2 y represente
gráficamente las nuevas funciones. ¿Se confirman las afirmaciones
realizadas en b)?
2. Realice el ejercicio anterior considerando funciones polinómicas de grado 3,
4 y 5.
3. Considere el polinomio p( x ) = − x 5 − 9.x 4 − 30.x 3 − 28.x 2 + 120.x + 288 .
a) Halle las raíces de p(x ) y factorice.
b) Compare la factorización obtenida con el polinomio dado.
4. Considere los polinomios:
p1 ( x ) = x 6 + 2 x 5 + 4 x 4 + 6.x 3 − .x 2 − 8.x − 4
p 2 ( x ) = x 6 + 3 .x 4 − 4
p 3 ( x ) = x 6 + 2 .x 4 − 7 .x 2 + 4
a)
b)
c)
d)
e)
p 4 ( x ) = x 7 − x 6 + 2 x 5 − 2 . x 4 − 7 .x 3 + 7 x 2 + 4 x + 4
Halle los ceros reales de cada polinomio e indique la multiplicidad de cada
uno.
Factorice las funciones p1 , p2 , p3 y p 4 .
Represente gráficamente las funciones polinómicas y estudie su
comportamiento en el entorno de x = − 1.
¿Existe alguna relación entre la multiplicidad de las raíces reales y el
conjunto de positividad y de negatividad en el entorno de cada una?
Compare el comportamiento de las funciones f ( x ) = x , g ( x ) = x 2 y
h( x ) = x 3 en el entorno de x = 0 con lo analizado en c).
5. Dibuje la gráfica de la función f ( x ) = x 2 + 3 en cada una de las siguientes
pantallas y analice cada situación:
a) [-2 , 2] x [-2 , 2]
b) [-4 , 4] x [-4 , 4]
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Análisis Matemático I
c) [-10 , 10] x [-5 , 30]
d) [-50 , 50] x [-100 , 1000]
6. Grafique la función f (x ) = x 3 − 49 x en cada una de las siguientes pantallas y
analice cada situación:
a) [-5 , 5] x [-5 , 5]
b) [-10 , 10] x [-10 , 10]
c) [-10 , 10] x [-100 , 100]
d) [-10 , 10] x [-200 , 200]
7. Visualice adecuadamente la función f (x ) = 8 − 2 x 2
8. Considere la función f ( x ) =
10.x + 5
.
x − x − 5 .x 2 − x − 6
4
3
a) Represente gráficamente.
b) Teniendo en cuenta la gráfica, indique el dominio de f.
c) Resuelva x 4 − x 3 − 5.x 2 − x − 6 = 0 ¿Qué relación tiene con el dominio de f?
9.
Considere
las
funciones
f(x) =
10.x + 5
2.x − 5.x 3 − x 2 − 5.x − 3
4
y
5
x − 3.x 2 + x − 3
a) Represente gráficamente ambas funciones y obtenga conclusiones.
b) Teniendo en cuenta la gráfica, indique el dominio de f y de g .
g( x ) =
3
c) Resuelva 2.x 4 − 5.x 3 − x 2 − 5.x − 3 = 0 ¿Qué relación tiene con el dominio
de f?
d) Compare las funciones f y g .
10. Considere la función f ( x ) = x 3 + 6.x 2 + 11.x + 6 .
a) Represente gráficamente f.
b) Teniendo en cuenta la gráfica, indique el dominio de f.
c) Resuelva:
i) x 3 + 6 x 2 + 11x + 6 = 0
ii) x 3 + 6 x 2 + 11x + 6 > 0
iii) x 3 + 6 x 2 + 11x + 6 < 0
Con los resultados anteriores, determine el dominio de f.
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Análisis Matemático I
11. ¿Cuál de las siguientes pantallas es la más apropiada para visualizar la
gráfica de f (x ) = sen (50 x ) ?
a) [-12 , 12] x [-1,5 , 1,5]
b) [-10 , 10] x [-1,5 , 1,5]
c) [-9 , 9] x [-1,5 , 1,5]
d) [-6 , 6] x [-1,5 , 1,5]
12. Grafique las siguientes funciones en las pantallas indicadas y analice cada
situación:
a) g (x ) =
1
1− x
en [-9 , 9] x [-9 , 9]
en [-5 , 5] x [-5 , 5]
b) h(x ) = sen x +
1
cos(100 x )
100
en [-6,5 , 6,5] x [-1,5 , 1,5]
en [-0,1 , 0,1] x [-0,1 , 0,1]
13. Considere la función f ( x ) = − 2 . sen( 3.x − 1) .
a) Represente gráficamente f ( x ) .
b) ¿Cuál es el período de f ( x ) ? ¿Cuál es la amplitud de f ( x ) ?
c) Represente junto con la gráfica de f ( x ) , la correspondiente
g ( x ) = − 2 . sen( 3.x ) . ¿En qué se diferencian?
a
14. Represente gráficamente la función f ( x ) = sen x + cos x .
a) Exprese, si es posible, f ( x ) como una función de la forma
g ( x ) = A . sen( b.x + c ) . Teniendo en cuenta la gráfica de f ( x ) , de un valor
aproximado para A , b , c . Calcule los valores exactos de A , b , c .
b) Exprese, si es posible, f ( x ) como una función de la forma
h( x ) = A , . cos( b , .x + c , ) . ¿Cuáles son los valores de A , , b , , c , ?
c) ¿Cuál es la diferencia entre expresar una función como seno o como
coseno?
15. Determine la solución de la ecuación cos x = x (error menor 0,01).
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