Elementos de Probabilidad y Estadística Problema Semanal 10 Segmentos al Azar

Elementos de Probabilidad y Estadística
Problema Semanal 10
Segmentos al Azar
Problema:
Seleccionamos al azar y de manera uniforme dos puntos sobre un segmento de recta. ¿Cuál
es la probabilidad de que con los tres segmentos que resultan se pueda construir un
triángulo?
Seleccionamos n puntos al azar y de manera uniforme sobre un segmento de recta ¿Cuál es
la probabilidad de que se pueda construir un polígono de n+1 lados con los segmentos
resultantes?
Solución:
Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que la longitud del segmento es 1 y
escogemos puntos X, Y en él. Suponemos que X < Y.
0
X
Y
1
Figura 1
Esto determina tres segmentos 0X, XY, Y1. La condición para que estos tres segmentos
formen un triángulo es que la desigualdad triangular valga siempre, es decir, que ningún
intervalo sea mayor que la suma de los otros dos. Esto nos da las tres desigualdades
X < 1-X,
Y > 1-Y,
Y-X < X + 1 - Y
a partir de las cuales se obtiene
X < 1/2,
Y-X < 1/2,
1_Y < 1/2.
Es decir, los tres segmentos deben tener longitud menor que 0.5. Si en lugar de suponer X <
Y tenemos la desigualdad contraria, se obtienen tres desigualdades similares, intercambiando X e Y.
Podemos ahora pensar que el par (X,Y) determina un punto en el cuadrado unitario, y
seleccionar estos dos puntos en el segmento equivale a escoger un punto en el cuadrado.
Como ambas coordenadas se escogen de manera independiente y uniforme, el punto (X,Y)
se escoge de manera uniforme en el cuadrado, es decir, la probabilidad de que caiga en una
región dada es igual al área de la región
Por lo tanto, basta ver cuál es la región determinada por las desigualdades anteriores y es
fácil ver que corresponde a la región en amarillo en la Figura 2. El área total es 1/4,
Figura 2
Para el segundo problema sean X1, … , Xn los puntos seleccionados con 0 < X1 < X2 < … <
Xn < 1. Llamemos E al evento que ocurre si los n+1 segmento no forman un polígono y
observamos que E ocurre si y sólo si [0,1] tiene un subintervalo de longitud 1/2 que no
contiene ningún punto Xi. Sea X0 = 0 y para i = 0,1,…,n sea Ei el evento que ocurre si
Ii = [Xi, Xi + 1/2 ]  [0,1]
y
Xi+1  Ii.
Entonces el evento E es la unión de los eventos (disjuntos) E0, E1, …, En.
El evento E es cierto si y sólo si
X0 < … < Xi < Xi+1 – 1/2 < Xi+2 – 1/2 < … < Xn – 1/2  1/2
De manera equivalente, una sucesión (Xj) está en Ei si se obtiene escogiendo los n puntos al
azar en [0, 1/2 ] en lugar de [0, 1]: Y1 < Y2 < … < Yn y ponemos
si j  i,
Y j
Xj 
 Y j  1 / 2 si j  i
-n
Esto muestra que P(Ei) = 2 para i = 0, 1, … , n y por lo tanto P(Ei) = (n+1) 2-n.
Comentarios:
Este problema se puede encontrar en el libro de B. Bollobás The Art of Mathematics. Coffee
Time in Menphis, Cambridge Univ. Press, 2006.