Matemática Discreta Actividad Didáctica 4 Composición de dos

Matemática Discreta  Actividad Didáctica 4  Composición de dos relaciones
Actividad Didáctica 4
Composición de dos relaciones
Introducción
El producto booleano de dos matrices booleanas A[aij] y B[bij] de ordenes m  k y k x n
respectivamente, es decir, el número de columnas de la matriz A tiene que ser igual al número
de filas de la matriz B, denotado como A
B, es la matriz de C[cij] de orden m  n cuyo
elemento (i, j) es cij donde
cij = (ai1  ai1)  (ai2  ai2)  … (aik  akj)
Por ejemplo, calcular el producto booleano de A y B donde
A
B=
=
TIP: El producto de matrices booleanas es similar al producto de matrices, pero en realidad es
más sencilla de obtener. Solo hay que seguir los siguientes pasos:


Seleccionar la fila de la matriz A y la columna de la matriz B y colocar una al lado de la
otra.
Comparar los pares correspondientes. Basta que uno de los pares conste de dos 1 para que
cij = 1, de otro modo cij = 0.
La matriz de la composición de dos relaciones puede hallarse usando el producto
booleano de las matrices de las relaciones. En particular, supóngase que R es una relación de A
en B y que S es una relación de B en C, supóngase que A, B y C tienen m, n y p elementos
respectivamente. Sean MSR = [tij], MR = [rij], MS = [Sij] las matrices asociadas a SR, R y S,
respectivamente (estas matrices son mp, mn y np, respectivamente). El par ordenado (ai, cj)
pertenece a SR si y sólo si, existe un elemento bk tal que (ai, bk) pertenece a R y (bk, cj)
pertenece a S. Se sigue que tij = 1, si y sólo si, rik = sjk =1 para algún k.
Por definición del producto booleano, esto significa que MSR = MR
1
MS.
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Derive es un potente programa desarrollado Texas Instruments (TI) para el cálculo
matemático avanzado: variables, expresiones algebraicas, ecuaciones, funciones, vectores,
matrices, trigonometría, etc. Ya no se lo comercializa, y su desarrollo paso ahora como un
nuevo producto el TI-Nspire y ya no se vende por separado. Derive no era gratuito, pero puede
buscar en Internet un demo del mismo por 30 días.
Wiris (http://www.wiris.net/educa.madrid.org/wiris/es/index.html) es un editor y
calculadora de álgebra computacional usado en línea. Existe la versión Wiris Little que se
trabaja fuera de línea. Ha sustituido con gran éxito al programa Derive. Permite realizar
operaciones numéricas de todo tipo con cantidades naturales, enteras, fraccionarias, decimales
o incluso con números radicales; resuelve ecuaciones y sistemas, etc. Es capaz de operar con
matrices, calcular matrices inversas, traspuestas o determinantes.
Actividad: Comprobar con el programa Derive o el Wiris si se encuentra algún otro, que
MSR = MR
MR. Para esto has que realizar los siguientes pasos:
Operación
1.
Definir los conjuntos A, B y C.
2.
Definir R una relación de A en B y
Instrucción y/o resultado
S es una relación de B en C.
3.
Obtener SR.
4.
Obtener la matriz de relación de SR
(MSR).
5.
En derive escribir la matriz de relación
de R (MR).
6.
Con derive escribir la matriz de relación
de S (Ms).
7.
Con derive obtener el producto
booleano MR
MS. Verificar que es la
misma matriz que MSR.
2