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APUNTES DE DERIVE
6.- MATRICES
Forma de introducir las matrices:
•
Como un conjunto de vectores fila:
[[1, 2,3],[−1, −2,3],[0, 2, 4]]
•
Pinchando el icono
, pedirá el número de filas y el
numero de columnas, una vez rellenado nos aparecerá una
ventana para completar la matriz, podemos pasar de un
elemento a otro con el ratón o con el tabulador.
En ambos casos aparecerá la matriz:
Si vamos a hacer varias operaciones con las mismas matrices, es mejor que las definamos, por ejemplo:
Las operaciones serán:
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a) Suma: a + b. Al pinchar el icono = aparecerá la matriz suma.
b) Resta: a – b
c) Multiplicar por un escalar: 7.a (utilizamos el punto normal).
d) Multiplicar matrices: a .b (utilizamos el punto normal).
e) Transpuesta de una matriz: a`
f) Determinante de una matriz cuadrada: det(a)
g) Inversa de una matriz: a-1= a^(-1)
Ejercicio 1:
Dadas las matrices a y b, calcula: a) a + b
Soluciones: a)
b) 3· a –b c) a · b d ) a-1
b)
d)
e) b7 f) |b|
c) c)
e)
f) 8
3
1
Ejercicio 2: Calcula AB y BA, siendo las matrices A = [1 3 2 −1] y B =   . Solución: A·B = [0]
 −2 
 
2
y
B·A=
30
 0 −1
Ejercicio 3: Calcula 
 . Con Derive:
1 0 
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a +1
Ejercicio 4: Calcula el determinante
1
Ejercicio 5:
a −1 a − 2
a
a
a −1 a − 2 a +1
. Solución con Derive:
a −1 a − 2 a +1
a
a − 2 a +1
a
a −1
x
x2
x3
3 2 x + 1 x 2 + 2 x 3x 2
Demuestra que:
= ( x − 1) 6
3 x + 2 2 x + 1 3x
1
1
1
1
Escribimos en Editar Expresión:
DET([[1, x, x^2, x^3], [3, 2·x + 1, x^2 + 2·x, 3·x^2], [3, x + 2, 2·x + 1, 3·x], [1, 1, 1, 1]])
Aparece:
Clic al icono = y obtenemos el resultado:
Clic al menú Simplificar / Factorizar / Factorizar y aparece el resultado: (x – 1)6.
TAMBIÉN PODEMOS RESOLVER ECUACIONES MATRICIALES
 1 0 −1


Ejercicio 6: Sean las matrices A =  −1 0 2  y
0 1 0


 1 0 2


B =  −1 1 0  . Resuelve la ecuación matricial
 1 0 3


AX = BA.
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Con Derive:
PODEMOS CALCULAR RANGOS DE MATRICES
1º. Con la función ROW_REDUCE (a), esta función devuelve la forma escalonada de la matriz, y ya
sabemos que el rango de esta matriz es el número de filas no nulas.
Ejercicio 7: Calcula el rango de las matrices:
1
0

0

1
2
2 0 1 1 0
1 2 0 0 1

0 1 2 3 0

3 2 1 1 1
5 2 2 2 1
- 5 - 3 1 - 1
- 1 0 2 1

1 1 1 1

2 0 -4 -2
0
0
 Soluciones: 3 y 2.
0

0
Hacemos el primero: escribimos la matriz:
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En este caso escribimos ROW_REDUCE(#1) y aparece
damos a igual y aparece
como vemos hay tres filas no nulas
linealmente independientes, por lo tanto el rango de la matriz es 3.
2º. Otra forma es utilizando la función RANK(a), que se obtiene cargando el archivo VECTOR.MTH. Hay
que realizar los siguientes pasos: Menú Archivo/ Leer/ Utilidad... Aparece el siguiente cuadro de
diálogo, selecciono el archivo VECTOR y clic a Abrir.
Aparece en la barra de estado: VECTOR.MTH LEÍDO y si escribimos rank(matriz), en nuestro caso
RANK(#1) y damos a = aparecerá 3, nos da rápidamente el rango de la matriz.
Realiza el otro ejercicio planteado.
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TEOREMA DE ROUCHÉ - FROBENIUS
Sabemos que: : La condición necesaria y suficiente para que un sistema de “m” ecuaciones y
“n” incógnitas tenga soluciones es que coincida el rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la
matriz ampliada: rg(A) = rg(M).
rg (A) ≠ rg (M) sistema incompatible
•
h = n compatible determinado
•
h < n c. indeterminado, grado
de indeterminación: n - h
rg (A) = rg (M) = h sistema compatible
 x + 2y + 3z = 1
- y + z = 0

Ejercicio 8: Discute y resuelve el siguiente sistema: 
 3y - z = 2
 x + 4y + 3z = 4
•
Definimos la matriz A (Derive pone a)
•
Definimos ahora la matriz M ampliada con los
términos independientes:
Para hacerlo más rápido, seleccionamos la expresión #1 (la ponemos azul), que es donde está
definida la matriz A y vamos al MENÚ EDICIÓN/ EXPRESIÓN. Modificamos hasta obtener
definida la matriz ampliada M.
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•
Cargamos el archivo VECTOR.MTH, como se ha explicado en la página anterior y calculamos el
rang de A y el rango de M
Como rg (A) ≠ rg (M) sistema incompatible
 2x - y + z - 2t = -5

Ejercicio 9: Discute y resuelve el sistema  2x + 2y - 3z + t = -1

 - x + y - z = -1
4x - 3y + 2z - 3t = -8
S: c.d. ( 0, 1, 2, 3 )
Como el rg(A) = rg(M) = nº incógnitas, el sistema
es compatible determinado
También podemos resolver el sistema con la función SOLVE:
SOLVE([2x -y+z-2t=-5,2x+2y-3z+t=-1,-x+y-z=-1,4x-3y+2z-3t=-8],[x,t,z,t])
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Ejercicio 9: Discute y resuelve el sistema
 x+y+z+u=1

 -x+y-z+u=0
 -x+5y-z+5u=2

Como rg(A) = rg(M) = 2 < 4, número de
incógnitas, el sistema es compatible
indeterminado
con
grado
de
indeterminación 2.
El
siste
ma dado es equivalente al formado por estas dos primeras ecuaciones. Y como:
Resolvemos este último sistema:
La solución también se puede expresar:
1 - 2λ

x =
2

 y = 1 -2µ

2

 z=λ
u=µ

∀λ , µ ∈ ℜ
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Ejercicio 10:
Discute el siguiente sistema según los valores de “m” y resuélvelo cuando sea
 mx + y + z = 1

compatible:  x + my + z = m
 x + y + mz = m 2

Primero vamos a considerar la matriz de los coeficientes A(m) y la matriz ampliada B(m):
Debemos calcular los valores de m que hacen nulo el determinante de A(m):
♦
∀m ≠ 1,-2 , rag(A) = rag(B) = 3 = nº incógnitas, sistema compatible determinado, caculamos la
solución; para ello cargamos el archivo VECTOR.MTH
El sistema dado es equivalente a éste por lo
tanto las soluciones son:
m+1
x =m+2
1
y=
m +2
z=
( m + 1)
2
m +2
♦ Para m = 1
Como rag(A) = rag(B) = 1 < 3 nº de
incógnitas, el sistema es compatible
indeterminado
con
grado
de
indeterminación dos
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El sistema es equivalente a:
x + y + z = 1. Solución: x = 1 – y – z o también:
x = 1 - λ - µ

y= λ
z = µ

♦ Para m = -2
Como los rangos son distintos el sistema
es incompatible.
Ejercicio 11:
 x+ y =7

Discute y resuelve, según los valores de k, este sistema de ecuaciones: kx − y = 11 .
 x − 4y = k

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No te olvides de cargar el archivo VECTOR.MTH
 x -2y + 3z - r = 1
 ay - 2z + r - t =-2

Ejercicio 12: Discute y resuelve el sistema:  z -3t = 1
según los valores de a
 3z + ar - 2t = -1

3z - at = a + 1
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