Relación6

MECÁNICA
RELACIÓN 6: Tensores de Inercia.
1.- Determine el tensor de inercia del paralelepípedo de la
figura, en la base vectorial mostrada, que está centrada en G.
⎞
⎛1
2
2
0
0
⎟
⎜12 M(b +c )
⎜
⎟
1
2
2
⎜
⎟
0
0
M(a +c )
Solución: I0 =
⎜
⎟
12
⎜
⎟
1 2 2⎟
⎜⎜
0
0
(a +b )⎟
12
⎝
⎠
2.- Determine el tensor de inercia de la placa plana de la
figura, en la base vectorial mostrada. Suponga despreciable el
espesor de la placa.
⎛ 1
2
⎜ 18 mb
⎜
1
Solución: I G = ⎜ mb 2
⎜ 36
⎜
⎜ 0
⎜
⎝
1
mab
36
1
ma 2
18
0
⎞
⎟
⎟
⎟
0
⎟
⎟
1
2
2 ⎟
m( a + b ) ⎟
18
⎠
0
3.- Determine el tensor de inercia de la varilla de la figura en
las bases vectoriales xyz y XYZ. Suponga que la varilla es
esbelta.
⎛
⎞
⎜0
0
0 ⎟
⎜
⎟
1 2
⎜
0 ⎟
Solución: I 0 = 0
mL
⎜
⎟
3
⎜
1 2 ⎟⎟
⎜0
0
mL
3
⎝
⎠
⎛
⎞
⎜0
0
0 ⎟
⎜
⎟
1
2
⎜
0 ⎟
IG = 0
mL
⎜
⎟
12
⎜
⎟
1
⎜0
0
mL2 ⎟
12
⎝
⎠
4.- Determine el tensor de inercia del anillo y de la placa
circular mostrados. Suponga que el espesor es despreciable
en ambos casos.
Solución: I 0anillo
I 0 placa
⎛ mR 2
⎜
⎜ 2
⎜
=⎜ 0
⎜
⎜ 0
⎜
⎝
⎛ mR 2
⎜
⎜ 4
⎜
=⎜ 0
⎜
⎜
⎜ 0
⎝
0
mR 2
2
0
0
mR 2
4
0
⎞
0 ⎟
⎟
⎟
0 ⎟
⎟
mR 2 ⎟
⎟
⎠
⎞
0 ⎟
⎟
⎟
0 ⎟
⎟
mR 2 ⎟
2 ⎟⎠
5.- Determine el tensor de inercia del sistema mostrado en la
figura, suponga que los únicos elementos que tienen masa
son las bolas.
⎛ b 2 −ab
0 ⎞
⎜
⎟
0 ⎟
Solución: I 0 = 2m ⎜ − ab a 2
⎜ 0
0 a 2 + b 2 ⎟⎠
⎝
6.- Determine el tensor de inercia de la esfera mostrada
respecto a la base vectorial XYZ. Demuestre que el tensor es
invariante al expresarlo en cualquier otra base vectorial xyz.
Solución:
7.- El tensor de inercia del cilindro sólido de la figura en la
base vectorial XYZ centrada en G es:
⎛1
⎞
2
2
0
0 ⎟
⎜ 12 M (3r + h )
⎜
⎟
1
2
2
⎜
0
0 ⎟
IG =
M (3r + h )
⎜
⎟
12
⎜
⎟
1
⎜⎜
Mr 2 ⎟⎟
0
0
12
⎝
⎠
Se pide:
1.- Determinar el tensor de inercia en la base xyz en
un ángulo β alrededor de Y.
2.- Determine las direcciones y momentos de inercia
principales (en la base xyz).
Particularizar para M=100kg, h=3m, d=1.3m, β = 30º
Solución:
8.- La barra de la figura pesa 0,1N/mm. Determine:
1.- Tensor de inercia en la base XYZ.
2.- Momento de inerciaG respecto
G del eje
G MN,Gdefinido
por el vector unitario: u = 0.3i + 0.45 j + 0.84k .
3.- Direcciones principales de inercia.
4.- Momentos principales de inercia.
Las dimensiones están dadas en mm.
Solución:
⎛
⎜0
⎜
1.- I 0 = ⎜ 0
⎜
⎜
⎜0
⎜
⎝
0
mL2
3
0
⎞
0 ⎟
⎟
0 ⎟
⎟
2 ⎟
mL ⎟
⎟
3 ⎠