Geometría de masas: El tensor de Inercia

Departamento: Física Aplicada III
Mecánica Racional (Ingeniería Industrial)
Curso 2007-08
Geometría de masas: Cálculos del tensor de Inercia
1
Tensor de inercia de una varilla delgada.
Calculo del tensor de inercia en G de una
varilla delgada y uniforme, según las
direcciones coordenadas indicadas en la
figura.
La densidad lineal de masa viene dada por
dm
λ=
, de donde dm = λ dx ; si la varilla es
Y
O
G
x
dm
X
L
dx
uniforme
λ = M /L
a. Cálculo de los momentos de inercia respecto de los ejes coordenados
I (G ) = ∫ ( y + z ) dm y = 0, z = 0 → I (G ) = 0
2
xx
2
xx
Τ
I yy (G ) = ∫ ( x + z ) dm .
2
2
Τ
I yy (G ) = ∫
L/2
−L / 2
I zz (G ) = ∫ ( x 2 + y 2 ) dm
Τ
z=0
x 2 dm = λ ∫
,
L/2
−L / 2
y=0
x 2 dx
→
;
L/2
⎡ x3 ⎤
I yy (G ) = λ ⎢ ⎥
⎣ 3 ⎦−L / 2
;
I yy (G ) =
M 1 L3 L3
( + )
L 3 8 8
;
IYY (G ) =
1
M L2
12
I zz (G ) = I yy (G )
b. Cálculo de los productos de inercia respecto de los planos
coordenados
I ( G ) = − ∫ x y dm ; y = 0 ;
→ I (G ) = 0
L/2
xy
xy
−L / 2
I x z (G ) = − ∫
L/2
I y z (G ) = − ∫
L/2
−L / 2
−L / 2
;
z=0
;
→
y z dm ;
y=0
,
z=0
x z dm
I x z (G ) = 0
→
I y z (G ) = 0
Los valores de los productos de inercia calculados son concordantes con que las
direcciones coordenadas son principales de inercia: el eje OZ por ser normal al plano de
simetría OXY, el OY por ser eje de simetría y el OX porque lo son los dos anteriores.
En consecuencia
⎛ 0 0 0⎞
I
1
⎜
⎟
I (G ) = M L2 ⎜ 0 1 0 ⎟
12
⎜ 0 0 1⎟
⎝
⎠
c. Cálculo del tensor en el punto O
Para calcular el tensor en el punto O y en las mismas direcciones coordenadas solo
debemos cambiar los límites de integración de las integrales involucradas.
L
⎡ x3 ⎤
I yy (O ) = λ ⎢ ⎥
⎣ 3 ⎦0
;
1
IYY (O ) = M L2
3
⎛ 0 0 0⎞
I
1
⎜
⎟
I (O) = M L2 ⎜ 0 1 0 ⎟
3
⎜0 0 1⎟
⎝
⎠
Como los tensores calculados son diagonales quiere decir que las direcciones en las que
está expresado el tensor son principales.
Geometría de masas II: .Aplicaciones del tensor de Inercia
d. Cálculo en direcciones rotadas
Por último calcularemos el tensor en unas
direcciones rotadas respecto de las anteriores
(GX’Y’Z)
Y’
Y
1
M L2 sen 2 θ
12
L/2
1
I y ' y ' (G ) = ∫ x '2 dm = ∫ x 2 cos2 θ dm ; IY ' Y ' (G ) = M L2 cos2 θ
Τ
−L / 2
12
L/2
1
I z z (G ) = ∫ ( x ' 2 + y ' 2 ) dm = ∫ x 2 (cos2 θ + sen 2θ ) dm = M L2
Τ
−L / 2
12
L/2
−1
I x ', y ' (G ) = − ∫ x ' y ' dm = − ∫ x cosθ x sen θ dm =
M L2 sen θ cosθ
Τ
−L / 2
12
I x ' x ' (G ) = ∫ y ' 2 dm = ∫
Τ
L/2
−L / 2
I x ' z ' (G ) = − ∫ x ' z ' dm = 0
Τ
x 2 sen 2 θ dm ;
,
I x ' x ' (G ) =
dm X
x
G
X’
y’
θ
x’
I y ' z ' (G ) = − ∫ y ' z ' dm = 0
Τ
Con lo cual el tensor en G en estas direcciones es
⎛ sen 2θ
I
1
2⎜
I (G ) = M L ⎜ − sen θ cosθ
12
⎜
0
⎝
− sen θ cosθ
0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠
cos2 θ
0
" O X 'Y ' Z "
2 Tensor de inercia de una lámina rectangular
Y
Obtener el tensor de inercia de una lámina rectangular
uniforme de dimensiones a b, en los puntos G y A,
según las direcciones coordenadas indicadas en la
figura,.
ds
dy
y
b
a. Cálculo del tensor de Inercia en el punto G
dx
G
A
X
a
Momentos de inercia respecto de los ejes coordenados
Tomaremos coordenadas cartesianas: dm = λ ds , ds = dx dy
2
I (G ) = ∫ ( y + z ) dm , z = 0 → I x x (G ) = λ ∫ y ds →
τ
τ
2
2
xx
I x x (G ) = λ ∫
b/2
−b / 2
y 2 dy
∫
a/2
I y y (G ) = ∫ ( x 2 + z 2 ) dm ,
τ
dx ;
−a / 2
z=0
I z z (G ) = ∫ ( x 2 + y 2 ) dm →
τ
I x x (G ) =
→
1
M b2
12
I y y (G ) = λ ∫
a/2
−a / 2
x 2 dx
∫
b/2
−b / 2
I z z (G ) = I x x (G ) + I y y (G ) →
dy ;
I y y (G ) =
I z z (G ) =
1
M a2
12
1
M (a 2 + b2 )
12
Productos de inercia respecto de los planos coordenados
Estas magnitudes son nulas porque las direcciones elegidas son principales de inercia:
GX y GY por ser ejes de simetría y GZ por ser normal a un plano de simetría (plano de
figura). No obstante se calculan a continuación como ejercicio de comprobación.
a/2
I x y ( G ) = − ∫ x y dm
τ
;
I x y (G ) = − λ ∫
a/2
−a / 2
Mecánica Racional (Industriales)
x dx ∫
b/2
−b / 2
y dy
→
b/2
⎡ x2 ⎤
⎡ y2 ⎤
I x y (G ) = − λ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ 2 ⎦−a / 2 ⎣ 2 ⎦−b / 2
→
I x y (G ) = 0
pag. 2 / 6
X
Geometría de masas II: .Aplicaciones del tensor de Inercia
I x z ( G ) = − ∫ x z dm ;
z=0
I y z ( G ) = − ∫ y z dm ;
z=0
τ
τ
;
→
I x z (G ) = 0
→
I y z (G ) = 0
El tensor de inercia se expresa:
⎛ b2
I
⎜
1
I (G ) = M ⎜ 0
12 ⎜
⎝0
0
a2
0
0 ⎞
⎟
0 ⎟
a 2 + b 2 ⎟⎠
b. Caso particular de un cuadrado de lado a
Haciendo b=a en la expresión anterior. Se obtiene
⎛1 0 0⎞
I
1
I (G ) = M a 2 ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟
12
⎜0 0 2⎟
⎝
⎠
Puede observarse que este tensor posee dos autovalores iguales λx=λy. Como
consecuencia, cualquier dirección contenida en el plano OXY que pase por G es
dirección principal de inercia y la expresión del tensor resulta invariante a las rotaciones
del triedro GXYZ alrededor del eje GZ..
c.
Cálculo del tensor de inercia en el punto A (basta cambiar los límites
de integración)
Momentos de inercia respecto de los ejes coordenados:
b
a
1
I x x ( A) = λ ∫ y 2 dy ∫ dx ;
I x x ( A) = M b 2
0
0
3
a
I y y ( A) = λ ∫ x 2 dx
∫
0
b
0
dy
1
I y y ( A) = M a 2
3
;
I z z ( A) = ∫ ( x 2 + y 2 ) dm →
I z z ( A) = I x x ( A) + I y y ( A) →
τ
1
I z z ( A) = M (a 2 + b 2 )
3
Productos de inercia respecto de los planos coordenados
a
I x y ( A) = −λ ∫ x dx ∫ y dy
→
I x z ( A) = − ∫ x z dm ;
z=0
;
;
z=0
a
b
0
0
τ
I y z ( A) = − ∫ y z dm
τ
b
⎡ x2 ⎤ ⎡ y2 ⎤
I x y ( A) = −λ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ 2 ⎦0 ⎣ 2 ⎦0
→
→
1
I x y ( A) = − M a b
4
I x z ( A) = 0
→
I y z ( A) = 0
El tensor de inercia se expresa:
⎛ 4 b2 −3 a b
⎞
0
I
1
⎜
⎟
2
I ( A) = M ⎜ −3 a b 4 a
0
⎟
12 ⎜
0
4 ( a 2 + b2 ) ⎟⎠
⎝ 0
Puede comprobarse que la dirección AZ es principal de inercia (
las direcciones AX, AY, no son principales.
I x z ( A) = I y z ( A) = 0 )
Z’
Z
3 Tensor de inercia de una esfera
Obtener el tensor de inercia en G y A, según las
direcciones coordenadas indicadas en la figura, de una
esfera homogénea de radio R.
Mecánica Racional (Industriales)
A
G
X
y que
Y
X’
pag. 3 / 6
Geometría de masas II: .Aplicaciones del tensor de Inercia
a. Cálculo del elemento de volumen en coordenadas esféricas.
Z
En coordenadas curvilíneas se obtiene mediante la expresión
d τ = J dq1 dq2 dq3 .
Donde
J =
P
ρ
∂xi
∂q j
representa el jacobiano de la transformación de
O
θ
z
Y
ϕ
coordenadas;
Esta transformación de coordenadas en esféricas es :
x = ρ senθ cos ϕ , y = ρ senθ sen ϕ , z = ρ cosθ .
Con ello J = ρ 2 senθ , y el elemento de volumen vale
X
Coordenadas esféricas
dτ = ρ 2 senθ d ρ dθ dϕ
b. Cálculo de los momentos de inercia
Los elementos del tensor de inercia pueden calcularse a partir de sus expresiones
integrales en coordenadas cartesianas y efectuando posteriormente la trasformación a
coordenadas esféricas.
Como ejemplo se indica el cálculo de I xx
I xx (O ) = ∫ ( y 2 + z 2 ) dm ,
τ
dm = λ ρ 2 sen θ d ρ dθ dϕ ,
Sustituyendo la transformación de coordenadas y
dm
queda
I xx = λ ∫ ( ρ sen θ sen ϕ + ρ cos θ ) ρ senθ d ρ dϑ dϕ
2
2
2
2
2
2
τ
No obstante dada la simetría de la figura se utilizará un método alternativo
fundamentado en las propiedades generales de los momentos de inercia
IG =
I x x (G ) + I y y (G ) + I z z (G )
2
donde IG representa el momento de inercia respecto del punto G
Por razones de simetría los tres ejes son análogos, en consecuencia se cumple
I x x (G ) = I y y (G ) = I z z (G )
Sustituyendo y despejando se obtiene
I x x (G ) = I y y (G ) = I z z (G ) =
Cálculo de IG
I G = ∫ ρ 2 dm ,
I G = λ ∫ ρ 2 ρ 2 senθ
Τ
τ
R
IG = λ ∫ ρ 4 d ρ
0
∫
π
0
senθ dθ
∫
2π
0
dϕ
,
2
IG
3
(1).
d ρ dθ dϕ
M 1 5 R
π
2π
⎡ ρ ⎤ [ − cosθ ]0 [ϕ ]0
4 3 5 ⎣ ⎦0
πR
3
3
IG = M R2
5
IG =
(2)
Sustituyendo (2) en (1) se obtiene los momentos de inercia respecto de los ejes
coordenados
2
(3)
I x x (G ) = I y y (G ) = I z z (G ) = M R 2
5
c. Cálculo de los productos de inercia
Por otra parte las direcciones coordenadas de la figura, son principales de inercia por
constituir ejes de simetría, luego los productos de inercia son nulos. Con lo cual el
tensor de inercia se expresa
⎛1 0 0⎞
I
2
⎟
2 ⎜
I (G ) = M R ⎜ 0 1 0 ⎟
5
⎜0 0 1⎟
⎝
⎠
Mecánica Racional (Industriales)
(4)
pag. 4 / 6
Geometría de masas II: .Aplicaciones del tensor de Inercia
Se observa que en este caso el tensor posee los tres autovalores iguales, lo que nos
indica que cualquier dirección que pase por G es principal de inercia y en consecuencia
la expresión del tensor es invariante a cualquier rotación cuyo eje pase por G.
d. Tensor de inercia en el punto A según las direcciones coordenadas.
El movimiento del tensor al punto A representa una traslación de la base del mismo,
con lo cual puede obtenerse aplicando el teorema de Steiner.
I
G
I
I ( A) = I M ,G ( A) + I (G )
(5)
G M ,G
Cálculo de I ( A) : Tensor de inercia de una supuesta masa puntual M situada en G
Momentos de inercia respecto de los ejes coordenados:
I yMy,G ( A) = 0 ; I xMx ,G ( A) = I zMz ,G ( A) = M R 2
(6)
G
Productos de inercia respecto de los planos coordenados:
(x =0, zG=0),
I xMy,G ( A) = − M x G y G = 0 I zMy ,G ( A) = − M z G y G = 0 , I xMz ,G ( A) = − M x G z G = 0
(7)
Sustituyendo (4), (6) y (7) en (5) queda:
I
2
I ( A) = M R 2
5
⎛ R2
⎛ 1 0 0⎞
⎜ 0 1 0⎟ + M ⎜ 0
⎜
⎜
⎟
⎜0 0 1⎟
⎜ 0
⎝
⎠
⎝
0 0⎞
⎛ 7 0 0⎞
⎟ 1
0 0 ⎟ = M R 2 ⎜⎜ 0 2 0 ⎟⎟
5
⎜ 0 0 7⎟
0 R 2 ⎟⎠
⎠
⎝
Z
4 Tensor de inercia de un cilindro
Obtener el tensor de inercia en el punto G, y en las direcciones
coordenadas indicadas en la figura, de un cilindro uniforme de
radio R y altura H .
Y
G
X
a. Cálculo del elemento de volumen en coordenadas cilíndricas.
En coordenadas curvilíneas se obtiene mediante la expresión
Z
d τ = J dq1 dq2 dq3 .
Donde
∂x
J = i
∂q j
P
representa el jacobiano de la transformación de
coordenadas;
En coordenadas cilíndricas la transformación es :
x = ρ cosθ , y = ρ senθ ,
Con ello J = ρ , y el elemento de volumen vale
z
Y
O
θ
z=z.
ρ
X
Coordenadas cilíndricas
dτ = ρ d ρ dθ dz
b. Cálculo de los momentos de inercia respecto de los ejes coordenados
Respecto del eje OZ:
I z z (G ) = ∫ ρ 2 dτ .
Τ
Suponiendo que el cilindro es uniforme, λ es constante
I z z (G ) = λ ∫ ρ 3 d ρ dθ dz
Τ
,
R
2π
H /2
0
0
−H / 2
I z z (G ) = λ ∫ ρ 3d ρ ∫ dθ ∫
I z z (G ) =
R
dz .
I z z (G ) =
⎡ρ4 ⎤
M
2π
H /2
⎢ ⎥ [θ ] [ z ]− H / 2
2
π R H ⎣ 4 ⎦0 0
1
M R2
2
El cálculo de los momentos de inercia respecto de los ejes OX y OY puede realizarse
sustituyendo en sus expresiones cartesianas ( I x x (G ) = λ ∫Τ ( y 2 + z 2 ) dτ , I y y (G ) = λ ∫Τ ( x 2 + z 2 ) dτ )
Mecánica Racional (Industriales)
pag. 5 / 6
Geometría de masas II: .Aplicaciones del tensor de Inercia
la transformación de coordenadas a cilíndricas. Sin embargo se obtendrán estas
magnitudes por consideraciones de simetría y teniendo en cuenta las propiedades
generales.
I z z (G ) = I x (G ) + I y (G )
Como los planos x=0 e y=0 son análogos se cumplirá
I x (G ) = I y (G ) =
I x ( G ) = I y (G ) ,
I z z (G )
2
=
con lo cual
1
M R2
4
El cálculo de I x x (G ) = IY Y (G ) = I x (G ) + I z (G ) , requiere obtener previamente el momento de
inercia respecto del plano z=0
I z (G ) = ∫ z 2 dτ , I z = ∫ z 2 ρ d ρ dθ dz
Τ
τ
I z (G ) = λ ∫
H /2
−H / 2
R
2π
0
0
z 2 dz ∫ ρ d ρ ∫ d θ
R
;
I z z (G ) =
⎡ ρ2 ⎤
M
2π
⎢ ⎥ [θ ]
2
π R H ⎣ 2 ⎦0 0
1
I z (G ) = M H 2
12
H /2
⎡ z3 ⎤
⎢ ⎥
⎣ 3 ⎦−H / 2
Finalmente
I x x (G ) = I y y (G ) = I x (G ) + I z (G ) ¸
I x x (G ) = I y y (G ) =
1
1
M R2 + M H 2
4
12
c. Cálculo de los productos de inercia respecto de planos coordenados
Pueden obtener a partir de sus expresiones cartesianas ( I x y (G ) = − ∫Τ x y dm , I x y (G ) = − ∫Τ x z dm )
y sustituyendo posteriormente las expresiones de transformación a coordenadas
cilíndricas, sin embargo los ejes OX y OY son direcciones principales de inercia
porque son normales en G a planos de simetría, y en consecuencia el tensor es diagonal
y los productos de inercia se anulan.
Expresión del tensor pedido:
⎛ 3 R2 + H 2
I
1 ⎜
I (G ) = M ⎜
0
12 ⎜
0
⎝
0
3 R `+ H 2
0
2
0 ⎞
⎟
0 ⎟
6 R 2 ⎟⎠
Este tensor posee dos autovalores iguales que se deben a la simetría alrededor de GZ.
Ello nos indica que cualquier rotación alrededor del eje GZ deja invariante la expresión
del tensor.
Mecánica Racional (Industriales)
pag. 6 / 6