MATEMATICA l (Algebra)
Trabajo Práctico Nº 2 - Relaciones y Funciones
TRABAJO PRACTICO Nº 2 - RELACIONES Y FUNCIONES
1) Sea A = {1 ; 2}. Construya P ( A) y efectúe P( A) A .
2) a) Dé un ejemplo de conjuntos A ; B ; C y D tales que : A C y B D. Observe que
A x B C x D.
b) Suponiendo que A x B C x D ¿se sigue de esto necesariamente que
A C y B D ?. Explique.
3) Sean A = { x N / 1 x 5 } y B = { 3 ; 4; 5 }. Se define R A x B mediante
(x,y) R x + y 5.
i) Definir R por extensión. ii) Representar A x B y R. iii) Determinar R-1.
4) Se consideran A = { 1; 2; 3; 4; 5 } ; B={ 1; 4; 6; 16 } ; C = {2 ;3 ;8 ;10} y las relaciones
R A x B ; S B x C, definidas por : (x,y) R y = x2
y
(y,z) S z = y/2
Se pide :
i) Determinar R y S por extensión.
ii) Definir la composición S º R A x C por extensión.
iii) Determinar los dominios e imágenes de las tres relaciones.
5) Analizar si las siguientes relaciones son o no de equivalencia.
R = {( -1,-3) ; (-2,0) ; (0,0) ; (-1,-1)}
en A = { -3, -2, -1, 0 }
S = {(2,2) ; (2,1) ; (3,3) ; (1,1) ; (3,2) ; (0,0)}
en B = {x N0 / x 3 }
6) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todas las sucesiones de ceros y unos, tal
que : R = {(a, b) / a b son sucesiones que tienen el mismo número de ceros}. ¿Es R
reflexiva? ¿simétrica? ¿antisimétrica? ¿transitiva? ; ¿es relación de equivalencia? ¿es
relación de orden?.
7) Descubrir la falla del razonamiento en la siguiente argumentación, que pretende probar
que la reflexividad es una consecuencia de la simetría y de la transitividad :
xRyxRyyRxxRx
8) a) Determinar si el conjunto P constituye una partición de Z ; P = { A1; A2 }
con A1={x Z : 2 / x} y
A2 = { x Z : 2 x }
b) Determinar si el conjunto Q constituye una partición de Z ;
Q = { N; Z- }
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Licenciatura en Sistemas de Información - Año 2009
Facultad de Ciencias Exactas, Naturales y Agrimensura - UNNE
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9) Dado el conjunto de conjuntos A = {1, 2, 3}. i) Construir P(A); ii) Determinar la relación
definida en A2 ; iii) Analizar si la relación hallada es látice
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10) Sea A a, b, c, d , e, f , g y la relación R A donde:
R (a, a);(b, b);(c, c);(d , d );(e, e);( f , f );(a, b);(a, c);(a, d );(a, e);(a, f );(a, g );(b, e);(b, g );
(c, e);(c, f );(c, g );(d , f );(d , g );(e, g );( f , g );( g, g )
i) Clasifique R.
ii) Determine si R es láttice, justifique su respuesta.
11) Diga si las siguientes relaciones son funciones y represéntelas gráficamente :
a) F : R R / f(x) = - 5 x
b) g : Z Z / g(x) =
x
2
c) h : N N / h(x) = 2 x + 3
12) Sean los conjuntos: A {a, b, c} B {a, b, c, d} C {1,2,3,4} D {1,2,3}
Analice si cada una de las siguientes relaciones es función, en tal caso, clasifíquela.
i)
De A C definida por: f (a) 3
f (b) 4 f (c) 1
f (a) 2 f (b) 1 f (c) 3 f (d ) 2
f (a) 4 f (b) 1 f (c) 3 f (d ) 2
f (a) 2 f (b) 1 f (c) 2 f (d ) 3
f (a) 2 f (a) 4 f (b) 1 f (c) 3
ii)
De B D definida por
iii)
De B C definida por
iv)
De B C definida por
v)
De A C definida por
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1) Demostrar que (A B) x C = (A x C) (B x C)
2) Demostrar que (A - B) x C = (A x C) - (B x C)
3) Sea R A2. Demostrar que la relación R R-1 es simétrica
Sean los conjuntos :
A = {a1, a2, a3, a4}
B = {b1, b2, b3, b4}
C = {c1, c2, c3}
D = {d1, d2, d3}
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y las funciones
f : A B = {(a2, b3) ; (a3, b2) ; (a4, b2)}
g : B C = {(b2, c3) ; (b3, c3) ; (b4, c3)}
h : C D = {(c1, d1) ; (c2, d2) ; (c3, d3)}
a) Determinar g º f
b) Determinar h º (g º f) y (h º g) º f
c) Demostrar que para funciones cualesquiera f, g y h : h º (g º f) = (h º g) º f
5) Dadas las relaciones :
R = {(x, y) N2 / x 3 y = 2 x }
S = { (x, y) Z2 / x 2 y = - x }
a) Determinar R y S por extensión
b) Representar R y S en gráficos cartesianos
6) Sea : R = {(a, b) Z+ x Z+ / a = b}. ¿ Es R reflexiva ? ¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ?
¿ transitiva ? ; ¿ es una relación de equivalencia ?¿ es una relación de orden ?
7) Sea A un conjunto de libros. Sea R1 una relación binaria definida en A/(a,b) R1 el libro a
cuesta mas y tiene menos hojas que b. ¿ Es R1 reflexiva ? ¿ simétrica ? ¿ antisimétrica ?
¿ transitiva ?.
8) Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todos los enteros positivos ,
tal que : R = {(a, b) / a - b es un entero positivo impar}. ¿ Es R reflexiva ? ¿ simétrica ?
¿ antisimétrica ? ¿ transitiva ?;¿ es una relación de equivalencia ? ¿ es una relación de
orden?
9) Sea P la propiedad a R b y c R b (dos elementos relacionados con un tercero, están
relacionados entre sí). Demostrar que si una relación es simétrica y transitiva, tiene la
propiedad P ; y si es simétrica y tiene la propiedad P, es transitiva.
10) Analizar si las siguientes relaciones son o no de equivalencia :
U = {(x, y) R2 / y = - 2 x + 1 }
V = {(x, y) R2 / x + 1 = y + 1 }
11) Clasificar las siguientes relaciones, de acuerdo con las propiedades que se verifiquen en
cada caso :
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Trabajo Práctico Nº 2 - Relaciones y Funciones
R1 = {(x, y) Z2 / x = y x = - y }
R2 = {(-1, -3) ; (-2, 0) ; (0, 0) ; (-1, -1)} A2, siendo A = {-3, -2, -1, 0}
R3 = {(2, 2) ; (2, 1) ; (3, 3) ; (1, 1) ; (3, 2), (0, 0)} B2, siendo B = {x N0 / x 3}
R4 = {(x, y) R2 / y = - 2 x + 1}
R5 = {(x, y) Z2 / sgte(x) = sgte(y)}
12) Dado el conjunto de conjuntos M = {A, B, C, }, donde A = {1, 2, 3, 4} ; B = {1, 3}
y C = {3}. Clasificar en M la relación “ ”. Analizar si (M, ) es láttice
13) Demostrar que (P(S), ) es láttice, siendo S un conjunto cualquiera.
14) Analizar si (N, ) y (N, / ) son láttices.
15) Sea (A, ) un conjunto ordenado. Sea R una relación binaria sobre A tal que para a y b
en A, a R b si y solo si b a.
a) Demostrar que R es una relación de orden.
b) Demostrar que si (A, ) es láttice, entonces (A, R) también es láttice.
16) Representar gráficamente las siguientes funciones :
i : N Z / i(x) = - 2 x + 1
j : Z Z / j(x) = - 2 x - 1
k : Q Q / k(x) = x / 2
17) Dar un ejemplo de función biyectiva, diagramarlo, graficarlo y anotar su función inversa.
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