Tema 9: ÁTOMOS MULTIELECTRÓNICOS SOLUCIONES

Tema 9: ÁTOMOS MULTIELECTRÓNICOS
SOLUCIONES
Ejercicio 1
Se define el operador permutación o intercambio
como el operador que
intercambia todas las coordenadas de las partículas 1 y 2.
,
,
,
,
,…,
,
,…,
,
,
,…,
,
,…,
1
1, se dice que la función es SIMÉTRICA respecto al intercambio
Cuando
de las partículas 1 y 2.
1, se dice que la función es ANTISIMÉTRICA respecto al
Cuando
intercambio de dichas partículas.
a.*
1
2
2
1
2
1
1
2
1
⇒ La función es SIMÉTRICA.
√
√
1
2
2
1
2
1
1
2
√
√
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
⇒ La función es SIMÉTRICA.
√
√
1
2
2
1
2
1
1
2
√
√
1
⇒ La función es ANTISIMÉTRICA.
1
*
β1 β2
β1 β2
β2β1
β1β2
1
⇒ La función es SIMÉTRICA.
b.√
√
1
2
2
1
2
1
1
2
√
√
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
⇒ La función es SIMÉTRICA.
√
√
1
2
2
1
2
1
1
2
√
√
1
⇒ La función es ANTISIMÉTRICA.
c.- RECORDAR: antisimétrica x simétrica = antisimétrica.
1
Ψ 1,2
Ψ 1,2
1
√2
1
Ψ 1,2
Ψ 1,2
1
√2
1
√2
2
ψ 1
1
2
2
2
2
2
2
1 .
1
√2
ψ 2
1 .
1 .
1
1
2
2
2
1
2
1
1 . β 1 β 2
1
√2
1
2
Por el principio de exclusión de Pauli (la función de onda completa del estado,
incluyendo función espacial y función de espín, debe ser antisimétrica).
2
Ejercicio 2
Estado fundamental del He_ (Z = 2): configuración electrónica 1s2.
Ψ 1,2
1 .
1 .
2 .
2
2 .
2 .
1 .
1
1 .
1
a.Ψ 1,2
1 .
1 .
2 .
2
2 .
1 .
2 .
2 .
1 .
Ψ 1,2
1 .
1
2 .
1 .
1 .
2 .
1 .
2
1 .
2 .
2 .
2 .
2 .
1 .
1
2 .
2 .
1 .
1
2
2
1
⇒ La función es ANTISIMÉTRICA.
b.-. La función
Ψ 1,2
1 .
1 .
2 .
2
Ψ 1,2
1 .
1 .
2 .
2
2 .
2 .
1 .
1 .
1
2 .
1 .
1 .
1 .
2 .
1 .
1
1 .
1
Ψ 1,2
2 .
1 .
2 .
2 .
2
1 .
2 .
2 .
2
2 .
2 .
1 .
1
2 .
2 .
1 .
1
2
1
⇒ La función es SIMÉTRICA. ⇒ Esta función NO puede representar un sistema
de dos electrones, ya que no cumple el principio de exclusión de Pauli.
3
c.Ψ 1,2 . Ψ 1,2 .
Ψ 1,2
ψ . ψ . dr .
1
1,2 .
ψ
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
1 .
1
1 (por letra)
1 .
2
2
1 .
ψ . ψ . dr
⇒
1
2
2
1
2
2
1 .
2
1
2
1
1
1
.
1
2
1
2
2
2
1
1
1
Por ortonormalidad:
1
0
Así:
1
1
1
1
2
2
2
=
2
2
2
2
⇒
1
⇒
⇒
1
2
0
0
2
1
1
1
1
1
0
1
1
2
4
Ejercicio 3
He (Z = 2) _ configuración electrónica 1s12s1.
a.I) Ψ I 1,2
1
√
ΨI 1,2
1
√
II) Ψ II 1,2
2
2
III) Ψ III 1,2
1
1
2
1
1
1
1
2
2
IV) ΨIV 1,2
1
1
√
2
2
√
Ψ III 1,2
1
1
√
Ψ II 1,2
2
2
2
1 .
2
1
1
2
2
1
1
√
1
2
2
1
2
2
2
2
1 .
2
1 .
1
2
2
2
2
1
√
2
1
2
2
2
1
2
2
1
1
1
2
1
1
1
ψ
ΨIV 1,2
1 ψ
1
√2
2
ψ
ψ
2 ψ
1 β 1 ψ
1 . β 1 β 2
2 β 2
ψ
2 β 2 ψ
1 β 1
b.Determinantes de Slater posibles:
1
√2
1
√2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
√2
1
√2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
5
1
√2
1
√2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
√2
1
√2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
Así:
Ψ I 1,2
y
Ψ IV 1,2
Para las otras dos funciones de onda, es necesario hacer combinaciones
lineales de determinantes:
Ψ II 1,2
2
Ψ III 1,2
2
y
c.-
* Ψ I 1,2
Dos orbitales s ⇒ l = 0
0 ⇒
∑
0
0
1
2
1
2
1
Como el valor de
1
⇒
1
0
1
1
6
Ψ II 1,2
Dos orbitales s ⇒ l = 0
0 ⇒
∑
0
0
1
1
2
2
0
Como el valor de
0
⇒
ó
0
0
1
0
0
Ψ III 1,2
Dos orbitales s ⇒ l = 0
0 ⇒
∑
0
0
1
1
2
2
0
Como el valor de
0
⇒
0
ó
0
1
0
0
7
* Ψ IV 1,2
Dos orbitales s ⇒ l = 0
0 ⇒
∑
0
0
1
2
1
2
1
Como el valor de
1
⇒
1
0
d.- Como en todos los casos
1
1
0, siempre se trata de estados .
* Ψ I 1,2
1
2
3
y
1
3
* Ψ II 1,2
1,
Si consideramos que en este caso
1
2
3
y
0
3
8
* Ψ III 1,2
Como consideramos en el caso anterior que
1, en este caso consideramos
0 (es intercambiable cuál de las dos consideramos como
como
1 y cuál
0, pero sólo una en cada caso – no puede haber dos funciones con
todos los números cuánticos iguales).
1
2
1
y
0
1
* Ψ IV 1,2
1
2
3
y
1
3
9
Ejercicio 4
a.- p2
m1
ms1
m2
ms2
ML
MS
1
1/2
1
-1/2
2
0
1
1/2
0
1/2
1
1
1
1/2
0
-1/2
1
0
1
-1/2
0
1/2
1
0
1
-1/2
0
-1/2
1
-1
1
1/2
-1
1/2
0
1
1
1/2
-1
-1/2
0
0
1
-1/2
-1
1/2
0
0
1
-1/2
-1
-1/2
0
-1
0
1/2
0
-1/2
0
0
0
1/2
-1
1/2
-1
1
0
1/2
-1
-1/2
-1
0
0
-1/2
-1
1/2
-1
0
0
-1/2
-1
-1/2
-1
-1
-1
1/2
-1
-1/2
-2
0
Entonces:
* el valor más alto de
El término
2, lo que corresponde con un término .
2
2 aparece con
0
0
Eso incluye los estados:
2
1
0
-1
-2
0
0
0
0
0
Término atómico:
1
10
* el valor más alto de
1
1
1 aparece en conjunción con
1 0
1
1 lo que corresponde
con un término .
1
1
1
0
0
0
-1
-1
-1
1
0
-1
1
0
-1
1
0
-1
1
2
3
3
0 y
* queda un único estado, con
0, lo que corresponde a un
término
1
⇒ Considerando la ley de Hund, de los 3 términos posibles, el más estable es
3
, ya que es el que presenta mayor valor de .
b.- p3
Se determinan todas las posibles combinaciones, y se asignan los estados
(teniendo en cuenta los mayores valores de ML y MS que se encuentran, y a
qué están asociados –seguir el ejemplo de la parte a.-).
Términos:
4
2
2
⇒ El término más estable es 4 (presenta el mayor valor de ).
11
c.- d9
(Tener en cuenta que en este caso l = 2 ⇒
2 1 0
1
2)
Término:
2
NOTA:
Los términos que provienen de una subcapa que contiene
electrones son los
mismos que los términos de una subcapa a la que le faltan
electrones.
Se pueden dividir los términos de una subcapa cerrada en dos grupos y
obtener los términos para cada grupo; puesto que una subcapa cerrada da
lugar solamente a un término 1 , los términos para cada uno de estos dos
grupos deben ser los mismos.
12