Soluciones PAU Regulación Automática Junio 2007

Junio 2007
Resuelve uno de los problemas -P5) o P6)- que se proponen a continuación:
P5) Dado el diagrama de bloques mostrado en la figura:
a) Dibuja el flujograma correspondiente. (0,7 p)
b) Simplifica el diagrama de bloques y obtén la función de transferencia entre la entrada E y
la salida S. Nota: explica muy brevemente en su caso -salvo si son repetitivos- los pasos
del proceso y las simplificaciones que realizas. (1,8 p)
c) Indica cómo se realizaría con amplificadores operacionales el punto de suma (1).
(0,5 p)
H1
H2
G1
G2
-
E +
S
+
G3
+
G4
G6
G5
H3
H4
a) Dibuja el flujograma correspondiente.
H2
H1
E
E +
-
X1
G1
X2
G2
X3
X4 +
G3
+
X5
G4
X6
-H1
1
X1
X7
S
G6
H3
E
G5
G1
X2
H4
-H2
G2
H3
X3
G3 X4
1
X5
G4
X6
G5
X7
G6
S 1
S
-H4
1
b) Simplifica el diagrama de bloques y obtén la función de transferencia entre la entrada E y
la salida S. Nota: explica muy brevemente en su caso -salvo si son repetitivos- los pasos
del proceso y las simplificaciones que realizas. (1,8 p)
En el diagrama aparecen bloques en serie, bloques con realimentación y bloques con dos
realimentaciones en paralelo.
En los bloques en serie o cascada la función de transferencia se obtiene multiplicando las
funciones de transferencia de cada uno de los bloques que forman el diagrama.
X0
X1
G1
Si X1 = G1 X0
;
G2
X 2 = G2 X 1
X2
Xn
Gn
; X 3 = G3 X 2
………….
Xn = Gn Xn-1
Sustituyendo cada variable Xi por su expresión anterior, se obtiene
X2 = G2 X1 = G2 (G1 X0) = (G2 G1) X0
X3 = G3 X2 = G3 (G2 G1) X0 = (G3 G2 G1) X0
……………………………………………………………
Xn = (Gn Gn-1 ……G3 G2 G1) X0 (1)
En los diagramas con realimentación la función de transferencia en lazo cerrado se obtiene
aplicando la relación:
G
siendo G la función de transferencia directa y H la función de
1 ± m HG
transferencia de retroalimentación.
X
E+
X = E ± H.S
S = G.X = G.E.± G.H.S
S
G
S m G.H.S = G.E ; S.(1 m G.H ) = G.E
±
H
S=
G
1 m G.H
E
G.
.E (2)
1 m G.H
S
Para obtener la función equivalente a las dos retroalimentaciones en paralelo se suman
algebraicamente las funciones de retroalimentación.
H2
X = E ± H1.S ± H2.S ; X = E ± (H1 ± H2) S (3)
±
E+
X
G
S
E+
±
H1
X
G
±
H1±H2
S
Si
en
el
dia
gra
ma
se
apli
ca
(1), se obtiene:
2
H1. H2
-
E +-
S
+
G1. G2. G3
G4.G5.G6
-
+
H3
H4
Aplicando (3) se obtiene:
E +
+
G1. G2. G3
G4.G5.G6
S
-
+
H3-H1.H2
H4
Aplicando (2) se obtiene:
E
G 1 *G 2 * G3
1 − (H 3 − H 1 * H 2 ) *G 1 *G 2 * G 3
G 4 * G5 * G 6
1 + H 4 * G 4 * G5 * G 6
S
Aplicando nuevamente (1), se obtiene la función de transferencia en lazo cerrado:
G1 * G2 * G3 * G4 * G5 * G6
1 + H 4 * G4 * G5 * G6 − H * G1 * G2 * G3 + H1 * H 2 * G1 * G2 *G 3 −H 3*H 4 * G4 * G5 * G6 + H1 * H 2 * H 4 * G1 * G2 * G3 * G4 * G5 * G6
P6) Se quiere implantar un sistema de control para un proceso productivo en el que se
conoce la existencia de una entrada E, y de una salida S, de tal forma que entradas y salida
se pueden relacionar a partir de unas funciones G y H, y de unas variables intermedias Xi.
Estas relaciones vienen dadas por:
X1 = E - H3*S; X2 = X1 – H1* X4
X3 = G1* X2 ; X4 = G2*X3
X5 = X4 – H2*X6 ; X6 = G3*X5 ; S = G4*X6
a) Obtén el diagrama de bloques correspondiente a las ecuaciones anteriores. (1,2 p)
b) Simplifica el diagrama de bloques anterior y determina su función de transferencia en
lazo cerrado. (1,8 p)
3
a) Obtén el diagrama de bloques correspondiente a las ecuaciones anteriores. (1,2 p)
E+
X1
+
-
X2
X3
G1
G2
-
X4+
X5
G3
X6
G4
S
H1
H2
H3
b) Simplifica el diagrama de bloques anterior y determina su función de transferencia en
lazo cerrado. (1,8 p)
En el diagrama aparecen bloques en serie, bloques con realimentación o en malla cerrada
En los bloques en serie o cascada la función de transferencia se obtiene multiplicando las
funciones de transferencia de cada uno de los bloques que forman el diagrama.
X0
X1
G1
Si X1 = G1 X0
;
G2
X 2 = G2 X 1
X2
; X 3 = G3 X 2
Gn
………….
Xn
Xn = Gn Xn-1
Sustituyendo cada variable Xi por su expresión anterior, se obtiene
X2 = G2 X1 = G2 (G1 X0) = (G2 G1) X0
X3 = G3 X2 = G3 (G2 G1) X0 = (G3 G2 G1) X0
……………………………………..
…………………………………………..
Xn = (Gn Gn-1 ……G3 G2 G1) X0 (1)
En los diagramas con realimentación la función de transferencia en lazo abierto se obtiene
aplicando la relación:
G
siendo G la función de transferencia directa y H la función de
1 ± m HG
transferencia de retroalimentación.
E+
X
S
G
X = E ± H.S
S = G.X = G.E.± G.H.S
S m G.H.S = G.E ; S.(1 m G.H ) = G.E
±
H
S=
E
G
1 m G.H
G.
.E (2)
1 m G.H
S
4
Aplicando (1) se obtiene:
E+
+
-
+
G1*G2
-
G3
G4
S
H1
H2
H3
Aplicando (2)
E +
G3
1 + G3 * H 2
G1 * G2
1 + G1 * G2 * H1
G4
S
-
H3
Aplicando (1)
E +
G1 * G2 * G3 * G4
1 + G3 * H 2 + G1 * G 2 * H1 + G1 * G2 * G3 * H1 * H 2
S
-
H3
La función de transferencia en lazo o malla abierta se obtiene multiplicando la función de
transferencia directa, G, por la función de transferencia de la retroalimentación, H.
En este caso será:
G1 * G2 * G3 * G4
* H3
1 + G3 * H 2 + G1 * G 2 * H1 + G1 * G2 * G3 * H1 * H 2
La función de transferencia en lazo o malla cerrada es la relación entre la señal de salida y la de
entrada: S = G . En este caso será:
E
1m H *G
G1 * G2 * G3 * G4
1 + G3 * H 2 + G1 * G2 * H1 + G1 * G2 * G3 * H1 * H 2
G1 * G2 * G3 * G4
=
G1 * G2 * G3 * G4
1 + G3 * H 2 + G1 * G2 * H1 + G1 * G2 * G3 * H1 * H 2 + G1 * G2 * G3 * G4 * H 3
1+
* H3
1 + G3 * H 2 + G1 * G2 * H1 + G1 * G2 * G3 * H1 * H 2
G1 * G2 * G3 * G 4
s
=
E 1 + G3 * H 2 + G1 * G 2 * H1 + G1 * G2 * G3 * H1 * H 2 + G1 * G2 * G3 * G 4 * H 3
5
También se puede obtener la función de transferencia en lazo cerrado utilizando las ecuaciones.
X1 = E - H3*S; X2 = X1 – H1* X4
X3 = G1* X2 ; X4 = G2*X3
X5 = X4 – H2*X6 ; X6 = G3*X5 ; S = G4*X6
X2 = E - H3*S - H1* X4 ;
X3 = G1* X2
X3 = G1* (E - H3*S - H1* X4) ; X3 = G1* E – G1* H3*S – G1* H1* X4
X4 = G2*X3
X4 = G2* G1* E – G2* G1* H3*S - G2* G1* H1* X4
X4 + G2* G1* H1* X4 = G2* G1* E – G2* G1* H3*S
X4 (1+ G2* G1* H1) = G2* G1* E – G2* G1* H3*S
X4 =
G 2 * G1 * E − G 2 * G1 * H 3 * S
1 + G 2 * G * H1
X5 = X4 – H2*X6
X5 =
G 2 * G1 * E − G 2 * G1 * H 3 * S
− H2 * X6
1 + G2 * G1 * H1
X6 = G3*X5
X6 =
G3 * G 2 * G1 * E − G3 * G2 * G1 * H 3 * S
− G3 * H 2 * X 6
1 + G2 * G1 * H1
X 6 + G3 * H 2 * X 6 =
G3 * G2 * G1 * E − G3 * G2 * G1 * H 3 * S
1 + G2 * G1 * H1
X 6 * (1 + G3 * H 2 ) =
G3 * G2 * G1 * E − G3 * G 2 * G1 * H 3 * S
1 + G 2 * G1 * H1
X6 =
G3 * G 2 * G1 * E − G3 * G2 * G1 * H 3 * S
G3 * G 2 * G1 * E − G3 * G2 * G1 * H 3 * S
=
1 + G3 * H 2 + G 2 * G1 * H1 + G2 * G1 * G3 *H 1*H 2
(1 + G2 * G1 * H1 ) * (1 + G3 * H 2 )
S = G4*X6
S=
G 4 * G3 * G2 * G1 * H 3 *
G 4 * G3 * G2 * G1 * E − G 4 * G3 * G 2 * G1 * H 3 * S
G 4 * G3 * G2 * G1
*
=
*E −
1 + G3 * H 2 + G2 * G1 * H1 + G 2 * G1 * G3 *H 1*H 2 1 + G3 * H 2 * +G2 * G1 * H1 + G 2 * G1 * G3 * H1 * H 2
1 + G3 *H 2 +G2 * G1 * H1 +G 3 *G2 * G1 * H 2 * H1
S+
G 4 * G3 * G2 * G1
G4 * G3 * G2 * G1 * H 3
*E
*S =
1 + G3 * H 2 + G 2 * G1 * H1 + G3 * G2 * G1 * H 2 * H1
1 +G 3 *H 2 + G 2 * G1 * H1 + G3 * G 2 * G1 * H 2 * H1
S * (1 +
G 4 * G3 * G2 * G1 * H 3
G4 * G3 * G2 * G1
*E
)=
1 + G3 * H 2 + G2 * G1 * H1 + G3 * G2 * G1 * H 2 * H1
1 +G 3 *H 2 + G2 * G1 * H1 + G3 * G2 * G1 * H 2 * H1
G4 * G3 * G2 * G1
1 + G3 * H 2 + G 2 * G1 * H1 + G3 * G2 * G1 *H 2 *H1
S=
*E
1 + G3 * H 2 + G2 * G1 * H1 + G3 *G 2 *G1 * H 2 *H 1+G4 * G3 * G2 *G1*H 3
1 + G3 * H + G2 * G1 * H1 + G3 * G2 * G1 * H 2 * H1
G 4 * G3 * G2 * G1
S
=
E 1 + G3 * H 2 + G2 * G1 * H1 + G3 * G2 * G1 * H 2 * H1 + G 4 * G3 *G 2 *G1 * H 3
Siendo la función de transferencia en lazo cerrado:
G4 * G3 * G 2 * G1
1 + G3 * H 2 + G 2 * G1 * H1 + G3 * G 2 * G1 * H 2 * H1 + G 4 * G3 *G 2 *G1 * H 3
6