Bajar fasciculo - Nelson Caceres

5
Tabla de contenido
Página
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
3
Problema de enfriamiento
3
Caída de cuerpos
6
Mezclas o diluciones
10
Trayectorias ortogonales
13
Resumen
16
Bibliografía recomendada
16
Párrafo nexo
16
Autoevaluación formativa
17
5
Copyright©1999 FUNDACION UNIVERSITARIA SAN MARTIN
Facultad de Ingeniería de Sistemas.
Sistema de Educación Abierta y a Distancia.
Santa Fe de Bogotá, D.C.
Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización por
escrito del Presidente de la Fundación.
La redacción de este fascículo estuvo a cargo de
JAIME PRECIADO LOPEZ
Sede Santa Fe de Bogotá, D.C.
Diseño instruccional y orientación a cargo de
MARIANA BAQUERO DE PARRA
Diseño gráfico y diagramación a cargo de
SANTIAGO BECERRA SAENZ
ORLANDO DIAZ CARDENAS
Impreso en: GRAFICAS SAN MARTIN
Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825
Santa Fe de Bogotá, D.C.
2
5
Aplicaciones de las
ecuaciones diferenciales
En este fascículo solucionaremos algunos ejemplos, en problemas,
donde utilizamos las ecuaciones diferenciales de primer orden; en ellos
veremos el uso de éstas y llegaremos a su solución con los métodos
que hemos trabajado.
Las aplicaciones que contemplamos aquí corresponden a problemas de
enfriamiento, caída de cuerpos, mezclas o diluciones y trayectorias ortogonales. Es de anotar que hemos trabajado ya algunas aplicaciones tales como problemas de crecimiento y decrecimiento, en el fascículo 8, y
los problemas de circuitos en el fascículo 9. Por esta razón se incluyen
algunos ejercicios en actividad de estos casos.
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:



Plantea problemas correctamente empleando ecuaciones diferenciales.
Resuelve correctamente ecuaciones diferenciales lineales.
Reconoce la importancia de las ecuaciones diferenciales en la solución de problemas científicos.
Problema de enfriamiento
La ley de newton sobre enfriamiento establece que la razón a la que un
objeto se enfría es proporcional a la diferencial de la temperatura entre
el objeto y el medio ambiente. Si llamamos
po y
Tm
T
a la temperatura del cuer-
la temperatura del medio ambiente, entonces el cambio de la
3
5
Isaac Newton (1642 –
1.727). Publicó en 1686 su
obra “Principios Matemáti-
cos de la Filosofía Natural”, donde enuncia las
temperatura con respecto al paso del tiempo es
dT
dt
y por tanto pode-
mos formular la Ley de Enfriamiento de Newton como:
dT
 k T  Tm 
dt
tres Leyes del Movimiento.
Donde
k
(1)
es una constante de proporcionalidad, la ecuación (1) tam-
bién la podemos escribir como:
dT
 kT  kTm
dt
(2)
debemos reconocer (2) como una ecuación lineal y de esa forma podemos resolverla. Veamos un ejemplo.
Ejemplo
Un cuerpo sacado de un horno a
está a
300 o F
es colocado en cuarto que
75 o F ; si la temperatura decae hasta 200 o F
en media hora,
¿cuál será la temperatura al cabo de tres horas?.
Podemos aplicar la Ley de Enfriamiento de Newton, si llamamos
la temperatura medida en grados
dT
 kT  kTm
dt
De donde
dT
 kT  k (75 )
dt
4
a
F , a las horas t , entonces debemos
resolver la ecuación:
Sabemos que
T (t )
5
T ( 0)  300 o F
1
T    200 o F
 2
y queremos hallar
T (3) . Resolvamos nuestra ecuación:
dT
 kT  75 k
dt
para esta ecuación lineal el factor de integración es:
e
kdt
 e kt
Al multiplicar nuestra ecuación por el factor de integración y escribirla
como derivadas obtenemos:
d kt
e T   75ke kt
dt
Integrando respecto a
t
e ktT  75(e kt  c )
De donde
T  75  ce  kt
Como
T
es función del tiempo podemos escribir
T (t )  75  ce  kt
Si reemplazamos las condiciones dadas
T(0)  300 o F
obtenemos
300  75  ce  kt
de donde, así, entonces
T (t )  75  225e  kt
5
5
además como
1
T    200 o F
 2
entonces
200  75  225 e
k
1
2
de donde, así nuestra ecuación es:
T (t )  75  225e 1,175t
podemos ahora encontrar la temperatura a las tres horas, haciendo:
T (3)  75  225 e 1,175.(3)
T (3)  81,6o F
Caída de cuerpos
Si consideramos un cuerpo de masa
m
cayendo verticalmente hacia
abajo sometido a la acción única de la gravedad
g
y a una resistencia
del aire proporcional a la velocidad del cuerpo, entonces, si elegimos la
dirección hacia abajo como la dirección positiva y suponemos que la
masa del cuerpo y el valor de la gravedad permanecen constantes podemos enunciar la segunda ley de Newton para el movimiento así:
La cantidad de movimiento
o momento lineal frecuentemente representado por la
letra
, de un cuerpo de
p
masa m
v
p  mv .
y velocidad
está dado por
La fuerza neta (total), que actúa sobre un cuerpo es igual a la tasa de
cambio en el tiempo de la cantidad de movimiento del cuerpo, para una
masa constante; de este modo si llamamos
velocidad del cuerpo de masa
m
F
en el tiempo
F m
a la fuerza neta y
t
v
a la
podemos escribir que:
dv
dt
Si analizamos las fuerzas que actúan sobre un cuerpo podemos considerar dos, la fuerza debida a la gravedad, dada por
la resistencia del aire, dada por
6
 kv , con k
mg
y la fuerza de
una constante positiva; el
5
signo menos indica que esta fuerza se opone a la velocidad, es decir,
en dirección negativa como muestra la figura 1.
Figura 11.1
Fuerzas actuando
sobre un cuerpo que cae.
Por tanto, la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es
F  mg  kv
Si sustituimos en la ecuación para la Segunda ley de Newton tenemos:
mg  kv  m
De donde
dv
dt
dv k
 vg
dt m
Esta última ecuación también es una ecuación diferencial lineal; además
si la resistencia del aire es despejable entonces
reduce a:
si
k  0 , la velocidad limite v l
k0
y la ecuación se
dv
g
dt
es definida por
vl 
mg
k
veamos un ejemplo de aplicación.
7
5
Ejemplo
Un cuerpo que pesa 64 Newtons se deja caer desde la altura de 100
metros con velocidad inicial
10 m
s
. Si suponemos que la resistencia
del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo y la velocidad límite es
128 m
s
, encontramos expresiones para la velocidad del cuerpo y la
posición en cualquier instante del tiempo
Un Newton (1N) es la fuerza necesaria para que un
cuerpo de un kilogramo (1
kg) adquiera una aceleración de un metro por segundo cuadrado 1 m 2 .
 s
1N  1kg.1
t.
De los datos suministrados en el problema tenemos:
Peso del cuerpo
64 N  mg de donde si g  9,8 m
m
m kgm
 2
s2
s
Además
v  128 m
s
64 N
 6,5kg
9,8 m 2
s
, entonces como
vl 
mg
k
m
2
mg 64
1
s
k


v l 128 m
2
2
s
kg
con estos valores nuestra ecuación diferencial es
dv k
 vg
dt m
dv 1
 v  9,8
dt 13
si resolvemos esta ecuación lineal obtenemos
v  128  ce
8

1
t
13
así
s2
entonces
5
v( t )  128  ce
es decir,
1
 t
13
de las condiciones del problema tenemos que en
10 m
s
la velocidad es
por tanto
10  v (0)  128  ce
así
t0
1
 .0
13
c  118
por tanto la expresión pedida para la velocidad es
v ( t )  128  118 e
Si recordamos que
ces
x   vdt ,
v
dx
dt
donde
x
es la posición del objeto, enton-
por tanto
x( t )   128  118 e
t
x(t )  128  1534 e
como en
t0
t

13
el cuerpo se encuentra en
13
t
dt
13
d
x  0 metros, (porque esta-
mos considerando que comienza su movimiento hacia abajo) tenemos
que:
0
13
de donde
0  128 .0  1534 e d
1534  d ; así la expresión para el cálculo de la posición
en cualquier instante del tiempo es:
x(t )  128  1534 e
t
13
 1534
9
5
Mezclas o diluciones
Consideremos un tanque o recipiente que contiene inicialmente
v0
ga-
lones de una solución salina (por ejemplo, salmuera, agua con sal), supongamos que en el tanque hay
salina que contiene
e
b
a
libras de sal disueltas. Otra solución
libras de sal por galón entra al tanque a razón de
galones por minuto; simultáneamente la solución bien mezclada, sale
del tanque a una velocidad de
f
galones por minuto. Queremos en-
contrar la cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instante
Llamemos
Q
t.
a la cantidad de sal (en libras) en cualquier instante del
tiempo (es decir
Q(t ) ), así
dQ
dt
es el cambio de la cantidad de sal que
hay en el tanque con respecto al cambio del tiempo; esta cantidad es
igual a la razón de entrada de sal menos la razón a la cual sale la sal del
tanque, es decir,
dQ
= (razón entrada) – (razón de salida)
dt
la razón de entrada es:
Razón de entrada = b
lib
galón
lib
.e
 be
galón min
min
Para calcular la razón de salida primero calculamos el volumen de solución salina que hay en el tanque en cualquier instante
men inicial
v0
t ; este es el volu-
más el volumen de la solución salina agregada
ft ; en-
tonces el volumen de la solución salina en cualquier instante corresponde a
v0  et  ft  galones.
Por tanto, la concentración de sal en el tanque en cualquier instante es:
10
5

 libras
Q


galones
v

et

ft
 o

Como la solución sale del tanque a razón de
f
galones por minuto
entonces se deduce que la sal sale del tanque a razón de:
Q
lib
galón
f
lib
.f

Q
v0  et  ft galón
min
v0  et  ft min
entonces:
dQ
f
 be 
Q
dt
v 0  ( e  f )t
equivalente a
dQ
f

Q  be
dt v0  (e  f )t
(1)
Resolvamos un ejemplo para esta aplicación.
Ejemplo
En un tanque hay una libra de sal disuelta en 100 galones de agua. Una
solución salina que contiene 1 libra de sal por galón entra al tanque a
razón de 3 galones por minuto. La solución se mantiene totalmente agitada y sale del tanque a la misma razón. Encontremos la cantidad de
sal que hay en el tanque en cualquier instante
t.
Para este ejercicio, y de acuerdo con lo planteado teóricamente, podemos decir que:
v 0 = 100 galones
a = 1 libra
b = 1 libra/gal
e = 3 galones/min
f = 3 galones/min
11
5
así:
dQ
f

Q  be
dt vo  (e  f )t
que para nuestro ejercicio corresponde a:
dQ
3

Q  1.3
dt 100  (3  3)t
de donde
dQ
 0,03Q  3
dt
al resolver esta ecuación lineal obtenemos:
Q(t )  100  ce 0,03t
como en el instante
t  0 la cantidad de sal es 1 libra entonces
1  100  ce 0,03.0 de donde c  99
así la cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instante de
tiempo es
Q(t )  100  99e 0,03t
Si deseamos por ejemplo saber la cantidad de sal que hay en el tanque
a las 2 horas de iniciado nuestro procedimiento podemos hacer
t 3 y
obtenemos
Q(3)  100  99e 0 , 03.3
 9,52 libras
Si deseamos saber, por ejemplo en que instante habrá en el tanque 5
libras de sal, basta con hacer
Q(t )  5
y despejar
5  100  99e 0,03t
de donde
 95  99e 0,03t
12
t.
5
es decir
 95 
ln   0,03t
 99 
ó
 0,04  0,03t
1,37 horas  t
Trayectorias ortogonales
Se dice que dos curvas
C1
y
C2
que se intersectan en un punto son
ortogonales en dicho punto si y sólo si las rectas tangentes a las curvas
en el punto mencionado son perpendiculares entre si.
Recuerda que: dos rectas son perpendiculares si el producto
de sus pendientes es –1.
m1 .m2  1, de donde m2   1 .
m1
Definición
Cuando una familia de curvas
a otra familia
G ( x , y , c1 )  0
cortan ortogonalmente
H ( x , y , c2 )  0 , se dice que las familias son cada una
trayectorias ortogonales de la otra.
Las trayectorias ortogonales son encontradas con frecuencia en estudios meteorológicos y en campos eléctricos alrededor de cargas opuestas.
Si queremos hallar las trayectorias ortogonales de una familia de curvas
dadas se encuentra primero
dy
dx
para la familia dada; esto nos da
13
Recuerda que si
dy
dx
co-
rresponde a la pendiente
de la recta tangente a la
curva en
en algún punto
x.
y
5
dy
 f ( x, y)
dx
y resolviendo la ecuación
dy
1

dx f ( x , y )
encontra-
mos las trayectorias ortogonales de la familia dada.
Ejemplo
Halla las trayectorias ortogonales de la familia de curvas
familia que está dada por
asimétricas al eje
y,
F ( x, y, c)  y  cx 2
y  cx 2 . La
consiste en parábolas
con su vértice en el origen. Derivando implícita-
mente la ecuación dada con respecto a
x
obtenemos:
dy
 2cx .
dx
Para eliminar
c
observamos de la ecuación dada que
c
por lo tanto
y
x2
dy 2 y

dx
x
Aquí
F ( x, y) 
2y
x
se convierte en
dy  x

dx 2 y
o
xdx  2 ydy  0
la solución a este ecuación separable es
1 2
x  y2  k .
2
La figura 2 muestra las 2 familias de curvas ortogonales del ejemplo anterior.
14
5
Figura 11.2 Familias ortogonales
11.1
Resuelve los siguientes problemas
1. Un cuerpo a una temperatura desconocida se pone en un refrige-
0o F . Si después de 20
o
minutos la temperatura del cuerpo es 40 F y después de 40
o
minutos la temperatura del cuerpo es de 20 F . Halla la temperador a una temperatura constante de
ratura inicial de éste.
50 o F se pone en un horno cuo
ya temperatura se mantiene a 150 F . Si después de 10 minuo
tos la temperatura del cuerpo es de 75 F , halla el tiempo reo
querido por el cuerpo para llegar a una temperatura de 100 F .
2. Un cuerpo a una temperatura de
3. Se sabe que la población de un estado crece a una rata proporcional al número de habitantes que viven actualmente en el estado. Si
después de 10 años la población se ha triplicado y después de 20
años la población es de 150.000 habitantes, halla el número de
habitantes que había inicialmente en el estado.
4. Un cuerpo de masa m se lanza verticalmente en el aire con una
velocidad inicial
a.
b.
c.
vo .
El cuerpo no encuentra resistencia al aire.
Halla:
La ecuación del movimiento.
Una expresión para la velocidad del cuerpo en un momento
El momento
tm
t.
en el cual llega el cuerpo a su altura máxima.
d. Una expresión para la posición del cuerpo en un momento
e. La altura máxima alcanzada por el cuerpo.
t.
15
5
5. Un tanque contiene inicialmente 10 galones de agua pura. Para
t  0 , una solución salina que contiene media libra de sal por
galón se agrega en el tanque a una rata de 2 gal/min., mientras
que una solución bien mezclada sale del tanque a la misma rata.
Halla:
a.
La cantidad.
b.
La concentración de sal en el tanque en cualquier momento t .
6. Halla las trayectorias ortogonales de la familia de curvas
y  ce x
7. Halla las trayectorias ortogonales de la familia de curvas
x 2  y 2  cx
En este fascículo hemos trabajado algunas de las aplicaciones de las
ecuaciones lineales a problemas reales; hemos reconocido la importancia de las ecuaciones diferenciales y su método de solución en el planteamiento y búsqueda de respuesta en áreas diversas de la ciencia.
Rainville, Earl D. y Otros. Ecuaciones diferenciales. México: Ed. Prentice
Hall, octava edición, 1997, cap. 1 y 2
Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado.
México: Ed. Inter. – Thomson Editores, sexta edición, 2000, cap. 3.
En el fascículo siguiente iniciaremos el estudio de las ecuaciones diferenciales de orden superior, Solucionaremos ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes. Para llevar a cabo este procedimiento haremos uso de la llamada ecuación característica o auxiliar de la ecuación diferencial dada.
16
5
A
u
t
o
e
v
a
l
u
a
c
i
ó
n
f
o
r
m
a
t
i
v
a
Ecuaciones diferenciales - Fascículo No. 11
Nombre_____________________________________________________________________
Apellidos ________________________________________ Fecha ____________________
Ciudad __________________________________________ Semestre _________________
Resuelve los siguientes problemas:
1. Un cuerpo con una masa de 10 slugs se suelta de una altura de 10.000 pies
sin velocidad inicial. El cuerpo encuentra una resistencia del aire proporcional
a su velocidad. Si la velocidad límite debe ser de 320 pies / segundo, encuentra
a. Una expresión para la velocidad del cuerpo en un momento
t.
t
b. Una expresión para la posición del cuerpo en un momento .
c. El tiempo que necesita el cuerpo para alcanzar la velocidad de 160
pies / segundo.
2. Un tanque contiene inicialmente 80 galones de solución salina con media libra
de sal por galón. Para t  0 , otra solución salina que contiene 1 libra de sal
por galón se agrega en el tanque a una rata de 4 gal./min., mientras que una
solución bien mezclada sale del tanque a una rata de 8 gal./min. Halla la cantidad de sal en el tanque cuando éste contiene exactamente 40 galones de solución.
3. Halla las trayectorias ortogonales de la familia de curvas
x2  y2  c2
17