1. Introducción 2. L´ımites 3. Derivadas

Departamento de Matemática Aplicada
CÁLCULO COMPUTACIONAL.
Licenciatura en Quı́mica (Curso 2009-10)
Cálculo Simbólico. Práctica 6
Escribe en la lı́nea de comandos las órdenes necesarias para resolver estas cuestiones. Guárdalas en diferentes
ficheros de nombres miscalculossimbolicos1D.m, miscalculossimbolicos2D.m, etc.
1.
Introducción
En esta práctica vamos a a utilizar los comandos del programa Matlab de Cálculo Simbólico. En particular
vamos a ver cómo se pueden calcular lı́mites, derivadas e integrales.
2.
Lı́mites
Ejemplo 1 Cálculo de lı́mites.
Queremos calcular el lı́mite siguiente:
x2 − 3
x→3 3x5 + 5x
lı́m
Procedemos de la manera siguiente:
Definimos la variable simbólica x: >>syms x
Escribimos >>l=limit((x^2-3)/(3*x^5+5*x),x,3)
Ejecutamos el comando, nos dará el resultado que en este caso es
1
124
Ejercicio 1 Calcular los siguientes lı́mites:
ex − 1
a) lı́m
x→0 log(1 + x)
x + sen(πx)
b) lı́m
x→0 x − sen(πx)
1
c) lı́m (ex + x) x
x→0
xeax − x
d) lı́m
, (a ∈ IR)
x→0 1 − cos(ax)
sen(3x)
e) lı́mπ
x→ 3 1 − 2 cos x
1
f ) lı́m (x4 + 1) ln x
x→∞
3.
Derivadas
Ejemplo 2 Queremos calcular la derivada tercera de la función:
y = 4x sen x
Escribimos la función simbólica, después de haber definido la variable x.
>>y=4*x*sin(x)
Escribimos el comando >>diff(y,3)
Y nos debe dar como resultado:
−4x cos x − 12 sen x
Si hacemos:
>>d3=diff(y,3)
>>subs(d3,x,pi/2)
π
Obtenemos como respuesta −12, es decir, el valor de la derivada tercera de la función y en x = .
2
Ejercicio 2 µ
Calcular ¶
las derivadas primeras y segundas de las siguientes funciones en el punto x = 2:
x2
x
a)f (x) =
−
(7 − 5x6 )2
2
3
b)f (x) = (7x − 5)2
c)f (x) =
4x3 + 3x
(x − 1)2
dx2 + ex + f
x2
x 1
+ +
a
b
c
d)f (x) = (x − a)(x − b)(x − c)
1
e)f (x) = (x + a) 3 (x − a)
f )f (x) =
4.
−1
3
p
1 + (x2 − 7)1/2
Integrales
Ejemplo 3 Queremos calcular la integral indefinida
Z
x
dx
x2 + 1
Después de definir la variable simbólica x, definimos la función:
>>y=x/(x^2+1)
Calculamos la integral con el comando >>int(y)
Nos dará la solución:
1
ln(x2 + 1)
2
Ejercicio
3 Calcular las siguientes integrales indefinidas:
Z
log x
√ dx
a)
x
Z
√
b) arctg xdx
Z
c)
Z
d)
Z
e)
Z
f)
a
dx
x2 + b2
x2
x+1
dx
+ 4x + 5
x2
x2
dx
−x+1
x2
dx
x2 + x + 1
Ejemplo 4 Queremos calcular la integral definida:
Z
0
1
x2
x
dx
+1
Una vez definida la función simbólica, como en el ejemplo anterior, escribimos el comando
>>int(y,0,1)
Que nos ofrece la solución simbólica:
1/2*log(2)
Si queremos el resultado en forma numérica lo haremos con el comando quad y una función definida o bien con
un fichero function.m o bien del siguiente modo
>>F = inline(’x./(x.^2+1)’);
>> Q = quad(F,0,1)
Q =
0.3466
Ejercicio 4 Calcular las integrales que se calcularon en el ejercicio anterior, pero haciéndolas todas ellas definidas
en el intervalo [10, 12], ofreciendo el resultado en forma algebraica y en forma numérica.
Ejemplo 5 Integrales Múltiples. Si queremos el resultado de
¶
Z 2 µZ 1
2
(x + y) dx dy
−3
0
en forma numérica (para lı́mites constantes) lo haremos con el comando dblquad y una función definida o bien
con un fichero function.m o bien
>> F=inline(’x.^2+y’)
o bien
>> F=inline(’x.^2+y’,’x’,’y’)
>> Q = dblquad(F,0,1,-3,2)
Q =
-0.8333
Se pueden calcular integrales con lı́mites variables haciendo que el integrando sea cero fuera de la region. Por
ejemplo,
!
2
Z ÃZ
2
−3
10−y
(x2 + y) dx
dy
0
o bien
>>F = inline(’(x.^2+y).*(x<=10-y^2).*(x>=0)’);
>> Q = dblquad(F, 0, 10, -3, 2)
Q =
931.0119
En particular, el volumen de una semiesfera se puede calcular
>>F = inline(’sqrt(max(1-x.^2-y.^2,0))’,’x’,’y’); Q = dblquad(F, -1, 1, -1, 1)
Si queremos calcular integrales triples en forma numérica (para lı́mites constantes) lo haremos con el comando
triplequad y una función definida o bien con un fichero function.m o bien como en el ejemplo anterior.
Ejercicio
Z 2 Z51 Calcular las siguientes integrales múltiples:
a)
(x2 + y)dxdy
−3
Z
b)
Z
c)
0
1Z
1
(1−x2 ) 2
dydx
0
0
Z
1
−1
Z
d)
Z
e)
Z
|x|
Z
1
ex+y dydx
−2|x|
1
(1−y 2 ) 2
dxdy
0
0
Z
1
1
−1
−1
1
z
Z
Z
Z
0
(x2 + y 2 + z 2 )dxdydz
−1
y
f)
0
1
0
(xy 2 z 3 )dxdydz
Z
g)
1
Z
0
Z
h)
y
0
∞
Z
−∞
Z
0
∞
x
√
3
x
dzdxdy
x2 + z 2
2
e−x
−y 2
dxdy
−∞
i) Calcula simbólicamente
Z
∞
Z
Sabiendo que
Calcula
0
0
Z
∞
0
y
3
xe−y dxdy =
1
,
6
Z
y
3
xe−y dxdy.
0
calcula una aproximación nuérica. ¿Qué ocurre?.
>> Q1 = dblquad(F, 0, 1, 0, 10)
>> Q2 = dblquad(F, 1, 10, 0, 10)
>> Q1+Q2-1/6
Justifica el resultado.
5.
Polinomios de Taylor
Ejemplo 6 Calcular el Polinomio de Taylor de grado 6 de la función f (x) = sin(x) en x =
π
2.
>>taylor(sin(x),pi/2,6)
ans=
1-1/2*(x-1/2*pi)^2+1/24*(x-1/2*pi)^4
Pero también podemos hacer >>taylortool y seguir las indicaciones.
Ejercicio 6 Sea la función f (x) = ex :
a) Calcular los polinomios de McLaurin de grados n=2,4,10 y representarlos, utilizando ezplot, junto a la
gráfica de la función.
b) Calcular los polinomios de Taylor en torno a x = 1 para los grados n=2,4,10 y representarlos junto a la
gráfica de la función.
Ejercicio 7 Sea la función f (x) = sen(x):
a) Calcular los polinomios de McLaurin de grados n = 3, 5, 11 y representarlos junto a la función.
b) Calcular los polinomios de Taylor en x = π2 para los grados n = 3, 5, 11 y representarlos junto a la función.
c) Utilizar el polinomio de McLaurin con n = 3 y el polinomio de Taylor, también con n = 3, en torno a x = π2
para calcular aproximadamente en valor de sen(0,1). Compararlo con los valores reales. Lo mismo con el valor de
sen(1,5). ¿En qué casos nos se obtiene una mejor aproximación? ¿Por qué?
Ejercicio 8 Investigar qué hace el comando >>funtool
Hacer help y resolver el problema que se plantea en él: (“The Demo button poses the following challenge...”)