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Universidad Nacional de Tucumán
Facultad de Ciencias Económicas
Licenciatura en Economía
Año 2016
ECONOMIA MATEMÁTICA
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Definición: es una ecuación donde la incógnita es una función de una única variable (por
lo general, del tiempo).
La solución general de una ec. diferencial está formada por todas las funciones que la
satisfacen. La solución contiene tantas constantes arbitrarias como el orden de la
ecuación.
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE VARIABLES SEPARABLES:
Si una ecuación diferencia puede expresarse de la forma: M ( x )dx + N ( y )dy = 0 , donde
M y N son funciones de las variables x e y respectivamente, entonces la solución
general es
∫ M (x )dx + ∫ N ( y )dy = C , con C
constante arbitraria.
Ejercicio 1:
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando el método de variables
separables:
a-
1 + x 2 dy + x y − 1dx = 0
b-
x(2 y − 3)dx + x 2 + 1 dy = 0
c-
(1 + t )x ′ = t
d-
dx
= e x− y
dy
ln x x
=
y′
y
e-
(
3
2
x
y (0) = 2
)
x(0) = 2
ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA:
Una ecuación de la forma: M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 , se llama diferencial exacta si existe
una función F tal que dF ( x, y ) = M ( x, y )dx + N ( x, y )dy . La solución general de esta
ecuación es F ( x, y ) = C
La condición necesaria y suficiente para que una ecuación sea diferencial exacta es que
M ( x, y ) y N ( x, y ) sean funciones continuas y tienen derivadas parciales de 1º orden
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continuas en una región R del plano XY , se dice que M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 es una
ec. diferencial exacta ⇔
∂M ∂N
=
∂y
∂x
Ejercicio 2:
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando el método de la diferencial
exacta:
b-
(x + y )dx + (2 xy )dy = 0
(2 xy + ye )dx + (2 x y + e
c-
x 2 y 3 dx + x 3 y 2 dy = 0
a-
dfg-
2
2
2
x
2
x
− 1)dy = 0
dy
ey
=
dx 2 y − xe y
xy ′ + y + 4 = 0
(y ln y − e )dx +  1y + x ln y dy = 0
− xy


ECUACIÓNES DIFERENCIALES LINEALES DE 1º ORDEN:
Definición: una ecuación diferencial lineal de 1º orden, es aquella que puede expresarse
de la forma y ′ + P( x ) y = Q(x ) donde P y Q son funciones de x , continuas sobre un
intervalo dado.
Si Q( x ) = 0 se dice que la ecuación diferencia es homogénea.
La solución general viene dada por la expresión:
− P ( x ) dx 
∫ P ( x ) dx dx + Ce − ∫ P ( x ) dx , donde e ∫ P ( x ) dx se denomina factor de
y=e ∫
∫ Q( x)e

integración.
Ejercicio 3:
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes
variables. Determinar el dominio de cada solución. Encontrar las soluciones para los
valores iniciales dados:
a-
t x′ + 2 x = 0
x(1) = −1
b-
2 y′ + 3 y = e − t
y (− 3) = −3
c-
(3t
+ 1 x′ − 2tx = 6t
x(0 ) = 1
d-
x′ − 2tx = t 1 + t 2
(
x(0) = 0
2
)
)
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ef-
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dy
+ 12 y = 4
dx
dy
x + 4 y = x3 − x
dx
y (0 ) =
3
2
3
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE 2º ORDEN
Definición: la ecuación diferencial lineal de segundo orden es aquella que puede
escribirse de la forma a 2 ( x) y ′′ + a1 ( x ) y + a 0 ( x ) = Q ( x ) con a 2 ( x ) ≠ 0
Cuando Q ( x ) = 0 se denomina ecuación diferencial de 2º orden homogénea.
Cuando a 2 , a1 y a 0 son constantes, se dice que es una ec. dif. de 2º orden con
coeficientes constantes.
Solución general: para ello se considera la ec. auxiliar o característica am 2 + bm + c = 0 ,
cuyas raíces son m1, 2 =
− b ± b 2 − 4ac
. Pueden presentarse los siguientes casos:
2a
Caso1: Raíces reales y distintas
La solución general tiene la forma:
y = C1e m1x + C 2 e m2 x , con C1 y C 2 constantes
arbitrarias.
Caso1: Raíces reales e iguales (raíz múltiple)
La solución general tiene la forma: y = C1e mx + xC 2 e mx , con C1 y C 2 constantes arbitrarias.
Caso1: Raíces complejas conjugadas
Las raíces son de la forma m1, 2 = r ± qi
y la solución general tiene la forma
y = e rx (C1 cos qx + C 2 senqx)
Ejercicio 3:
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes
constantes.
a)
x′′′ − 2 x′′ − 3 x′ = 0 ;
x(t ) = ?
b)
x′′ + x′ = 0
x(t ) = ?
c)
y ′′ + y ′ − 2 y = 0
y (0) = 3; y ′(0) = 0
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Ecuación diferencial lineal de 2º orden no homogénea: cuando la función Q( x ) ≠ 0 , se
dice que la ecuación diferencial es no homogénea.
La solución general se compone de una solución homogénea más una particular, esta
última se obtiene con el método se los coeficientes indeterminados.
Ejercicio 4:
Encontrar la solución homogénea y una particular de las siguientes ecuaciones
diferenciales, usando el método de los coeficientes indeterminados.
a)
x ′′ + 3 x ′ + 2 x = 2t 2 − 1
x(t ) = ?
b)
x′′ − 4 x′ + 4 x = t 2 + 2
x(t ) = ?
c)
4 y′′ − 4 y′ + y = t + e −2t
y (t ) = ?
d)
x′′ − 6 x′ + 9 x = t 2 − 3e t
x(t ) = ?