UNIVERSIDAD DE COSTA RICA 8 de abril del 2006

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE MATEMÁTICA
Reposición Segundo Examen Parcial
22 de mayo del 2006
MA-1005 Ecuaciones Diferenciales
Primer Ciclo
Tiempo: 3 horas
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Este es un examen de desarrollo. Todos los procedimientos deben aparecer en el
cuaderno de examen. No se aceptan reclamos de exámenes que contengan partes
escritas con lápiz. Trabaja ordenadamente.
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1. Resuelva las ecuaciones diferenciales dadas: (Valor: 15 puntos cada una)
a. y (4) + y '' + 36 y ' + 52 y = xe −2 x
b. 3 y '' − 6 y ' + 6 y = e x sec x
1
x+3
2. Encontrar la solución general de la ecuación diferencial 4 x 2 y '' + y = 0 , si
c. ( x + 2) 2 y '' + ( x + 2) y ' − y =
y1 ( x) = x ln x es una solución de la ecuación dada. (Valor: 15 puntos)
3. Considere la ecuación diferencial x 2 y '' + 4 xy ' + (2 + x 2 ) y = 0 . Pruebe que si φ ( x) es
solución de esta ecuación diferencial entonces v( x) = x 2φ ( x) satisface la ecuación
diferencial v '' + v = 0 . Utilice este resultado para obtener la solución general de la
ecuación diferencial x 2 y '' + 4 xy ' + (2 + x 2 ) y = x 2 . (Valor: 20 puntos)
4. Encuentre una solución particular para la ecuación no homogénea
( x 2 − 1) y '' − 2 xy ' + 2 y = x 2 − 1 mediante el método de variación de parámetros, si la
solución general de la ecuación homogénea es yh ( x ) = c1 x + c2 (1 + x 2 ).
(Valor: 20 puntos)