UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ

Curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Verano 2009
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
ECUACIONES DIFERENCIALES (5-0-5)
I. INFORMACIÓN GENERAL
1.
2.
4.
5.
5.
6.
7.
8.
Facultad:
Ingeniería Civil, Ingeniería Eléctrica, Ingeniería
Industrial, Ingeniería Mecánica e Ingeniería de
Sistemas Computacionales.
Licenciatura en Ingeniería
Ecuaciones Diferenciales
Segundo año, primer semestre
0709
teoría: 5 hrs
5
Cálculo II
Carreras:
Denominación:
Año y Semestre:
Código:
Frecuencia semanal:
Créditos:
Requisitos:
II. OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS:
1. Objetivos Generales:
1.1 Conocer la terminología básica de las ecuaciones diferenciales.
1.2 Traducir problemas de fenómenos naturales a un lenguaje de ecuaciones diferenciales
estableciendo la formulación matemática del problema.
1.3 Dominar los métodos y técnicas de resolución de ecuaciones diferenciales para su utilización en
otras disciplinas dentro de su especialidad.
1.4 Aplicar las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos en la interpretación de
problemas de ingeniería.
2. Objetivos Específicos:
2.1 Definir el concepto de ecuación diferencial.
2.2 Clasificar las ecuaciones diferenciales.
2.3 Obtener la ecuación diferencial dada una función paramétrica.
2.4 Demostrar que una función es solución de la ecuación diferencial dada.
2.5 Diferenciar los conceptos de condición inicial y condición de frontera.
2.6 Resolver ecuaciones diferenciales mediante el método de variables separables.
2.7 Resolver ecuaciones diferenciales homogéneas.
2.8 Identificar si una ecuación diferencial dada es de la forma:
 Ax + By + C 
dy

= F 
dx  ax + by + c 
2.9 Resolver ecuaciones diferenciales de la forma:
 Ax + By + C 
dy

= F 
dx  ax + by + c 
2.10 Demostrar que la ecuación diferencial dada es exacta.
2.11 Resolver ecuaciones diferenciales exactas.
2.12 Resolver ecuaciones diferenciales aplicando factor de integración.
Profesor: Edis Alberto Flores
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2.13
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2.48
Verano 2009
Dada una ecuación diferencial determinar si es una ecuación diferencial lineal.
Resolver ecuaciones diferenciales lineales dadas.
Dada una ecuación diferencial determinar si es una ecuación de Bernoullí.
Resolver ecuaciones diferenciales de Bernoullí.
Definir el concepto de ecuación diferencial de segundo orden.
Identificar ecuaciones diferenciales de segundo orden que pueden ser reducidas
a ecuaciones de primer orden.
Resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden que se pueden reducir a primer
orden.
Definir el concepto de trayectoria ortogonal y trayectoria oblicua.
Dada una función parámétricas encontrar la trayectoria ortogonal o la trayectoria oblicua.
Aplicar las ecuaciones diferenciales para resolver problemas de mecánica elemental.
Aplicar las ecuaciones diferenciales para resolver problemas de circuitos eléctricos.
Aplicar las ecuaciones diferenciales para resolver problemas de flexión de vigas.
Aplicar las ecuaciones diferenciales para resolver problemas de cables suspendidos.
Definir el concepto de ecuación diferencial de orden superior.
Enunciar las condiciones que garanticen la existencia de la solución de una ecuación
diferencial de orden superior.
Deteminar la dependencia o independencia lineal de una función dada por medio de
Wronskiano.
Definir el concepto de ecuación diferencial de orden superior lineal homogénea con
coeficientes constantes.
Deducir la ecuación auxiliar de una ecuación diferencial de orden superior lineal
homogénea con coeficientes constantes.
Determinar la solución de una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes
constantes utilizando la ecuación auxiliar.
Definir el concepto de ecuación diferencial de orden superior lineal no homogénea con
coeficientes constantes.
Resolver ecuaciones diferenciales de orden superior lineal no homogénea con coeficientes
constantes mediante el método de coeficientes indeterminados.
Resolver ecuaciones diferenciales de orden superior lineal no homogénea con coeficientes
constantes mediante el método de variación de parámetros.
Deducir la ecuación diferencial de las vibraciones de una masa en un resorte.
Resolver problemas de vibraciones de una masa en un resorte utilizando ecuaciones
diferenciales.
Resolver problemas de fenómenos de resonancia mediante ecuaciones diferenciales.
Resolver problemas de circuitos eléctricos en serie utilizando ecuaciones diferenciales.
Identificar la ecuación de Cauchy-Euler.
Resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes variables por
medio del método de Cauchy-Euler.
Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales por el método de los operadores.
Resolver Ecuaciones Diferenciales por Series.
Deducir el método para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Aproximar soluciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias por el método de Euler.
Deducir el método de Runge Kuta para aproximar soluciones de Ecuaciones diferenciales
Ordinarias.
Aproximar soluciones de Ecuaciones Diferenciales ordinarias por el método de Runge Kuta.
Deducir el método de los escalones múltiples para aproximar soluciones de ecuaciones
diferenciales ordinarias.
Aproximar una solución de un problema de valores en la frontera de segundo orden.
III. METODOLOGÍA
Profesor: Edis Alberto Flores
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1. Las clases se desarrollarán mediante un método activo dinámico.
2. Se utilizará el recurso de preguntas y respuestas después de cada exposición teórica.
3. Se resolverán problemas ejemplos y se someterán a discusión. Los estudiantes
Tendrán una participación activa.
4. Se asignarán tareas al estudiante que requieran el completo dominio de lo expuesto.
5. Hacer una sesión de repaso antes de cada prueba parcial.
IV. EVALUACIÓN
Se sugiere una evaluación formativa y sumativa.
Formativa:
Se realizarán actividades tales como: tareas, prácticas individuales y grupales,
Ejercicios cortos, etc.
Sumativa
Tres pruebas parciales
60 %


Asistencia
5 %

Tareas o Laboratorios (5)
10 %

Prueba semestral
25 %
V. DESCRIPCIÓN
El curso se inicia con el estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado,
aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Se continúa con el estudio de las
ecuaciones diferenciales de orden superior (homogéneas y no homogéneas) , aplicaciones de las
ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, solución de sistemas de ecuaciones diferenciales y
la solución de ecuaciones diferenciales por serie.
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VI. CONTENIDO PROPUESTO
1.
CONCEPTOS BÁSICOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
(6 horas)
1.1 Definición
1.2 Clasificación de las ecuaciones diferenciales.
1.3 Orígenes.
1.4 Solución de una ecuación diferencial.
1.5 Problemas de valor inicial y problemas de valores en la frontera.
1.6 Existencia y unicidad.
2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO (17 horas)
2.1 Definición.
2.2 Variables separables.
2.3 Ecuaciones homogéneas
2.4 Ecuaciones de la forma:
 Ax + By + C 
dy
= F

dx
 ax + by + c 
2.5 Ecuaciones diferenciales exactas
2.6 Factores de integración
2.6.1 Factor de la forma:
∂M ∂N
−
∂y ∂x
2.6.2 Factor de la forma:
∂M ∂N
−
∂y ∂x
= − g( y)
M
2.6.3
2.6.4
N
F. I . = e ∫
Ecuaciones homogéneas: F . I .=
Ecuaciones de la forma:
yf ( xy )dx + xg ( xy )dy = 0
F. I . =
= f ( x) F . I . = e ∫
f ( x ) dx
g ( y ) dy
1
Mx + Ny
1
Mx − Ny
2.7 Ecuaciones diferenciales lineales.
2.8 Ecuaciones de Bernoullí.
2.9 Ecuaciones de segundo orden que se reducen a primer orden.
3. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE (17 horas) PRIMER ORDEN.
3.1 Trayectorias ortogonales y oblicuas.
3.2 Mecánica elemental.
3.2.1 Caída libre.
3.2.2 Fuerza de rozamiento.
3.3 Circuitos eléctricos en serie.
3.4 Cables suspendidos.
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3.5 Deflexión de vigas.
4. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR
(18 horas)
4.1 Definición y teorema básico de existencia.
4.2 Teoría preliminar
4.2.1 Problemas de valor inicial y problemas de valor de frontera.
4.2.2 Dependencia lineal e independencia lineal.
4.2.3 El Wronskiano.
4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
4.3.1 Ecuación auxiliar: Raíces reales distintas, raíces reales e iguales, raíces
imaginarias.
4.4 Ecuaciones no homogéneas con coeficientes constantes.
4.4.1 Coeficientes indeterminados.
4.4.2 Variación de parámetros.
4.5 Ecuaciones no homogéneas con coeficientes variables.
4.5.1 Ecuación de Cauchy-Euler. Definición
4.5.1.1 Raíces reales y diferentes
4.5.1.2 Raíces reales e iguales
4.5.1.3 Raíces reales complejas
4.6 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Método de los operadores
4.7 Solución de ecuaciones diferenciales mediante series.
5. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE
SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES. (17 horas)
5.1 Ecuación diferencial de las vibraciones de una masa en un resorte.
5.2 Movimiento libre no amortiguado.
5.3 Movimiento libre amortiguado.
5.4 Movimiento forzado.
5.5 Fenómeno de resonancia.
5.6 Sistemas Análogos
5.6.1
Circuito eléctrico en serie.
5.6.2
Péndulo.
6. INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS (opcional)
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Introducción.
Método de Euler y Análisis de error.
Método de Runge Kuta.
Método de escalones múltiples.
Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de orden superior.
6.5.1 Problemas de valor inicial de primer orden.
6.5.2 Problemas de valor inicial de segundo orden.
6.5.3 Ecuación diferencial de segundo orden como sistemas de ecuaciones
Diferenciales de primer orden.
6.5.4 Métodos numéricos aplicados a las ecuaciones diferenciales de
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Segundo orden.
6.5.5 Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.
6.5.6 Métodos numéricos aplicados a los sistemas.
VIII- BIBLIOGRAFÍA
TEXTO:
Dennis G. Zill y
Michael R. Cullen
Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la
frontera. Thomson Learning. Quinta edición 2002.
LIBROS DE CONSULTA
Tagle –Saff Zinder
Ecuaciones Diferenciales y Problemas con valores en la frontera.
Tercera edición. Addison Wesley 2000.
Kreyzing, Edwin
Matemática Avanzadas para ingenieros. Tercera edición. Limusa
Wiley. 2001.
O’ Neil Peter
Matemáticas Avanzadas para ingeniería. Tercera edición CECSA
1999.
Stephen Campbell y
Richard Haberman
Ecuaciones Diferenciales con problemas de valor en la frontera.
Primera edición 1998.
Borreli Robert y
Courtney Colemán
Ecuaciones Diferenciales. Una perspectiva de Modelación.
primera edición. Oxford 2000.
Prueba #
Fecha de la prueba
Temas de la prueba
Tipo de prueba
1
27 de Enero de 2009
Punto 1 y 2
Parcial #1
9 de Febrero de 2009
Punto 3 y 4
Parcial #2
18 de Febrero de 2009
Punto 5
Parcial #3
2
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Profesor: Edis Alberto Flores
6