Título del TFM

Título del TFM:
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con Condiciones Iniciales y Término Fuente
Aleatorios: Teoría y Aplicaciones.
Equacions Diferencials Ordinàries amb Condicions Inicials i Terme Font Aleatoris:
Teoria i Aplicacions
Ordinary Differential Equations with Random Initial Conditions and Forcing Term:
Theory and Applications
Tutores: Juan Carlos Cortés López, José Vicente Romero Bauset y Rafael Villanueva
Micó.
Resumen: Las ecuaciones diferenciales ordinarias determinísticas proporcionan
un enfoque muy potente para modelizar numerosos problemas de la Ciencia y la
Técnica. Cuando dichas ecuaciones se aplican a problemas concretos se requiere
ajustar sus parámetros tales como, condiciones iniciales y/o frontera, términos
fuente y coeficientes. Este ajuste se hace sobre la base de mediciones de las
variables objeto de estudio en el modelo. En muchas ocasiones estos datos
contienen incertidumbre debido no solo a los errores de medida, sino a la
complejidad inherente al fenómeno objeto de estudio. Este enfoque, hace que sea
más realista considerar los parámetros o inputs de una ecuación diferencial como
variables aleatorias o procesos estocásticos, en lugar de constantes o funciones
deterministas. En este trabajo se propone realizar una revisión sistemática de los
principales resultados disponibles en la literatura especializada sobre ecuaciones
diferenciales ordinarias donde la aleatoriedad entra a través de las condiciones
iniciales y sus términos fuente o de forzamiento (forcing terms). En un primer
Trabajo Final de Máster ya defendida en el marco del master INVESTMAT se
estudió el caso más sencillo en que la aleatoriedad solo entra en la ecuación
diferencial a través de las condiciones iniciales. Se pretende en esta propuesta
continuar con dicho trabajo y extender el estudio al caso en que también existe
incertidumbre en los término de forzado de la ecuación diferencial. Este tipo de
modelos tienen gran aplicabilidad en áreas muy diversas como la Epidemiología
(representan la entrada de emigrantes a los sistemas poblaciones), en Física
(representan agentes exteriores que fuerzan la dinámica de los sistemas físicos
objeto de análisis); etc. En el contexto de las ecuaciones diferenciales aleatorias y, a
diferencia de la teoría determinística, no solo nos interesará calcular la solución de
la ecuación (que es un proceso estocástico), sino también caracterizar sus
principales propiedades estadísticas, tales como la función media, la función
varianza, la función de correlación, etc., e incluso, si ello es posible, la función de
distribución de la solución. En el trabajo se estudiará la resolución de ecuaciones
diferenciales con condiciones iniciales y términos fuente aleatorios en base a la
teoría de media cuadrática y se aplicarán los resultados a algún modelo que esté
orientado en la línea de los intereses formativos y curriculares del estudiante.
Palabras clave: Ecuación Diferencial Aleatoria, Convergencia Estocástica,
Procesos Estocásticos, Simulación Computacional.