Práctica 9.nb

MATEMÁTICAS (Grado en Química)
PRÁCTICA 9
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
1.- RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
El comando principal que incorpora Mathematica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias es la función DSolve,
cuya sintaxis es la siguiente: DSolve[ecuación, y[x],x]. Esta instrucción resuelve la ecuación diferencial hallando la
expresión formal de y(x) que la satisface.
De esta forma, Mathematica busca como solución de la ecuación diferencial una expresión simbólica de y(x) en función de
la variable independiente x, que satisfaga formalmente la ecuación. Cuando no se especifican condiciones iniciales de la
ecuación diferencial, la solución incluye ciertos coeficientes indeterminados que caracterizan la solución general
(determinan el haz de funciones que son solución). En este caso, Mathematica denomina sucesivamente a estos coeficientes
mediante los simbolos C[1], C[2], ...
Ejemplo 1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) y'(x) - y(x) = 0.
b) x''(t) + x(t) = 0.
a)
DSolve@y '@xD − y@xD 0, y@xD, xD
88y@xD → x C@1D<<
b)
DSolve@x ''@tD + x@tD 0, x@tD, tD
88x@tD → C@1D Cos@tD + C@2D Sin@tD<<
Se observa que la solución general de las ecuaciones diferenciales sin condiciones iniciales involucra coeficientes
indeterminados.
Mathematica permite también la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales.
Ejemplo 2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
y1'(x) = y1(x) - y2(x)
y2'(x) = -10 y1(x) + 4 y2(x).
DSolve@8y1 '@xD y1@xD − y2@xD, y2 '@xD −10 ∗ y1@xD + 4 ∗ y2@xD<, 8y1@xD, y2@xD<, xD
::y1@xD →
1
7
y2@xD → −
−x I5 + 2 7 x M C@1D −
10
7
1
7
−x I−1 + 7 x M C@1D +
−x I−1 + 7 x M C@2D,
1
7
−x I2 + 5 7 x M C@2D>>
2
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Simplify@%D
::y1@xD →
y2@xD →
1
7
1
7
−x II5 + 2 7 x M C@1D − I−1 + 7 x M C@2DM,
−x I−10 I−1 + 7 x M C@1D + I2 + 5 7 x M C@2DM>>
Dada la ecuación diferencial y'=f(x,y), desde el punto de vista geométrico cada curva solución es una curva en el plano cuya
pendiente en el punto (x0 , y0 L es f(x0 , y0 L. La orden VectorFieldPlot permite crear la gráfica del campo direccional, porque
representa la familia de vectores (x,y) en el plano IR2 , donde sus componentes x e y toman valores en los intervalos
considerados. Teniendo en cuenta la interpretación geométrica de la derivada de una función, representar la dirección de las
tangentes en el plano coordenado supone representar los valores de la forma (1, y').
Ejemplo 3. Representar gráficamente el campo de direcciones de la ecuación diferencial y'(x)=x.
<< VectorFieldPlots`
figura1 = VectorFieldPlot @81, x<, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<D
Ejemplo 3. a) Resolver la ecuación diferencial y'(x) = x.
b) Considerar la solución particular con C(1) = 0. Representar gráficamente.
c) Superponer la gráfica de la solución particular al campo direccional de la ecuación diferencial del ejemplo 3 y observar.
a)
Clear@x, yD
DSolve@y '@xD x, y@xD, xD
::y@xD →
x2
2
+ C@1D>>
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b) Si se considera C[1 ]= 0 la solución particular es y(x) =
figura2 = PlotB
x2
2
x2
.
2
, 8x, −1, 1<, PlotStyle → RGBColor@0, 1, 0DF
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-1.0
-0.5
c)
Show@8figura1, figura2<D
0.5
1.0
3
4
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2.- PROBLEMAS DE VALORES INICIALES
Mathematica soporta tanto el problema general de búsqueda de solución de una ecuación diferencial como la resolución de
un problema de valores iniciales. Cuando se resuelve una ecuación diferencial sin especificar ninguna condición inicial, la
solución del problema no es única, sino que existe una familia de posibles soluciones que difieren en unas constantes de
integración. Sin embargo, cuando se dan las condiciones iniciales (n condiciones para una ecuación diferencial de orden n),
puede ser única y no depende de coeficientes indeterminados.
La siguiente instrucción proporciona la solución de un problema de Valores Iniciales: DSolve[{ecuación, condición 1,
condición 2, ...},x[t],t].
Ejemplo 4. Resolver la ecuación diferencial x''(t) + x(t) = 0 con las condiciones iniciales x(0) = 0 y x'(0) = 1.
Clear@x, tD
DSolve@8x ''@tD + x@tD 0, x@0D 0, x '@0D 1<, x@tD, tD
88x@tD → Sin@tD<<
Ejemplo 5. a) Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales siguiente:
x' (t) + x (t) = 3x(t)-2y(t)
y'(t)=8x(t)-5y(t)
con las condiciones iniciales x (0) = 1 e y(0) = 2.
b) Comprobar que la solución obtenida es correcta.
a)
Clear@x, y, tD
sol =
DSolve@8x '@tD 3 x@tD − 2 y@tD, y '@tD 8 x@tD − 5 y@tD, x@0D 1, y@0D 2<, 8x@tD, y@tD<, tD
99x@tD → −t , y@tD → 2 −t ==
b)
x@t_D = −t
−t
y@t_D = 2 −t
2 −t
x '@tD 3 x@tD − 2 y@tD
True
y '@tD 8 x@tD − 5 y@tD
True
x@0D 1
True
y@0D 2
True
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5
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1
a) y'= 1+cos
.
x
b) y'' - 7 y' + 6 y = x cos x.
Ejercicio 2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
x'(t) = y(t) + z(t)
y'(t) = x(t) + 1
z'(t) = 3 x(t) + 3
Ejercicio 3. a) Resolver el problema de valores iniciales y'(x) = -3 x sen x, y(0) = 0.
b) Representar en una misma gráfica el campo vectorial de la ecuación diferencial y'(x) = -3 x sen x y la solución particular
obtenida para el punto (0, 0).
Ejercicio 4. a) Resolver el problema de valores iniciales en el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
x'(t) = x(t) + y(t) + 2 z(t)
x(0) = 2
y'(t) = 2 y(t) + 2 z(t)
y(0) = 0
z'(t) = -x(t) + y(t) + 3 z(t)
z(0) = 1.
b) Comprobar que la solución obtenida es correcta.