PRÁCTICA MÉTODOS 2

1
PRÁCTICA MÉTODOS 2
INTEGRALES DOBLES
ü
Introducción
y
y=y2(x)
y=y1(x)
D
x
a
x fija
b
Dada una función f(x,y) integrable en un cierto conjunto D, podemos calcular la integral doble planteando la integral iterada
correspondiente (obsérvese el orden de integración):
‡ ‡ f@x, yD x y = ‡
D
b
a
y2@xD
i
y
j
z x
j
f@x, yD yz
j
z
‡
j
z
y1@xD
k
{
En caso de no utilizar paletas la instrucción será:
Integrate[f[x,y],{x,a,b},{y,y1[x],y2[x]}]
o la aproximación numérica:
NIntegrate[f[x,y],{x,a,b},{y,y1[x],y2[x]}]
Por último, si efectuamos un cambio de variable, la matriz jacobiana la podemos hallar mediante la instrucción:
i ∂x u@x, yD ∂y u@x, yD y
z
M=j
z
j
k ∂x v@x, yD ∂y v@x, yD {
El determinante jacobiano se calcula mediante la instrucción: Det[M].
Para representar las Curvas que limitan el dominio podemos utilizar:
- coordenadas cartesianas explícitas, mediante el comando: Plot
- coordenadas cartesianas implícitas, mediante el comando: ImplicitPlot que exige cargar el paquete:
Graphics`ImplicitPlot`
- coordenadas paramétricas, mediante el comando: ParametricPlot
2
- coordenadas polares mediante el comando: PolarPlot que exige cargar el paquete: Graphics`Graphics`
Utliizaremos indistintamente estos comandos.
ü Ejemplo 1
Calcular la integral doble Ÿ ŸD f Hx, yL dxdy, siendo D la región limitada superiormente por la recta y=x e inferiormente por la
circunferencia x2 + y2 - 2 y = 0, y siendo f(x,y)=x.
a) En coordenadas cartesianas. b) En coordenadas polares.
Solución:
Exit
f@x_, y_D = x
Calculamos los puntos de intersección de la recta y la circunferencia.
Solve@8x2 + y2 − 2 y
0, y
x<, 8x, y<D
Representamos las gráficas.
<< Graphics`ImplicitPlot`
g1 = ImplicitPlot@x2 + y2 − 2 y
g2 = Plot@x, 8x, 0, 1<D;
0, 8x, 0, 1<, 8y, 0, 1<, AxesOrigin → 80, 0<D;
Show@g1, g2D;
Hallamos la integral en coordenadas cartesianas.
‡
1
0
i
y
j
j‡ è!!!!!!!!!!!! f@x, yD yz
z x
k 1− 1−x2
{
x
Hallamos el jacobiano de coordenadas polares.
x@r_, θ_D = r Cos@θD;
y@r_, θ_D = r Sin@θD;
M=J
∂r x@r, θD ∂θ x@r, θD
N;
∂r y@r, θD ∂θ y@r, θD
% êê MatrixForm
J = Det@MD êê Simplify
Hallamos la integral en coordenadas polares.
‡
π
4
0
2 Sin@θD
i
y
j
j
z
r Cos@θD r rz
j‡
z θ
k 0
{
ü Ejemplo 2
1
dxdy donde D es la región del primer cuadrante que es interior a la circunferencia
Calcular la integral doble ‡ ‡
D x
r = 3 cosq y exterior a la cardioide r = 1 + cosq.
Solución:
Exit
3
<< Graphics`Graphics`
g1 = PolarPlot@83 Cos@θD, 1 + Cos@θD<, 8θ, 0, 2 π<D;
Calculamos los puntos de intersección de la circunferencia y la cardioide y la circunferencia.
Solve@8r == 3 Cos@θD, r == 1 + Cos@θD<, 8r, θ<D
Hallamos la integral en coordenadas polares.
‡
0
π
3
3 Cos@θD
1
y
i
j
z
j
r rz
z θ êê Simplify
j‡
r
Cos@θD
{
k 1+ Cos@θD
INTEGRALES TRIPLES
ü
Introducción
z
z=z2(x,y)
Ω
z=z1(x,y)
y
y=y1(x)
a
b
D
y=y2(x)
x
Dada una función f(x,y,z) integrable en un cierto conjunto W, podemos calcular la integral triple planteando la integral
iterada correspondiente (obsérvese el orden de integración):
‡ ‡ ‡ f@x, y, zD x y z = ‡
Ω
b
a
y2@xD i z2@x,yD
i
y
j
z yy
j
z
j
j
z
f@x, y, zD zz
j
z
j
z
‡
j
z
j‡
z x
y1@xD
z1@x,yD
k
{
k
{
En caso de no utilizar paletas la instrucción será:
Integrate[f[x,y,z],{x,a,b},{y,y1[x],y2[x]},{z,z1[x,y],z2[x,y]}]
o la aproximación numérica:
NIntegrate[f[x,y,z],{x,a,b},{y,y1[x],y2[x]},{z,z1[x,y],z2[x,y]}]
Si efectuamos un cambio de variable, la matriz jacobiana la podemos hallar mediante las instrucciones:
i ∂x u@x, y, zD ∂y u@x, y, zD ∂z u@x, y, zD z
y
j
j
z
z
j
z
v@x,
y,
zD
∂
v@x,
y,
zD
∂
v@x,
y,
zD
∂
M=j
x
y
z
j
z
j
z
j
z
w@x,
y,
zD
∂
w@x,
y,
zD
∂
w@x,
y,
zD
∂
x
y
z
k
{
4
Para representar las Superficies que limitan W podemos utilizar coordenadas cartesianas, mediante el comando:
ContourPlot3D que exige cargar el paquete: Graphics`ContourPlot3D`
ü Ejemplo 3
Consideremos el dominio cerrado tridimensional W limitado por el plano XOY y las superficies de ecuaciones cartesianas
z=x2 + y2 ; x2 + y2 =1
1º) Representar gráficamente el dominio W.
2º) Determinar el valor de la integral triple Ÿ Ÿ ŸW Hx + y + zL dxdydz
a) Directamente. b) Con cambio de variable a cilíndricas, calculando previamente el Jacobiano.
Solución:
Comenzamos representando gráficamente las superficies en cartesianas. Las superficies se cortan a la altura z=1, en la circunferencia: x2 + y2 = 1. La proyección de las superficies sobre el plano XOY es el interior de la circunferencia: x2 + y2 = 1.
Exit
<<Graphics`ContourPlot3D`
g1 = ContourPlot3D@z − x2 − y2 , 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<, 8z, 0, 1<, PlotPoints → 5D;
g2 = ContourPlot3D@x2 + y2 − 1, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<, 8z, 0, 1<, PlotPoints → 5D;
Show@g1, g2D;
Definimos la función integrando.
f@x_, y_, z_D = x + y + z
Primero calculamos la integral directamente en cartesianas, planteando la integral iterada:
‡
1
−1
1−x2
i
j
j
j
j
‡
j è!!!!!!!!!2!!!
k − 1−x
è!!!!!!!!!!!!
x
i
j
j
j
j‡
k 0
2 +y2
y
y
z
z x
z
f@x, y, zD zz
z
z
z yz
z
{
{
Y ahora con cambio de variables a cilíndricas:
x@r_, θ_, z_D = r Cos@θD;
y@r_, θ_, z_D = r Sin@θD;
z@r_, θ_, z_D = z;
Calculamos el Jacobiano:
∂r x@r, θ, zD ∂θ x@r, θ, zD ∂z x@r, θ, zD y
i
j
z
j ∂ y@r, θ, zD ∂ y@r, θ, zD ∂ y@r, θ, zD z
z
z
j
M=j
θ
z
z
j r
z
j
z@r,
θ,
zD
∂
z@r,
θ,
zD
∂
z@r,
θ,
zD
∂
θ
z
{
k r
J = Det@MD êê Simplify
Hallamos la integral en coordenadas cilíndricas.
‡
2π
0
‡
1
0
‡
r2
0
Hr Cos@θD + r Sin@θD + zL r z r θ
5
ü Ejemplo 4
Representar gráficamente y calcular el volumen de la región W constituida por la parte de la esfera x2 + y2 +z2 §2 que queda
è!!!!!!!!!!!!!!!
dentro del cono z= x2 + y2 .
a) En coordenadas cartesianas. b) En coordenadas cilíndricas. c) En coordenadas esféricas calculando previamente el Jacobiano.
Solución:
Comenzamos representando gráficamente las superficies en paramétricas. Las superficies se cortan a la altura z=1, en la circunferencia: x2 + y2 = 1. Por su parte el cono forma un ángulo de 45° con el eje z.
Exit
<<Graphics`ContourPlot3D`
graf1 = ContourPlot3D@z2 − x2 − y2 , 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<, 8z, 0, 1<, PlotPoints → 5D;
graf2 = ContourPlot3DAx2 + y2 + z2 − 2, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<, 9z, 1,
è!!!!
2 =, PlotPoints → 5E;
Show@graf1, graf2, ViewPoint −> 84.000, −4.000, 0.970<D;
En primer lugar planteamos la integral iterada en cartesianas aprovechando simetrías.
4 NIntegrateA1, 8x, 0, 1<, 9y, 0,
è!!!!!!!!!!!!!
è!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
1 − x2 =, 9z, x2 + y2 , 2 − x2 − y2 =E
Observar que el comando anterior no es lo mismo que
1i
è!!!!!!!!!2!!!
1−x i
j
j
4‡ j
j
j‡
0
k 0
è!!!!!!!!!2!!!!!!!!2!!!
2−x −y
j
j
j
j
j‡è!!!!!!!!
!!!!2!!
2
k x +y
y
y
z
z
z
z x êê N
z
zz
z
z
z yz
{
{
En segundo lugar planteamos la integral con cambio a coordenadas cilíndricas (cuyo Jacobiano suponemos conocido J=r):
‡
2π
0
1
i
j
j
j
j
j‡
k 0
i
j
j
j
j
j‡
k r
è!!!!!!!!!2!!!
2−r
y
y
z
z
z
z rz
r zz
z
z
z θ êê N
z
{
{
Por último planteamos la integral con cambio a coordenadas esféricas:
x@ρ_, θ_, φ_D = ρ Sin@φD Cos@θD;
y@ρ_, θ_, φ_D = ρ Sin@φD Sin@θD;
z@ρ_, θ_, φ_D = ρ Cos@φD;
Calculamos el Jacobiano correspondiente:
∂ρ x@ρ, θ, φD ∂θ x@ρ, θ, φD ∂φ x@ρ, θ, φD y
i
j
z
j ∂ y@ρ, θ, φD ∂ y@ρ, θ, φD ∂ y@ρ, θ, φD z
z
z;
j ρ
M=j
θ
φ
z
j
z
j
∂
z@ρ,
θ,
φD
∂
z@ρ,
θ,
φD
∂
z@ρ,
θ,
φD
θ
φ
{
k ρ
MatrixForm@%D
J = Abs@Det@MDD êê Simplify
Hallamos la integral en coordenadas esféricas.
‡
2 πi
0
4 i
j
j
j
j
j
j‡
j
j‡ j
j
0
k
k 0
π
è!!!!
2
y
y
z
z
z φz
z
J ρz
z
z
z θ êê N
z
{
{
6
PROBLEMAS PROPUESTOS
ü
Problema 1
Hallar la masa de la lámina de densidad m(x,y)=x2 que ocupa la región D limitada por la parábola y=2-x2 y la recta y=x.
Representar las gráficas de la parábola y la recta hallando previamente los puntos de intersección.
ü
Problema 2
a) Hallar el Jacobiano de las coordenadas polares.
b) Hallar, utilizando coordenadas polares, el área comprendida entre las circunferencias x2 + y2 = 2 x y x2 + y2 = 4 x y las
rectas y=x e y=0.
Representar previamente las gráficas.
ü
Problema 3
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ÿ Ÿ ŸW 1 - x2 - y2 - z2 dxdydz
donde W es la región limitada por la esfera x2 + y2 + z2 =1
a) Directamente en coordenadas cartesianas. b) En coordenadas esféricas, calculando previamente el Jacobiano.
Representar gráficamente el dominio W.
Calcular la integral
ü
Problema 4
Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies z=x2 + y2 y z=2-x2 - y2 .
Representar gráficamente el dominio W.