Guía 6

Tratamiento Digital de Señales
Guia de Trabajos Prácticos Nº 6
Análisis de Fourier para Señales y Sistemas de Tiempo Discreto
1.- Determine los coeficientes de la serie de Fourier para cada una de las señales periódicas
de tiempo discreto dadas a continuación. Grafique la magnitud y la fase para cada conjunto de
coeficientes ak.
a) x(n) = sen[π(n-1)/4]
b) x(n) es periódica con período 6 y x(n) = (1/2)n para -2≤ n≤ 3
c) x(n) = cos (11πn/4 - π/3)
2.- En cada una de las partes siguientes especificamos los coeficientes de la serie de Fourier
de una señal que es periódica con período 8.Determine la señal x(n) en cada caso.
a) ak = cos (kπ/4) + sen(3kπ/4)
b) ak como en la figura 1
c) ak como en la figura 2
1
0
8
2
1
0≤k≤6
k=7
d) ak = sen(kπ/3),
0
Fig.1
Fig. 2
1/2
1/ 4
0
8
3.-Sea x(n) una secuencia periódica con período N y con representación en serie de Fourier
x(n) =∑ ak ejk(2π / N)n
k=(N)
Los coeficientes de la serie de Fourier para cada una de las siguientes señales pueden
expresarse en términos de los ak en la ecuación anterior. Deduzca estas expresiones.
i) x(n - n0)
ii) x(n) - x(n-1)
iii) x(n) - x(n - N/2)
iv) x(n) + x(n + N/2)
v) x* (-n)
vi) (-1)n x(n) suponga que N es par
4.-a) La secuencia triangular xa(n),mostrada en la figura 1 es periódica con período N=6 y por
consiguiente tiene tiene una representación en serie de Fourier dada por
5
xa(n) =∑ ak e jk(2π /6) n
k=0
Encuentre y grafique los coeficientes ak de la serie de Fourier.
b) La secuencia xb(n) mostrada en la figura 2 es periódica con período 8 y está formada a
partir de xa(n) insertando ceros entre los pulsos triangulares. Si la representación de la serie
de Fourier discreta de xb(n) está dada por
7
xb(n) = ∑ bk e jk( 2π / 8 ) n
k=0
Determine y grafique los coeficientes bk de la serie de Fourier
c) La secuencia triangular no períodica xc(n) mostrada en la figura 3 corresponde a un período
de una secuencia períodica de xa(n).Determine Xc(Ω),la transformada de Fourier discreta de
xc(n) y grafique su resultado.
d) Demuestre que los coeficientes de la serie de Fourier ak y bk representan muestras
igualmente espaciadas de Xc(Ω):
ak = c1Xc(k Ω1)
bk = c2 Xc(kΩ2)
Determine los valores de las constantes c1 , c2 ,Ω1 ,Ω2
0
Fig.2
3
2
3
1
2
1
-6
0
Fig.1
6
0
Fig.3
Cursada 2008
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Guia de Trabajos Prácticos Nº 6
Análisis de Fourier para Señales y Sistemas de Tiempo Discreto
5.-a) Considere un sistema LTI con respuesta al impulso
h(n) = (1/2)⎢n ⎢
Encuentre la representación en serie de Fourier de la salida y(n) para cada una de las
siguientes entradas.
i) x(n) = sen(3πn/4)
∞
ii) x(n) = ∑ δ ( n - 4k)
k=-∞
iii) x(n) es períodica con período 6 , y
1
n = 0, ± 1
0
n = ± 2, ± 3
x(n) =
6.-Considere los siguientes pares de señales x(n) e y(n).Para cada par determine si hay un
sistema LTI de tiempo discreto para el cual y(n) es la salida cuando x(n) corresponde a la
entrada. Si existe tal sistema , explique si el sistema es único ( es decir, si hay más de un
sistema LTI con el par de entrada salida dado).También determine la respuesta en frecuencia
de un sistema LTI con el comportamiento deseado. Si no existe el sistema LTI para el par de
x(n) e y(n), explique porqué.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
x(n) = (1/2)n , y(n) = (1/4)n
x(n) = (1/2)n u(n) , y(n) = (1/4)n u(n)
x(n) = (1/2)n u(n) , y(n) = 4n u(-n)
x(n) = e j n / 8 , y(n) = 2e j n / 8
x(n) = e j n / 8 u(n) , y(n) =2 e j n / 8 u(n)
x(n) = jn , y(n) = 2 jn (1- j)
x(n) = cos (πn / 3) , y(n) = cos (πn / 3) + √3 sen (πn / 3)
x(n) e y(n) como en la figura.
y(n)
1
x(n)
0 1
11 12 ..
-3
0
3
9
7.-Considere un sistema LTI causal descripto por la ecuación en diferencias
y(n) + ½ y(n - 1) = x(n)
a) Determine la respuesta H(Ω ) de este sistema.
b) Cual es la respuesta de este sistema a las siguientes entradas?
i) x(n) = (1/2)n u(n)
ii) x(n) = (-1/2)n u(n)
iii) x(n) = δ(n) +1/2 δ(n - 1)
iv) iv) x(n) = δ(n) - 1/2 δ(n - 1)
c) Encuentre la respuesta a las entradas que tienen las transformadas de Fourier siguientes.
i) X(Ω) = 1 - ¼ e-j Ω
1 + ½ e- j Ω
iii)
ii)X(Ω) = 1 + ½ e-j Ω
1 - ¼ e- j Ω
iv) X(Ω) = 1 + 2 e-j 3 Ω
X(Ω) =
Cursada 2008
__________1____________
( 1 - ¼ e- j Ω)( 1 + ½ e-j Ω)