Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado

4.6
En los problemas 27 a 34 determine las funciones linealmente
independientes que anulan el operador diferencial dado.
VARIACIÓN DE PARÁMETROS
157
●
55. y 25y 20 sen 5x
56. y y 4 cos x sen x
57. y y y x sen x
58. y 4y cos2x
27. D 5
28. D 2 4D
59. y 8y 6x 2 9x 2
29. (D 6)(2D 3)
30. D 2 9D 36
60. y y y y xe x ex 7
31. D 2 5
32. D 2 6D 10
33. D 3 10D 2 25D
34. D 2(D 5)(D 7)
61. y 3y 3y y e x x 16
62. 2y 3y 3y 2y (e x ex) 2
63. y (4) 2y y e x 1
En los problemas 35 a 64 resuelva la ecuación diferencial dada
usando coeficientes indeterminados.
64. y (4) 4y 5x 2 e 2x
35. y 9y 54
36. 2y 7y 5y 29
37. y y 3
38. y 2y y 10
En los problemas 65 a 72 resuelva el problema con valores iniciales.
39. y 4y 4y 2x 6
65. y 64y 16,
40. y 3y 4x 5
66. y y x,
y(0) 1, y(0) 0
y(0) 1, y(0) 0
41. y y 8x 2
42. y 2y y x 3 4x
67. y 5y x 2,
43. y y 12y e 4x
44. y 2y 2y 5e 6x
68. y 5y 6y 10e 2x,
45. y 2y 3y 4e x 9
y(0) 0, y(0) 2
y(0) 1, y(0) 1
69. y y 8 cos 2x 4 sen x,
46. y 6y 8y 3e2x 2x
47. y 25y 6 sen x
48. y 4y 4 cos x 3 sen x 8
49. y 6y 9y xe 4x
70. y 2y y xe x 5,
y(0) 1
71. y 4y 8y x 3,
72. y y x e ,
y(0) 0
(4)
50. y 3y 10y x(e x 1)
51. y y x 2e x 5
x
y
2
1, y
0
2
y(0) 2, y(0) 2,
y(0) 2, y(0) 4
y(0) 0, y(0) 0, y(0) 0,
52. y 2y y x 2ex
Problemas para analizar
53. y 2y 5y e sen x
73. Suponga que L es un operador diferencial lineal que se
factoriza pero que tiene coeficientes variables. ¿Conmutan
los factores de L? Defienda su respuesta.
x
54. y
y
1
y
4
4.6
ex(sen 3x
cos 3x)
VARIACIÓN DE PARÁMETROS
REPASO DE MATERIAL
●
La variación de parámetros se introdujo por primera vez en la sección 2.3 y se usó de nuevo en la
sección 4.2. Se recomienda dar un repaso a estas secciones.
INTRODUCCIÓN El procedimiento que se utiliza para encontrar una solución particular yp de una
ecuación diferencial lineal de primer orden en un intervalo es también aplicable a una ED de orden superior. Para adaptar el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial de segundo orden
a2(x)y
a1(x)y
a0(x)y g(x),
(1)
comenzamos por escribir la ecuación en su forma estándar
y
P(x)y
Q(x)y f (x)
(2)
dividiendo entre el coeficiente principal a2(x). La ecuación (2) es la análoga de segundo orden de la
forma estándar de una ecuación lineal de primer orden: dy兾dx P(x)y f(x). En (2) se supone que
P(x), Q(x) y f(x) son continuas en algún intervalo común I. Como ya hemos visto en la sección 4.3, no
hay dificultad para obtener la función complementaria yc, la solución general de la ecuación homogénea asociada de (2), cuando los coeficientes son constantes.
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158
●
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
SUPOSICIONES Correspondiendo con la suposición yp u1(x)y1(x) que se usó en
la sección 2.3 para encontrar una solución particular yp de dy兾dx P(x)y f(x), para la
ecuación lineal de segundo orden (2) se busca una solución de la forma
yp
u1(x)y1(x)
(3)
u2(x)y2(x),
donde y1 y y2 forman un conjunto fundamental de soluciones en I de la forma homogénea
asociada de (1). Usando la regla del producto para derivar dos veces a yp, se obtiene
yp
u 1 y1
y1u 1
u 2 y2
y2u 2
yp
u1y 1
y1u1
y1u 1
u1 y1
u2 y 2
y2 u2
y2 u 2
u 2 y 2.
Sustituyendo la ecuación (3) y las derivadas anteriores en (2) y agrupando términos
se obtiene
cero
yp
P(x)yp
Q(x)yp
u1[y 1
Py 1
y2 u 2
d
[y u ]
dx 1 1
d
[y u
dx 1 1
cero
Qy1]
u 2 y2
P[y1u 1
d
[y u ]
dx 2 2
y2u 2 ]
u2[y 2
Py 2
y2u 2 ]
P[y1u 1
P[y1u 1
Qy2 ]
y 1u 1
y2u 2 ]
y2u 2 ]
y 1u 1
y1u 1
u1 y1
y2 u2
y 1u 1
y 2u 2
y 2u 2
f (x). (4)
Como se busca determinar dos funciones desconocidas u1 y u2, la razón impone que son
necesarias dos ecuaciones. Estas ecuaciones se obtienen con la suposición adicional
de que las funciones u1 y u2 satisfacen y1u 1 y2u 2 0. Esta suposición en azul no se
presenta por sorpresa, sino que es resultado de los dos primeros términos de (4) puesto
que si se requiere que y1u 1 y2u 2 0 , entonces (4) se reduce a y 1u 1 y 2u 2 f (x) .
Ahora tenemos nuestras dos ecuaciones deseadas, a pesar de que sean dos ecuaciones
para determinar las derivadas u1 y u2 . Por la regla de Cramer, la solución del sistema
y 1u 1
y2u 2
0
y 1u 1
y 2u 2
f (x)
puede expresarse en términos de determinantes:
u1
donde
W
W1
W
y1 y2
,
y1 y2
y2 f (x)
y u2
W
W1
0
y2
,
f (x) y 2
W2
W
y1 f (x)
,
W
W2
y1
0
.
y 1 f (x)
(5)
(6)
Las funciones u1 y u2 se encuentran integrando los resultados de (5). El determinante
W se reconoce como el Wronskiano de y1 y y2. Por la independencia lineal de y1 y y2 en
I, se sabe que W(y1(x), y2(x)) 0 para toda x en el intervalo.
RESUMEN DEL MÉTODO Normalmente, no es buena idea memorizar fórmulas
en lugar de entender un procedimiento. Sin embargo, el procedimiento anterior es demasiado largo y complicado para usarse cada vez que se desee resolver una ecuación
diferencial. En este caso resulta más eficaz usar simplemente las fórmulas de (5). Así
que para resolver a 2 y a1 y a 0 y g(x), primero se encuentra la función complementaria yc c1y1 c2y2 y luego se calcula el Wronskiano W(y1(x), y2(x)). Dividiendo
entre a2, se escribe la ecuación en la forma estándar y Py Qy f(x) para determinar f(x). Se encuentra u1 y u2 integrando u1 W1兾W y u2 W2兾W, donde W1 y W2 se
definen como en (6). Una solución particular es yp u1y1 u2y2. Entonces la solución
general de la ecuación es y yc yp.
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4.6
EJEMPLO 1
VARIACIÓN DE PARÁMETROS
●
159
Solución general usando variación de parámetros
Resuelva y 4y 4y (x 1)e 2x.
SOLUCIÓN De la ecuación auxiliar m2 4m 4 (m 2)2 0 se tiene yc c1e2x
c2xe2x. Con las identificaciones y1 e2x y y2 xe2x, a continuación se calcula el
Wronskiano:
e2x
xe2x
2x
2e
2xe2x
W(e2x, xe2x )
e4x.
e2x
Puesto que la ecuación diferencial dada ya está en la forma (2) (es decir, el coeficiente
de y es 1), identificamos f(x) (x l)e2x. De (6), obtenemos
W1
0
xe2x
1)e2x 2xe2x
(x
1)xe4x,
(x
2x
e
e2x
2e2x (x
W2
0
1)e2x
(x
1)e4x,
y así de (5)
u1
1)xe4x
e4x
(x
1 3
x
3
yp
y
1 2
2x
1 3
3x
Se tiene que u1
y
x,
yp
x
e4x
1.
x . Por tanto
1 2
x
2
c1e2x
1)e4x
(x
u2
1 2
2x
y u2
1 2 2x
x e
2
yc
EJEMPLO 2
x2
x xe2x
c2 xe2x
1 3 2x
xe
6
1 3 2x
xe
6
1 2 2x
xe
2
1 2 2x
xe .
2
Solución general usando variación de parámetros
Resuelva 4y 36y csc 3x.
SOLUCIÓN Primero se escribe la ecuación en la forma estándar (2) dividiendo entre 4:
y
1
csc 3x.
4
9y
Debido a que las raíces de la ecuación auxiliar m2 9 0 son m1 3i y m2 3i, la
función complementaria es yc c1 cos 3x c2 sen 3x. Usando y1 cos 3x, y2 sen 3x,
y f (x) 14 csc 3x , obtenemos
cos 3x
sen 3x
3 sen 3x 3 cos 3x
W(cos 3x, sen 3x)
W1
1
4
0
sen 3x
csc 3x 3 cos 3x
1
,
4
1
12
Integrando
u1
W1
W
Se obtiene u1
1
12 x
y u2
yp
1
36
W2
y
u2
cos 3x
3 sen 3x
W2
W
3,
1
4
0
csc 3x
1 cos 3x
.
4 sen 3x
1 cos 3x
12 sen 3x
ln兩sen 3x兩. Así una solución particular es
1
x cos 3x
12
1
(sen 3x) ln sen 3x .
36
La solución general de la ecuación es
y
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 159
yc
yp
c1 cos 3x
c2 sen 3x
1
x cos 3x
12
1
(sen 3x) ln sen 3x .
36
(7)
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160
●
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
La ecuación (7) representa la solución general de la ecuación diferencial en, digamos, el intervalo (0, p兾6).
CONSTANTES DE INTEGRACIÓN Cuando se calculan las integrales indefinidas
de u1 y u2 , no es necesario introducir algunas constantes. Esto es porque
y
yc
yp
c1 y1
(c1
c2 y2
(u1
a1)y1
(u2
b1)y2
a1)y1
(c2
b1)y2
u1 y1
u2 y2
C1 y1
EJEMPLO 3
Resuelva y
C2 y2
u1 y1
u2 y2.
Solución general usando variación de parámetros
1
.
x
y
SOLUCIÓN La ecuación auxiliar m2 1 0 produce m1 1 y m2 1. Por tanto
yc c1ex c2ex. Ahora W(ex, ex) 2, y
u1
u2
e x(1>x)
,
2
u1
ex (1>x)
,
2
x
e t
dt,
x0 t
1
2
x
et
dt.
x0 t
1
2
u2
Puesto que las integrales anteriores son no elementales, nos vemos obligados a escribir
1 x
e
2
yp
y por tanto
y
yc
yp
c1ex
c2e
x
x0
x
e t
dt
t
1 x
e
2
x
1
e
2
x
x0
x
x0
et
dt,
t
t
e
t
1
e
2
dt
x
x
et
dt. (8)
x0 t
En el ejemplo 3 se puede integrar en algún intervalo [x0, x] que no contenga al
origen.
ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR El método que se describió para ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden se puede generalizar a ecuaciones
lineales de n-ésimo orden que se han escrito en forma estándar
y (n)
Pn 1(x)y (n
1)
P1(x)y
P0 (x)y
f (x).
(9)
Si yc c1y1 c2 y2 cnyn es la función complementaria para (9), entonces una
solución particular es
yp
u1(x)y1(x)
u 2(x)y2 (x)
un (x)yn(x),
donde los uk, k 1, 2, . . . , n se determinan por las n ecuaciones
y1u 1
y2u 2
yn u n
0
y 1u 1
y 2u 2
yn un
0
y1(n 1)u 1
y2(n 1)u 2
1)
y(n
un
n
(10)
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 160
f (x).
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4.6
VARIACIÓN DE PARÁMETROS
161
●
Las primeras n 1 ecuaciones de este sistema, al igual que y1u 1 y2u 2 0 en (4),
son suposiciones que se hacen para simplificar la ecuación resultante después de que
yp u1(x)y1(x) un(x)yn(x) se sustituye en (9). En este caso usando la regla de
Cramer se obtiene
Wk
uk
, k 1, 2, . . . , n,
W
donde W es el Wronskiano de y1, y2, . . . , yn y Wk es el determinante que se obtiene
al remplazar la k-ésima columna del Wronskiano por la columna formada por el lado
derecho de (10), es decir, la columna que consta de (0, 0, . . . , f(x)). Cuando n 2, se
obtiene la ecuación (5). Cuando n 3, la solución particular yp u1 y1 u2 y2 u3 y3 ,
donde y1, y2 y y3 constituyen un conjunto linealmente independiente de soluciones de
la ED homogénea asociada y u1, u2 y u3 se determinan a partir de
u1
W1
0
y2
0
y
p
2
f (x) y 2
y3
y3 p ,
y3
W2
W1
,
W
y1
0
y3
y
0
y
p 1
3p,
y 1 f (x) y 3
W2
,
W
u2
W3
y1
y
p 1
y1
W3
,
W
u3
y2
0
y2
0 p,
y 2 f (x)
y
(11)
W
y1
y
p 1
y1
y2
y2
y2
y3
y3 p .
y3
Véanse los problemas 25 y 26 de los ejercicios 4.6.
COMENTARIOS
i) La variación de parámetros tiene una ventaja particular sobre el método de
coeficientes indeterminados en cuanto a que siempre produce una solución particular yp , siempre y cuando se pueda resolver la ecuación homogénea asociada.
Este método no se limita a una función f (x) que es una combinación de las cuatro clases que se listan en la página 141. Como se verá en la siguiente sección,
la variación de parámetros, a diferencia de los coeficientes indeterminados, es
aplicable a ED lineales con coeficientes variables.
ii) En los problemas siguientes, no dude en simplificar la forma de yp. Dependiendo
de cómo se encuentren las antiderivadas de u1 y u2 , es posible que no se obtenga
la misma yp que se da en la sección de respuestas. Por ejemplo, en el problema 3 de
1
1
1
los ejercicios 4.6 tanto yp 12 sen x
2 x cos x como yp
2 x cos x
4 sen x
son respuestas válidas. En cualquier caso la solución general y yc yp se simplifica a y c1 cos x c2 senx 12 x cos x . ¿Por qué?
EJERCICIOS 4.6
Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-5.
En los problemas 1 a 18 resuelva cada ecuación diferencial
por medio de variación de parámetros.
11. y
12. y
3y
2y
2y
1
ex
1
ex
y
1. y y sec x
2. y y tan x
3. y y sen x
4. y y sec u tan u
1 x2
13. y 3y 2y sen e x
5. y y cos 2x
6. y y sec 2x
14. y 2y y e t arctan t
7. y y cosh x
8. y y senh 2x
15. y 2y y et ln t
16. 2y
2y
y
41x
17. 3y 6y 6y e sec x
x
9. y
4y
e2x
x
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 161
10. y
9y
9x
e3x
18. 4y
4y
y
ex/2 11
x2
6/4/09 12:18:25 PM
162
●
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
En los problemas 19 a 22 resuelva cada ecuación diferencial
mediante variación de parámetros, sujeta a las condiciones
iniciales y(0) 1, y(0) 0.
30. Encuentre la solución general de x 4y x 3y 4x 2y 1
dado que y1 x2 es una solución de la ecuación homogénea asociada.
19. 4y y xe x/2
31. Suponga que yp(x) u1(x)y1(x) u2(x)y2(x), donde u1 y
u2 están definidas por (5) es una solución particular de
(2) en un intervalo I para el que P, Q y f son continuas.
Demuestre que yp se puede escribir como
20. 2y y y x 1
21. y 2y 8y 2e2x ex
22. y 4y 4y (12x 2 6x)e 2x
En los problemas 23 y 24 las funciones que se indican son
soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial homogénea asociada en (0, ). Determine la solución
general de la ecuación homogénea.
23. x2 y
xy
(x2
1
4
)y
24. x y xy y sec(ln x);
y 1 cos(ln x), y 2 sen(ln x)
2
En los problemas 25 y 26 resuelva la ecuación diferencial de
tercer orden usando variación de parámetros.
26. y 4y sec 2x
Problemas para analizar
En los problemas 27 y 28 analice cómo pueden combinarse
los métodos de coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver la ecuación diferencial. Lleve a cabo
sus ideas.
27. 3y 6y 30y 15 sen x e x tan 3x
28. y 2y y 4x 2 3 x 1e x
29. ¿Cuáles son los intervalos de definición de las soluciones
generales en los problemas 1, 7, 9 y 18? Analice por qué
el intervalo de definición de la solución del problema 24
no es (0, ).
4.7
G(x, t)f (t) dt,
(12)
y1(t)y2(x) y1(x)y2(t)
,
W(t)
(13)
x0
donde x y x0 están en I,
G(x, t)
x3/2;
y 1 x 1/2 cos x, y 2 x 1/2 sen x
25. y y tan x
x
yp(x)
y W(t) W(y1(t), y2(t)) es el Wronskiano. La función G(x,
t) en (13) se llama la función de Green para la ecuación
diferencial (2).
32. Use (13) para construir la función de Green para la ecuación
diferencial del ejemplo 3. Exprese la solución general dada
en (8) en términos de la solución particular (12).
33. Compruebe que (12) es una solución del problema con
valores iniciales
d 2y
dx2
dy
dx
P
Qy
f(x),
y(x0)
0,
y (x0)
0
en el intervalo I. [Sugerencia: Busque la regla de Leibniz
para derivar bajo un signo de integral.]
34. Use los resultados de los problemas 31 y 33 y la función
de Green encontrada del problema 32 para encontrar una
solución del problema con valores iniciales
y
y
e2x,
y(0)
0,
y (0)
0
usando (12). Evalúe la integral.
ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER
REPASO DE MATERIAL
● Repase el concepto de la ecuación auxiliar en la sección 4.3.
INTRODUCCIÓN La relativa facilidad con que pudimos encontrar soluciones explícitas de
ecuaciones lineales de orden superior con coeficientes constantes en las secciones anteriores, en
general no se realiza en ecuaciones lineales con coeficientes variables. En el capítulo 6 veremos que
cuando una ED lineal tiene coeficientes variables, lo mejor que podemos esperar, usualmente, es
encontrar una solución en forma de serie infinita. Sin embargo, el tipo de ecuación diferencial que
consideramos en esta sección es una excepción a esta regla; esta es una ecuación lineal con coeficientes variables cuya solución general siempre se puede expresar en términos de potencias de x,
senos, cosenos y funciones logarítmicas. Además este método de solución es bastante similar al de
las ecuaciones con coeficientes constantes en los que se debe resolver una ecuación auxiliar.
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4.7
ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER
163
●
ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER Una ecuación diferencial lineal de la forma
an x n
dn y
dx n
an 1xn
1
d n 1y
dx n 1
a1 x
dy
dx
a0 y
g(x),
donde los coeficientes an, an1, . . . , a0 son constantes, se conoce como ecuación de
Cauchy-Euler. La característica observable de este tipo de ecuación es que el grado
k n, n 1, . . . , 1, 0 de los coeficientes monomiales xk coincide con el orden k de
la derivación dky兾dxk:
mismo
mismo
dny
dn1y
anxn ––––n an1xn1 ––––––
.. ..
dx
dxn1
Al igual que en la sección 4.3, iniciamos el análisis con un examen detallado de
las formas de las soluciones generales de la ecuación homogénea de segundo orden
ax2
d 2y
dx2
bx
dy
dx
cy
0.
La solución de ecuaciones de orden superior se deduce de manera análoga. También,
podemos resolver la ecuación no homogénea ax 2y bxy cy g(x) por variación
de parámetros, una vez que se ha determinado la función complementaria yc.
NOTA El coeficiente ax2 de y es cero en x 0. Por lo que, para garantizar que los
resultados fundamentales del teorema 4.1.1 sean aplicables a la ecuación de CauchyEuler, centramos nuestra atención en encontrar soluciones generales definidas en el
intervalo (0, ). Las soluciones en el intervalo (, 0) se obtienen al sustituir t x
en la ecuación diferencial. Véanse los problemas 37 y 38 de los ejercicios 4.7.
MÉTODO DE SOLUCIÓN Se prueba una solución de la forma y xm, donde m es
un valor que se debe determinar. Análogo a lo que sucede cuando se sustituye emx en una
ecuación lineal con coeficientes constantes, cuando se sustituye xm, cada término de
una ecuación de Cauchy-Euler se convierte en un polinomio en m veces xm, puesto que
ak xk
dky
dxk
ak xkm(m
1)(m
2)
(m
1)xm
k
k
ak m(m
1)(m
2)
(m
k
1)xm.
Por ejemplo, cuando sustituimos y xm, la ecuación de segundo orden se transforma en
ax2
d 2y
dx2
bx
dy
dx
cy
am(m
1)xm
bmxm
cxm
(am(m
1)
bm
c)xm.
Así y xm es una solución de la ecuación diferencial siempre que m sea una solución
de la ecuación auxiliar
am(m
1)
bm
c
0 o am2
(b
a)m
c
0.
(1)
Hay tres casos distintos a considerar que dependen de si las raíces de esta ecuación
cuadrática son reales y distintas, reales e iguales o complejas. En el último caso las
raíces aparecen como un par conjugado.
CASO I: RAÍCES REALES Y DISTINTAS Sean m1 y m2 las raíces reales de (1),
tales que m1 m2. Entonces y1 xm1 y y2 xm2 forman un conjunto fundamental de
soluciones. Por tanto, la solución general es
y
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 163
c1 xm1
c2 xm2.
(2)
6/4/09 12:18:26 PM
164
●
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
EJEMPLO 1
Resuelva x2
d 2y
dx2
Raíces distintas
2x
dy
dx
4y
0.
SOLUCIÓN En lugar de memorizar la ecuación (1), algunas veces es preferible suponer y xm como la solución para entender el origen y la diferencia entre esta nueva
forma de ecuación auxiliar y la obtenida en la sección 4.3. Derive dos veces,
dy
dx
d2y
dx2
mxm 1,
1)xm 2,
m(m
y sustituyendo esto en la ecuación diferencial
x2
d 2y
dx2
2x
dy
dx
x2 m(m
4y
1)xm
xm(m(m
1)
2
2x mxm
2m
4)
1
4xm
xm(m2
3m
4)
0
si m 2 3m 4 0. Ahora (m 1)(m 4) 0 implica que m 1 1, m2 4, así
que y c1x 1 c2x 4.
CASO II: RAÍCES REALES REPETIDAS Si las raíces de (l) son repetidas (es decir,
m1 m2), entonces se obtiene sólo una solución particular, y xm1. Cuando las raíces
de la ecuación cuadrática am2 (b a)m c 0 son iguales, el discriminante de los
coeficientes necesariamente es cero. De la fórmula cuadrática se deduce que las raíces
deben ser m1 (b a)兾2a.
Ahora se puede construir una segunda solución y2, con la ecuación (5) de la sección 4.2. Primero se escribe la ecuación de Cauchy-Euler en la forma estándar
d 2y
dx2
b dy
ax dx
c
y
ax2
0
y haciendo las identificaciones P(x) b兾ax y (b ax) dx
xm1
y2
e
(b a) ln x . Así
(b / a)ln x
dx
x2m1
xm1
x
b/a
x
2m1
xm1
x
b/a
x(b
xm1
dx
x
dx
a)/ a
dx
;e
(b / a)ln x
;
2m1
eln x
(b
b/a
x
b/a
a)/a
xm1 ln x.
La solución general es entonces
y
EJEMPLO 2
c2 xm1 ln x.
d 2y
dx2
SOLUCIÓN
Sustituyendo y xm se obtiene
d2y
dx2
8x
dy
dx
(3)
Raíces repetidas
Resuelva 4x2
4x2
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 164
c1 xm1
8x
y
dy
dx
y
0.
xm(4m(m
1)
8m
1)
xm(4m2
4m
1)
0
6/4/09 12:18:27 PM
4.7
ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER
donde 4m2 4m 1 0 o (2m 1)2 0. Puesto que m1
es y c1x 1/2 c2x 1/2 ln x.
1
2
●
165
, la solución general
Para ecuaciones de orden superior, si m1 es una raíz de multiplicidad k, entonces
se puede demostrar que
xm1,
xm1 ln x,
xm1(ln x)2, . . . ,
xm1(ln x) k
1
son k soluciones linealmente independientes. En correspondencia, la solución general de
la ecuación diferencial debe contener una combinación lineal de estas k soluciones.
CASO III: RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS Si las raíces de (1) son el par conjugado m1 a ib, m2 a ib, donde a y b 0 son reales, entonces una solución es
y C1x i
C2 x i .
Pero cuando las raíces de la ecuación auxiliar son complejas, como en el caso de las
ecuaciones con coeficientes constantes, se desea escribir la solución sólo en términos
de funciones reales. Observemos la identidad
xi
(eln x )i
ei
que, por la fórmula de Euler, es lo mismo que
ln x
,
x ib cos(b ln x) i sen(b ln x).
x ib cos(b ln x) i sen(b ln x).
De forma similar,
Si se suman y restan los dos últimos resultados, se obtiene
x ib x ib 2 cos(b ln x)
1
y
x ib x ib 2i sen(b ln x),
y
respectivamente. Del hecho de que y C1x aib C2x aib es una solución para cualquier valor de las constantes, note, a su vez, para C1 C2 1 y C1 1, C2 1
que
x
0
o
x (xi
y1
2x cos( ln x) y y2
x
i
x (xi
y1
y y2
)
x
i
)
2ix sen( ln x)
también son soluciones. Como W(x a cos(b ln x), x a sen(b ln x)) bx 2a1 0, b 0
en el intervalo (0, ), se concluye que
y1
_1
1
x cos( ln x)
y2
y
x sen( ln x)
constituyen un conjunto fundamental de soluciones reales de la ecuación diferencial.
Así la solución general es
a) solución para 0 x 1.
y
y
10
EJEMPLO 3
Resuelva 4x2 y
5
x [c1 cos( ln x)
(4)
c2 sen( ln x)].
Problema con valores iniciales
17y
0, y(1)
1, y (1)
1
2.
SOLUCIÓN El término y falta en la ecuación de Cauchy-Euler; sin embargo, la susx
titución y xm produce
4x2 y
xm (4m(m
17y
1)
17)
xm (4m2
4m
17)
0
donde 4m 4m 17 0. De la fórmula cuadrática se encuentra que las raíces son
m1 12 2i y m2 12 2i. Con las identificaciones a 12 y b 2 se ve de (4) que la
solución general de la ecuación diferencial es
2
25
50
75
100
b) solución para 0 x 100.
FIGURA 4.7.1 Curva solución del
PVI del ejemplo 3.
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 165
y
x1/2 [c1 cos(2 ln x)
c2 sen(2 ln x)].
1 la solución anterior y
Aplicando las condiciones iniciales y(l) 1, y (1)
2
usando ln 1 0, se obtiene, a su vez, que c1 1 y c2 0. Así la solución del problema
6/4/09 12:18:27 PM
166
●
CAPÍTULO 4
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
con valores iniciales es y x 1/2 cos(2 ln x). En la figura 4.7.1 se presenta la gráfica de
esta función que se obtuvo con ayuda de un paquete de cómputo. Se observa que la solución particular es oscilatoria y no acotada conforme x : .
En el ejemplo siguiente se ilustra la solución de una ecuación de Cauchy-Euler
de tercer orden.
EJEMPLO 4
Resuelva x3
d3y
dx 3
Ecuación de tercer orden
5x2
d2y
dx 2
7x
dy
dx
8y
0.
SOLUCIÓN Las tres primeras derivadas de y xm son
dy
dx
d 2y
dx2
mxm 1,
m(m
d3y
dx3
1)xm 2,
m(m
2)xm 3,
1)(m
así la ecuación diferencial dada se convierte en
x3
d3y
dx3
5x2
d2y
dx2
7x
dy
dx
8y
x3 m(m
1)(m
xm (m(m
xm (m3
2)xm
1)(m
2m2
2)
4m
3
5x2 m(m
5m(m
2
7m
8)
2)(m2
4)
1)
xm (m
8)
1)xm
7xmxm
1
8xm
0.
En este caso veremos que y xm es una solución de la ecuación diferencial para m1 2, m2 2i y m3 2i. Por tanto, la solución general es y c1x 2 c 2 cos(2 ln x)
c 3 sen(2 ln x).
El método de coeficientes indeterminados que se describió en las secciones 4.5 y 4.6
no se aplica, en general, a las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables. Por tanto en el siguiente ejemplo se emplea el método de variación de parámetros.
EJEMPLO 5
Variación de parámetros
Resuelva x 2y 3xy 3y 2x 4 e x.
SOLUCIÓN Puesto que la ecuación es no homogénea, primero se resuelve la ecuación
homogénea asociada. De la ecuación auxiliar (m l)(m 3) 0 se encuentra yc c1x c2x3. Ahora, antes de usar la variación de parámetros para encontrar una solución
particular yp u1y1 u2y2, recuerde que las fórmulas u 1 W1> W y u 2 W 2> W ,
donde W1, W2 y W, son los determinantes definidos en la página 158, que se dedujeron
bajo la suposición de que la ecuación diferencial se escribió en la forma estándar y P(x)y Q(x)y f(x). Por tanto, dividiendo entre x2 la ecuación dada,
y
3
y
x
3
y
x2
2x2 ex
hacemos la identificación f(x) 2x2ex. Ahora con y1 x, y2 x3, y
W
x
x3
1 3x2
encontramos
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 166
2x3,
u1
W1
2x5 ex
2x3
0
x3
2x2ex 3x2
x2 ex
2x5ex,
y
u2
W2
2x3 ex
2x3
x
0
1 2x2 ex
2x3ex,
ex.
6/4/09 12:18:28 PM
4.7
ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER
●
167
La integral de la última función es inmediata, pero en el caso de u1 se integra por
partes dos veces. Los resultados son u1 x 2e x 2xe x 2e x y u2 e x. Por tanto
yp u1y1 u2 y2 es
yp
Finalmente,
( x2 ex
2xex
y
yp
yc
2ex )x
ex x3
c2 x3
c1 x
2x2ex
2x2 ex
2xex.
2xex.
REDUCCIÓN A COEFICIENTES CONSTANTES Las similitudes entre las formas
de soluciones de ecuaciones de Cauchy-Euler y soluciones de ecuaciones lineales con
coeficientes constantes no sólo son una coincidencia. Por ejemplo, cuando las raíces
de las ecuaciones auxiliares para ay by cy 0 y ax 2y bxy cy 0 son
distintas y reales, las soluciones generales respectivas son
y
c1 em1 x
c2 em2 x
y
y
c1 xm1
c2 xm2,
x
0.
(5)
Usando la identidad e ln x x, x 0, la segunda solución dada en (5) puede expresarse
en la misma forma que la primera solución:
y
c1 em1 ln x
c2 em2 ln x
c1em1 t
c2 em2 t,
donde t ln x. Este último resultado ilustra el hecho de que cualquier ecuación de
Cauchy-Euler siempre se puede escribir de nuevo como una ecuación diferencial lineal
con coeficientes constantes sustituyendo x e t. La idea es resolver la nueva ecuación
diferencial en términos de la variable t, usando los métodos de las secciones anteriores y
una vez obtenida la solución general, sustituir nuevamente t ln x. Este método, que se
ilustró en el último ejemplo, requiere el uso de la regla de la cadena de la derivación.
EJEMPLO 6
Cambio a coeficientes constantes
Resuelva x 2y xy y ln x.
SOLUCIÓN
dy
dx
d 2y
dx2
Sustituyendo x et o t ln x, se tiene que
dy dt
dt dx
1 dy
x dt
; Regla de la cadena
1 d dy
x dx dt
dy
dt
1
x2
1 d 2y 1
x dt2 x
dy
dt
1
x2
; Regla del producto y regla de la cadena
1 d 2y
x2 dt2
dy
.
dt
Sustituyendo en la ecuación diferencial dada y simplificando se obtiene
d2y
dt2
2
dy
dt
y
t.
Como esta última ecuación tiene coeficientes constantes, su ecuación auxiliar es m2 2m 1 0, o (m 1)2 0. Así se obtiene yc c1et c2tet.
Usando coeficientes indeterminados se prueba una solución particular de la forma
yp A Bt. Esta suposición conduce a 2B A Bt t, por tanto A 2 y B 1.
Usando y yc yp, se obtiene
y
c1 et
c 2 tet
2
t,
así la solución general de la ecuación diferencial original en el intervalo (0, ) es
y c1x c2x ln x 2 ln x.
08367_04_ch04_p117-180-ok.indd 167
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168
CAPÍTULO 4
●
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
EJERCICIOS 4.7
Las respuestas a los problemas con número impar comienzan en la página RES-5.
En los problemas 1 a 18 resuelva la ecuación diferencial dada.
36. x 3y 3x 2y 6xy 6y 3 ln x 3
1. x y 2y 0
2. 4x y y 0
3. xy y 0
4. xy 3y 0
5. x 2y xy 4y 0
6. x 2y 5xy 3y 0
7. x 2y 3xy 2y 0
8. x 2y 3xy 4y 0
2
2
9. 25x 2y 25xy y 0
10. 4x 2y 4xy y 0
11. x 2y 5xy 4y 0
12. x 2y 8xy 6y 0
13. 3x 2y 6xy y 0
14. x 2y 7xy 41y 0
15. x 3y 6y 0
16. x 3y xy y 0
17. xy (4) 6y 0
3
19. xy 4y x 4
20. 2x 2y 5xy y x 2 x
21. x 2y xy y 2x
22. x 2y 2xy 2y x 4e x
1
xy
y
24. x2 y
x 1
23. x 2y xy y ln x
En los problemas 25 a 30 resuelva el problema con valores
iniciales. Use una aplicación para graficar y obtenga la gráfica
de la curva solución.
26. x 2y 5xy 8y 0, y(2) 32, y(2) 0
27. x y xy y 0, y(1) 1, y(1) 2
28. x 2y 3xy 4y 0, y(1) 5, y(1) 3
5xy
38. x 2y 4xy 6y 0,
y(2) 8, y(2) 0
Problemas para analizar
39. ¿Cómo podría utilizar el método de esta sección para resolver
2)2 y
(x
2)y
y
0?
x, y(1)
8y
1, y (1)
8x6,
y
1
2
1
2
0, y
Lleve a cabo sus ideas. Exprese un intervalo en el cual
esté definida la solución.
40. ¿Es posible encontrar una ecuación diferencial de CauchyEuler de orden mínimo con coeficientes reales si se sabe
que 2 y 1 i son raíces de su ecuación auxiliar? Lleve a
cabo sus ideas.
41. Las condiciones iniciales y(0) y0, y(0) y1 se aplican
a cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:
x 2y 0,
x 2y 2xy 2y 0,
x 2y 4xy 6y 0.
42. ¿Cuáles son las intersecciones con el eje x de la curva
solución que se muestra en la figura 4.7.1? ¿Cuántas in1
tersecciones con el eje x hay en 0 x 2?
2
30. x2 y
y(1) 2, y(1) 4
¿Para qué valores de y0 y y1 cada problema con valores
iniciales tiene una solución?
25. x 2y 3xy 0, y(1) 0, y(1) 4
y
37. 4x 2y y 0,
2
En los problemas 19 a 24 resuelva la ecuación diferencial
dada por variación de parámetros.
29. xy
En los problemas 37 y 38 resuelva el problema con valores
iniciales dado en el intervalo (, 0).
(x
18. x y 6x y 9x y 3xy y 0
4 (4)
35. x 2y 3xy 13y 4 3x
Tarea para el laboratorio de computación
1
2
0
En los problemas 31 a 36 use la sustitución x et para convertir la ecuación de Cauchy-Euler a una ecuación diferencial
con coeficientes constantes. Resuelva la ecuación original al
resolver la nueva ecuación usando los procedimientos de las
secciones 4.3 a 4.5.
En los problemas 43 al 46 resuelva la ecuación diferencial
dada usando un SAC para encontrar las raíces (aproximadas)
de la ecuación auxiliar.
43. 2x 3y 10.98x 2y 8.5xy 1.3y 0
44. x 3y 4x 2y 5xy 9y 0
45. x 4y (4) 6x 3y 3x 2y 3xy 4y 0
31. x 2y 9xy 20y 0
46. x 4y (4) 6x 3y 33x 2y 105xy 169y 0
32. x 2y 9xy 25y 0
47. Resuelva x 3y x 2y 2xy 6y x 2 por variación
de parámetros. Use un SAC como ayuda para calcular las
raíces de la ecuación auxiliar y los determinantes dados
en (10) de la sección 4.6.
33. x 2y 10xy 8y x 2
34. x 2y 4xy 6y ln x 2
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