Series de potencias. Funciones analíticas

VARIABLE COMPLEJA - MATEMÁTICAS - UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA
SERIES DE POTENCIAS. FUNCIONES ANALÍTICAS
1.- Calcular los radios de convergencia de:
∞
X
n! n
b)
z
nn
n=1
∞
X
(2n)! n
z
a)
(n!)2
n=0
e)
∞
X
n
(n + a )z
n
f)
n=0
i)
∞
X
2.- Sea
c)
n2 1+2+···+n
n n
n z
a z
j)
∞
X
−n n
2
z
d)
n=0
∞
X
g)
n=1
n=1
∞
X
∞
X
∞
X
exp(
n
n=1
2πn
en
2n z n!
n=0
n2 n
a z
h)
n=0
√
n
∞
X
∞
X
z n!
n=0
)z n!
cn z n una serie de potencias con radio de convergencia R (0 < R < ∞);
n=0
determinar el radio de convergencia de
∞
X
an z n , donde an es:
n=0
cn
;
d) nn cn .
n!
3.- Discutir el comportamiento de las siguientes series de potencias en la frontera de su
disco de convergencia:
b) (2n − 1)cn ;
a) P (n)cn (P polinomio no nulo);
a)
∞
X
z
n
n=0
∞
X
(−1)n 3n−1
e)
z
log
n
n=2
h)
∞
X
∞
X
zn
b)
n
n=1
∞
X
zn
c)
n2
n=1
∞
X
z n!
f)
n2
n=1
∞
X
z pn
g)
(p ∈ N)
n
n=1
c)
∞
X
(−1)n n
d)
z
n
n=1
an z n (∃K > 1 3 1 ≤ |an | ≤ K ∀ n ∈ N)
n=0
4.- Sumar en el cı́rculo de convergencia las siguientes series:
a)
∞
X
nz
n
n=1
∞
X
(−1)n+1 n
d)
z
n
n=1
∞
X
zn
b)
n
n=1
e)
∞ X
n
n=2
2
∞
X
z 2n+1
c)
2n + 1
n=1
zn
5.- Sumar las siguientes series: r, a ∈ R
∞
∞
X
X
sen(na)
n
a)
r cos(na);
b)
;
n!
n=0
n=0
f)
∞
X
(2n − 1)z n
n=0
∞
X
3n2 − 1 n
c)
3 cos(na).
(n + 1)!
n=0
∞
∞
X
cos(nφ) X sen(nφ)
6.- Calcular
y
, donde 0 < |φ| ≤ π:
n
n
n=1
n=1
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7.- Desarrollar las siguientes funciones en serie de potencias de z y decir cuál es el cı́rculo
máximo en que es válido el desarrollo:
√
z
d) 2
a) sen2 z
b) cosh2 z
c) z + i
z − 4z + 13
e)
z2
(z + 1)2
f) Log
1+z
1−z
8.- Desarrollar las siguientes funciones en serie de potencias de (z − 1) y determinar el
cı́rculo máximo en que es válido el desarrollo:
√
z2
z
3
a)
z;
d) sen(2z − z 2 ).
;
b)
;
c)
(z + 1)2
z 2 − 2z + 5
9.-
a) Algoritmo de la división: sean f y g funciones analı́ticas en un entorno de 0 con
g(0) 6= 0, y k ∈ N. Si
∞
X
f (z) =
an z n ,
∞
X
g(z) =
n=0
bn z n
n=0
en un entorno de 0, denotemos
fk (z) =
k
X
n
an z ,
gk (z) =
n=0
k
X
bn z n .
n=0
Sean Q(z) y R(z) dos polinomios, con grado de Q(z) menor o igual que k y R(z)
con todos sus términos de grado mayor o igual que k + 1, tales que fk (z) =
Q(z)gk (z) + R(z). Probar que si
∞
f (z) X
=
cn z n
g(z) n=0
en un entorno de 0, entonces
k
X
cn z n = Q(z).
n=0
b) Hallar los cuatro primeros términos del desarrollo en serie de la función tg z
mediante el algoritmo de la división.
sen z
c) Probar que la función f (z) = z
(con f (0) = 1) es analı́tica en D(0, 2π) y
e −1
hallar los cuatro primeros términos de su desarrollo en serie en torno al punto 0.
10.- Estudiar lı́m ez a lo largo de cada semirrecta con origen en z = 0.
z→∞
11.- Probar que si a ∈ [−1, 1], todas las raı́ces de la ecuación sen z = a son reales.
12.- Demostrar que cos z es suprayectiva.
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13.- Sea z0 ∈ C tal que Re z0 < 0 y Im z0 > 0.
a) Hallar el desarrollo de la función logaritmo principal (es decir, Log(−π,π] ) en serie
de potencias de z − z0 .
b) ¿Para qué valores de z converge la serie de potencias obtenida?
c) ¿En cuáles de ellos la suma de la serie vale Log(−π,π] z? ¿Cuánto vale en el resto?
14.- Dar la definición de determinación de la raı́z cuadrada. Probar que toda determinación
f de la raı́z cuadrada es holomorfa y se tiene que f 0 = 1/(2f ). Probar que si f y g
son dos determinaciones, entonces o bien f = g, o bien f = −g.
15.- Sea Ω un abierto conexo del plano complejo. Sea g ∈ H(Ω), con g(z) 6= 0, ∀z ∈ Ω.
Sea f ∈ C (0 (Ω) tal que f 2 = g (esto es, f es una determinación de la raı́z cuadrada de
g). Probar que f ∈ H(Ω). Lo mismo si ef (z) = g(z).
16.- Demostrar que no existe una determinación continua del argumento en la región Ω =
{z ∈ C; 1 < |z| < 2}.
√
/ (−∞, 0].
17.- Desarrollar la rama principal de z en potencias de z − a, donde a ∈
18.- Estudiar los dominios de definición y decir dónde son derivables las ramas principales
de las funciones:
r
√
z
−
1
z−1
a) z 2 − 1;
b) log
;
c)
.
z
z+1
19.- Probar que existe un abierto Ω que contiene al origen y una función f ∈ H(Ω) tal que
f 2 (z) = 1 + sen z para todo z ∈ Ω. Hallar el desarrollo en serie de potencias de f .