Tema 2: Integral de Riemann

Facultad de Económicas, Universidad de Castilla-La Mancha
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MATEMÁTICAS III PARA LA ECONOMÍA
MATEMÁTICAS III PARA LA EMPRESA
TEMA 2. INTEGRAL DE RIEMANN
1.- Calcular las sumas L(f, P ) y U (f, P ) respecto de la partición P del intervalo [0, 10] en los
siguientes casos:
1. P = {0, 1, 9, 10}, f (x) = 6x.
2. P = {0, π, 5, 10}, f (x) = sen(x).
2.1. Comprobar que P = {0, 1, 2, 52 , 3} es una partición de [0, 3] más fina que P 0 = {0, 1, 2, 3}.
2. Dada f (x) = x, comprobar que se cumple la relación
0
L(f, P ) ≤ L(f, P ) ≤
Z
3
f (x) dx ≤ U (f, P ) ≤ U (f, P 0 ),
0
para las particiones P y P 0 definidas en el sub apartado anterior.
3.- Comprobar que las siguientes funciones:
1. f (x) = x2 ,
2. f (x) =
1
,
x2 +1
3. f (x) = sen(cos(x)),
4. f (x) =


 1 si
x>0

 0 si
x≤0
,
5. f (x) = (x + 3)−1 ,
están acotadas en el intervalo [−1, 2].
4.- Demostrar que las funciones del ejercicio anterior son integrables Riemann en el intervalo
[−1, 2].
2
5.- Calcular
Z
b
f (x) dx,
a
en los siguientes casos:
1. a = 0, b = 1, f (x) = 1
2. a = −π, b = π, f (x) = sen(x)
3. a = 0, b = 10, f (x) = x cos(x2 )
4. a = 0, b = 2, f (x) = (x2 + 2x + 1)−1 .
6.- Demostrar, usando un contraejemplo, que en general no se cumple la desigualdad:
Z
b
|f (x)| dx ≤ |
Z
a
b
f (x) dx|.
a
7.- En los siguientes casos, encontrar c que hace cierto el teorema del valor medio:
∃c ∈ [a, b]
Z
tal que
b
f (x) dx = f (c) (b − a).
a
1. a = −1, b = 1, f (x) = x.
2. a = 0, b = 2, f (x) = ex .
3. a = 1, b = 2, f (x) = log(x).
8.- Demostrar, mediante un cambio de variable adecuado, que las áreas sombreadas
de la Figura coinciden en extensión.
1.5
1.5
1.25
-2
1.25
1
1
0.75
0.75
0.5
0.5
0.25
0.25
-1
1
2
3
1
4
2
3
4
5
6
-0.25
-0.25
-0.5
-0.5
f (x) =
2x
x2 +1
f (x) =
1
x
9.- La probabilidad de que un cierto componente electrónico, cuya vida media es
de 500 minutos, dure más de t minutos es
1−
Z
0
t
1 −x/500
e
dx.
500