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PROGRESIONES
INTRODUCCIÓN
En esta unidad se estudian las sucesiones como conjunto de números dados en un
cierto orden, y, como caso particular, las progresiones aritméticas y las geométricas.
Hemos evitado la definición formal de sucesión porque el principal objetivo es la
búsqueda de regularidades numéricas mediante la observación y la reflexión. Desde
los primeros epígrafes se pretende que los alumnos y las alumnas adquieran destreza
en los aspectos siguientes:
• Descubrimiento de la ley de formación de una sucesión.
• Expresión verbal de una sucesión.
• Expresión algebraica en forma de término general o recurrencia en casos muy
sencillos.
Otro aspecto que debamos destacar es la nomenclatura propia de este tema, con la
que los alumnos y las alumnas se encuentran, muy posiblemente, por primera vez.
Nos referimos a la utilización de subíndices para designar los términos de una sucesión
y a la expresión algebraica del término general en función de una letra que representa
el lugar que ocupa un término. Esta nomenclatura se refuerza en las sucesiones defini-
das por recurrencia, donde la expresión de los términos anteriores al que queremos
calcular (an 1, an 2), tiene más dificultad, pero enriquece considerablemente el uso
del lenguaje matemático.
No es objetivo de esta unidad la obtención del término general de una sucesión, salvo en el caso de las progresiones, pero sí insistiremos en la utilización e interpretación de
la fórmula que nos dé Sn f(n) para obtener cualquier término de una sucesión.
En cuanto al estudio de las progresiones aritméticas, conviene trabajar a fondo los
conceptos de diferencia, obtención del término general, suma de n términos consecutivos, tratando de que el alumnado entienda los procesos que nos permiten obtener las
fórmulas correspondientes. Lo mismo podemos decir sobre las progresiones geométricas, con la dificultad añadida de la suma de los infinitos términos con r 1, y su paso al límite. Lo consideramos una ampliación muy interesante, pero será el profesor o la
profesora quien deba decidir sobre la conveniencia de explicarlo o no a su alumnado.
Para terminar, presentamos el estudio del interés compuesto como una de las más
significativas aplicaciones de las progresiones geométricas.
CONOCIMIENTOS MÍNIMOS
• Obtención de un término cualquiera de una sucesión definida mediante su término general.
• Obtención de un término cualquiera de una progresión geométrica conociendo
el primer término y la razón.
• Identificación de progresiones aritméticas y progresiones geométricas.
• Cálculo de la suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética.
• Obtención de un término cualquiera de una progresión aritmética conociendo
el primer término y la diferencia.
• Utilización del factor constante de la calculadora para generar progresiones aritméticas y geométricas.
COMPLEMENTOS IMPORTANTES
Sería deseable que la mayoría de los estudiantes dominase, además, los siguientes
contenidos:
• Obtener los términos de una sucesión definida por recurrencia.
• Expresar el término general de una progresión aritmética o geométrica y utilizar
con destreza las fórmulas correspondientes.
• Obtener un término cualquiera de una progresión aritmética o geométrica de la
que se conocen algunos de sus términos.
• Manejar con destreza la fórmula de la suma de n términos de una progresión
aritmética.
• Calcular la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica.
• Calcular la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica con
r 1.
• Resolver problemas sobre progresiones.
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ESQUEMA DE LA UNIDAD
UNA SUCESIÓN
es
puede ser
un conjunto de
números dados
ordenadamente
que se representa
mediante su
TÉRMINO GENERAL
UNA PROGRESIÓN
ARITMÉTICA
UNA PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
OTROS
cuando
cuyo
cuya
cuando
cuyo
se pasa de
cada término
al siguiente
sumando una
cantidad fija
término
general
suma de n
términos
consecutivos
se pasa de
cada término
al siguiente
multiplicando
por una
cantidad fija
término
general
suma de n términos
consecutivos
es
es
es
an a1 (n 1) d
a la que
llamamos
diferencia, d
se puede
calcular
mediante
(a1 an) n
Sn 2
a la que
llamamos
razón, r
an a1 r n 1
cuya
an r a1
Sn r1
a1
S∞ 1r
r 1